Фундаментальная теорема интегрального исчисления работает и для функций. Если проинтегрировать производную функции от одной точки до другой, то получим ее изменение между двумя точками. В данной аналогии функции — это увеличение подъема каждой ступеньки по отношению к уровню земли. Высоты отдельных ступенек — производные. Интегрирование производных — это суммирование подъемов. А две точки — верхняя и нижняя часть лестницы.
Что это нам дает? Предположим, вас попросили просуммировать огромный список чисел. Оказывается, что бы вы ни суммировали, всякий раз вы берете интеграл по частям. Если вам удастся найти соответствующие лестницы — другими словами, если вы сможете отыскать функцию подъема, для которой подходят эти числа, — то вычислить интеграл совсем несложно. Просто нужно из верха вычесть низ[95].
Это огромное достижение в ускорении вычисления стало возможным благодаря фундаментальной теореме интегрального исчисления. Именно поэтому с первых месяцев преподавания курса интегрального исчисления мы требуем от студентов нахождения функции возвышения, что в математике называется первообразной или неопределенным интегралом.
С точки зрения перспективы надежным наследием интегрального исчисления будет своего рода взгляд Veg-O-Matic[96] на Вселенную. Ньютон и его преемники обнаружили, что сама природа открывается по кусочкам. Оказалось, что таким свойством обладают практически все открытые за последние 300 лет законы физики, что бы они ни описывали: движение частиц, тепловые потоки, электричество, воздух или воду. Вместе с основополагающими законами условия в каждом кусочке времени или пространства определят, что произойдет в соседних кусочках. Впервые в истории рациональное прогнозирование стало возможным — не в час по чайной ложке, а семимильными шагами благодаря фундаментальной теореме.
Так что давно пора поменять наш лозунг для интегралов «Хоть ломтиками, хоть кубиками» на «Пересчитайте заново. Есть метод получше».
19. Все о числе e
Некоторые числа — такие знаменитости, что их эстрадные имена состоят всего лишь из одной буквы. Даже самые важные персоны, такие как Мадонна и Принц, не могут с ними сравниться. Самое знаменитое — число π, ранее известное как 3,14159…
Следом идет число i из алгебры — это мнимое число настолько радикально, что изменило само понятие числа. Кто там далее в «звездном» рейтинге?
Поприветствуйте e! Прозванное так за свою роль в прорыве экспоненциального роста, число e теперь Зелиг[97] высшей математики. Оно всплывает везде, где можно и нельзя, выглядывает из углов сцены, дразня своим присутствием в нелепых местах. Например, наряду с глубоким математическим анализом, оно вызывает цепную реакцию и бум рождаемости населения; е есть что сказать о том, со сколькими партнерами вы должны иметь романтические отношения прежде, чем остепенитесь.
Но перед тем как перейти к этим вопросам, давайте точно определим, что означает число e[98]. Его численное значение равно 2,71828 — но это не многое разъясняет. Я могу вам сказать, что e равно пределу суммы
по мере увеличения числа членов, участвующих в этой сумме. Но это тоже не особенно полезно. Давайте лучше посмотрим на е в действии.
Представьте себе, что у вас есть депозит в виде сберегательного счета в размере 1000 долларов в банке, который ежегодно выплачивает невероятно щедрую процентную ставку в 100 % годовых. Через год на вашем счете будет 2000 долларов, то есть начальный депозит в размере 1000 долларов плюс 100-процентная ставка по ним, равная еще 1000 долларам.
Прикидываясь дурачком, вы просите у банка еще более выгодные условия: предлагаете выплачивать вам проценты раз в полгода, то есть чтобы банк выплачивал только 50 % ставки в течение первых шести месяцев и 50 % ставки следующие шесть месяцев. Естественно, вы окажетесь в выигрыше, так как будете получать проценты на проценты. Но насколько?
Ответ на этот вопрос следующий: ваша первоначальная сумма в 1000 долларов возрастет на коэффициент 1,50 за первое полугодие и снова на коэффициент 1,50 во втором полугодии. А поскольку 1,50, умноженное на 1,50, равно 2,25, то через год на вашем счете будет 2250 долларов. Это значительно больше, чем 2000 долларов, которые вы можете получить на изначальных условиях.
А что произойдет, если вы еще надавите на банк и убедите его разбить год на более короткие периоды выплаты процентов: по дням, секундам или даже по наносекундам? В этом случае вы смогли бы сколотить небольшое состояние?
Допустим, год поделен на 100 равных периодов, после каждого из которых выплачивается 1 % ставки (при процентной ставке 100 % в год, поделенной на 100 частей). Тогда в конце года сумма в 1000 долларов увеличится на коэффициент 1,01, возведенный в 100-ю степень, что приблизительно равно 2,70481. Другими словами, вместо 2000 или 2250 долларов на вашем счете будет большая сумма, но не превышающая 2704,81 доллара.
