джинах. Тогда решение будет выглядеть так:
(6x + 2) + 1/3 × 1/7 × 24(6x + 2) = 60,
и стандартные алгебраические методы дают результат 4 1/3джина. На табличке есть этот ответ, но нет решения, объясняющего, как он был получен.
Явно его получили не с использованием символических методов, похожих на современные, поскольку ниже в табличке прописаны методы решения с точки зрения типичных учебных примеров: «Поделите пополам это число, добавьте сумму этих двух, извлеките квадратный корень…» и т. д.
Эта задача, заодно с прочими на табличке YBC 4652, представляет то, что сейчас мы зовем линейными уравнениями: неизвестное x входит в него только в первой степени. Любое из линейных уравнений можно представить в виде
ax + b = 0,
с решением x = –b/a. Но в древние времена, когда не было понятий отрицательных чисел и символьных операций, поиск результата был не так прост. Даже сейчас некоторые школьники не сразу решат задачи с таблички YBC 4652.
Интереснее квадратные уравнения, в которых неизвестное возведено во вторую степень – квадрат. В современной формулировке это уравнение вида:
ax2 + bx + c = 0,
и здесь тоже есть стандартная формула для вычисления x. Подход древних вавилонян к этим уравнениям изложен в задаче на табличке BM 13901:
«Я семь раз добавил сторону моего квадрата и 11 раз – его площадь, [получив] 6;15».
Здесь 6;15 – упрощенная форма вавилонской шестидесятиричной системы и означает 6 плюс 15/60, или 6 1/4 в современных обозначениях. Предлагаемое решение начинается так:
«Запиши 7 и 11. Умножь 6;15 на 11, [получи] 1,8;45. Раздели 7 на 2, [получи] 3;30 и 3;30. Перемножь, [и получи] 12;15. Сложи [это] с 1,8;45, [получи] результат 1,21. Это есть квадрат 9. Вычти 3;30, которое ты перемножал, из 9. Результат вычисления 5;30. Величину, обратную к 11, нельзя найти. На что надо умножить 11, чтобы получить 5;30? [Ответ равен] 0;30, сторона квадрата равна 0;30».
Обратите внимание: табличка указывает читателю, что делать, но не почему. Это не более чем алгоритм. Кому-то необходимо было понять, как это работает, прежде всего чтобы записать способ решения. Но, будучи однажды открытым, он становится доступным каждому обученному. Мы так и не знаем, то ли вавилоняне заучивали алгоритм наизусть, то ли должны были сами объяснять, почему он работает.
Приведенный выше алгоритм выглядит размытым, однако интерпретировать его всё же проще, чем мы могли бы подумать. И здесь очень помогает использование рациональных чисел: мы сразу понимаем, какие правила пошли в ход. Чтобы обнаружить их, достаточно просто привести всё к системе. В современной записи имеем:
a = 11, b = 7, c = 6;15 = 61/4.
Тогда уравнение примет вид:
ax2 + bx = c,
соответственно с данными значениями для a, b и c. Нам нужно найти x. Вавилонское решение диктует нам следующее.
1. Умножить с на а, чтобы получить ас.
2. Разделить b на 2, чтобы получить b/2.
3. Возвести в квадрат b/2, чтобы получить b2/4.
4. Сложить это с ас, что даст ас + b2/4.
5. Извлечь из этого квадратный корень, чтобы получить
6. Вычесть из этого b/2, чтобы получить
7. Разделить это на а, и ответ будет
Это эквивалентно формуле
Вавилоняне явно отдавали себе отчет в том, что их решения являются неким обобщением. Приведенный пример слишком сложен, и его можно считать специальным, подобранным только для данной задачи.
Как относились к своему методу сами вавилоняне и что о нем думали? Похоже, должна была быть некая упрощенная идея, лежавшая в основе такого сложного процесса. Возможно, хотя напрямую это и не доказано, что они изобрели некую геометрическую идею, дополняющую квадрат. Алгебраическая версия этого метода также рассматривается в наши дни. Для ответа на этот вопрос мы его для ясности запишем в виде x2 + ax = b и приведем на рисунке его геометрическую интерпретацию.
Здесь квадрат и первый прямоугольник имеют высоту x; их ширина равна соответственно x и a. Меньший прямоугольник имеет площадь b. По вавилонскому рецепту мы легко делим первый прямоугольник на две половины:
Два новых прямоугольника мы можем переместить и совместить с краями квадрата:
Получившаяся слева фигура так и просится быть дополненной до большого квадрата, с добавлением затененного квадрата.