И наконец, если сложный процент начисляется бесконечно часто (это называется непрерывным начислением), то общая сумма на счете по истечении одного года будет еще больше, но не превысит 2718,28 доллара. Точный ответ: это произведение 1000 долларов на число е, где е определяется как предельное число
Это наиболее существенный вычислительный аргумент в пользу числа е. Как говорилось в предыдущих главах, где мы вычисляли площадь круга и размышляли о притяжении Земли к Солнцу, дифференциальное и интегральное исчисления, основанные на исчислении бесконечно малых, от других разделов математики отличаются тем, что стремятся обуздать ужасающую власть бесконечности. Имея дело с пределами производных или интегральных сумм, необходимо всегда очень осторожно подходить к бесконечности.
В процессе приближения к пределу, который вел к e, мы разделили год на все возрастающее число периодов начисления сложных процентов. Можно сказать, разбили его на временные окошки, которые становились все уже и уже, и в конечном счете подошли к тому, что можно описать как бесконечное множество бесконечно узких окошек. Забавно, что чем чаще в течение определенного периода начисляется процент по вкладу, тем медленнее растут деньги. Тем не менее через год по-прежнему набегает приличная сумма процента, потому что он многократно умножался на протяжении бесконечно многих периодов!
Таков ключ к вездесущности e. Оно часто возникает, когда что-то меняется в результате суммарного действия множества крошечных воздействий.
Рассмотрим кусочек урана в процессе радиоактивного распада. Момент за моментом каждый атом имеет определенный маленький шанс подвергнуться распаду. Произойдет ли это с каждым из них и когда — совершенно непредсказуемо, и каждое такое событие оказывает в целом бесконечно малое влияние. И все же в совокупности эти триллионы событий создают сглаженный, предсказуемый, экспоненциально затухающий процесс радиоактивного распада.
Или подумайте о населении Земли, которое растет в геометрической прогрессии. Во всем мире дети рождаются в случайных местах в непредсказуемые моменты, пока другие люди умирают тоже в случайных местах в непредсказуемые моменты. Каждое событие имеет мизерное в процентном отношении воздействие на демографическую ситуацию в мире, но в совокупности население растет в геометрической прогрессии с очень предсказуемой скоростью.
Есть еще одна причина для появления e, сочетающая в себе огромное число вариантов выбора. Для ее иллюстрации приведу два примера из повседневной жизни, хотя и в очень стилизованной форме.
Представьте себе, что популярный новый фильм показывают в местном кинотеатре. Это романтическая комедия, и сотни пар (намного больше, чем может вместить кинотеатр) выстроились в кассу в очередь за билетами, хотя и отчаялись попасть внутрь. Как только счастливая пара получает билеты, она пробирается в зал и ищет два места рядом. Для простоты предположим, что влюбленные выбирают эти места наугад, там, где есть свободные. Другими словами, они не заботятся о том, будут ли сидеть близко к экрану или далеко от него, на проходе или в середине ряда. Пока они рядом друг с другом, они счастливы.
Допустим, ни одна пара не будет пересаживаться, чтобы освободить место для другой. После того как молодые люди уселись, они никуда не передвигаются. Полное отсутствие вежливости. Зная это, кассир прекращает продавать билеты после того, как остается только одно свободное место. В противном случае начались бы драки.
Сначала, пока в кинотеатре довольно пусто, не возникает никаких проблем. Каждая пара легко находит два места рядом. Но через какое-то время остаются только одиночные места и одиночные промежутки между парами, которые двое не хотят занимать. В реальной жизни люди часто намеренно создают такие промежутки: чтобы положить пальто или не опираться на один подлокотник с неприятным незнакомцем. Но в нашей модели эти промежутки случайны.
Вопрос: если больше не осталось мест для пар, сколько свободных мест еще есть в кинотеатре?
Ответ следующий: оказывается, в кинотеатре с большим залом (когда в ряду много мест) доля пустующих мест примерно равна
что приближается к 13,5 %[99].
Хотя сам расчет слишком сложный для того, чтобы его здесь привести, легко заметить, что 13,5 % находится в правой части диапазона между двумя крайними значениями. Если бы все пары сидели вплотную друг к другу, пустующих мест не было бы.
Тем не менее, если бы они расположились максимально нерационально, то есть всегда оставляя возле себя свободное место (и оставив свободное место в каждом ряду у прохода: на одном или на другом конце ряда, как показано на рисунке ниже), то пустовала бы одна треть мест, потому что каждая пара заняла бы три места: два для себя и одно промежуточное.