Чтобы уравнение оставалось верным, такой же квадрат должен быть добавлен и к левой фигуре. Но теперь мы определяем площадь последней как квадрат стороны (x + a/2), и геометрическая схема эквивалентна алгебраическому выражению:
x2 + 2(a/2 × x) + (a/2)2 = b + (a/2)2.
Поскольку левая часть – квадрат суммы, мы можем переписать это так:
(x + a/2)2 = b + (a/2)2,
чтобы потом извлечь из него квадратный корень:
и наконец переписать в виде
что в точности повторяет вавилонский вариант решения.
Ни на одной из табличек не найдено подтверждения гипотезе, что вавилоняне воспользовались этой геометрической схемой для получения своего алгоритма. Но такое объяснение не лишено смысла, так как косвенно подтверждается схемами, изображенными на других табличках.
Аль-джабр
Слово «алгебра» происходит от арабского «аль-джабр» – термина, использованного Мухаммадом ибн Мусой аль-Хорезми, ставшим известным в 820 г. В его работе «Краткая книга об исчислении аль-джабры и аль-мукабалы» изложены основные методы решения уравнений с неизвестными.
Аль-Хорезми использует слова, а не символы, но его методы узнаваемы и практически не отличаются от тех, которым нас учат сегодня. «Аль-джабр» означает «восполнение равных количеств к обеим сторонам уравнения». Так, мы начинаем:
x – 3 = 5
и выводим, что
x = 8.
Фактически мы делаем свой вывод, прибавляя по 3 к каждой из сторон. «Аль-мукабала» имеет два смысла. Вот его особый смысл: «вычитание равных количеств из обеих сторон уравнения», чем мы и занимаемся, переходя от
x + 3 = 5
к ответу
x = 2.
Но есть и более общий смысл: «восстановление», т. е. приведение подобных членов в обеих частях уравнения. Аль-Хорезми дает общие правила для шести видов уравнений, с помощью которых можно решить все линейные и квадратные уравнения. В его работах представлены идеи элементарной алгебры, но без использования символов.
Кубические уравнения
Итак, вавилоняне умели решать квадратные уравнения, и их метод был по существу таким же, какому нас учат сегодня. Алгебраически самое сложное в нем – квадратный корень, и присутствует несколько стандартных арифметических действий (сложение, вычитание, умножение и деление). Ожидаемым следующим шагом становятся кубические уравнения, включающие неизвестное в кубе. Их мы пишем так:
аx3 + bx2 + cx + d = 0,
где x – неизвестное, а коэффициенты a, b и c – известные. Но до появления идеи отрицательных чисел математики классифицировали кубические уравнения по нескольким отдельным видам, так что, например, выражения x3 + 3x = 7 и x3 – 3x = 7 расценивались как совершенно разные, и для них существовали свои методы решения.
Третья часть «Книги абака» содержит задачу, автором которой, скорее всего, был сам Леонардо: «Некто поместил пару кроликов в место, со всех сторон окруженное стеною. Со второго месяца после своего рождения кролики начинают спариваться и каждый месяц производить новую пару кроликов; кролики никогда не умирают. Сколько пар кроликов будет через год?»
Эта каверзная задача приводит к любопытной последовательности чисел, получившей широкую известность:
1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …
и т. д. Каждое число – сумма двух предыдущих. Их стали называть числами Фибоначчи и они часто встречаются как в математике, так и в мире природы. Например, у многих цветов число лепестков совпадает с числами Фибоначчи. Это следствие особенностей роста растений и геометрии примордиев – зачатков в виде мельчайших скоплений клеток в точке роста, развивающихся в отдельные лепестки.
Условия задачи Фибоначчи для воображаемой популяции кроликов нельзя воспроизвести физически, но более общее правило (модель Лесли) используется и по сей день для некоторых задач динамики популяций. Их приходится решать, чтобы предсказать популяционные колебания определенного вида животных с учетом спаривания и смертности.
Многие главы «Книги абака» содержат алгебраические задачи, отвечающие интересам купечества. Одна, не только практическая, выглядит так: «Некто купил 30 птиц – попугаев, голубей и воробьев. Попугай стоит 3 серебряных монеты, голубь 2, а воробей 1/2. Он заплатил 30 серебряных монет. Сколько птиц каждого вида он купил?»