Если x обозначает число попугаев, y – число голубей, а z – число воробьев, то в современной системе мы составим уравнения:
x + y + z = 30,
3x + 2y + 1/2z = 30.
В мире рациональных чисел эти уравнения будут иметь много решений, но в самом вопросе подразумевается дополнительное условие: x, y, z – целые числа. Тогда есть только один ответ: 3 попугая, 5 голубей и 22 воробья.
Леонардо также приводит ряд задач, посвященных покупке лошади. Один человек говорит другому: «Если ты дашь мне треть своих денег, я смогу купить лошадь». Тот ему отвечает: «Если ты дашь мне четверть своих денег, я смогу купить лошадь». Сколько стоит лошадь? Сейчас уже найдено много решений; среди целочисленных самая малая цена лошади – 11 серебряных монет.
Греки открыли, как использовать конические сечения для решения некоторых кубических уравнений. Современная алгебра доказала, что если коническое сечение пересекается с другой коникой, точки пересечения находятся с помощью уравнения третьей или четвертой степени (в зависимости от конического сечения). Греки не знали об этом как об общем факте, но использовали следствия из него в некоторых частных случаях, применяя коническое сечение как новый вид геометрического инструмента.
Эта линия атаки была дополнена и приведена в систему персидским ученым Омаром Хайямом, более известным как автор четверостиший рубаи. Примерно в 1075 г. он классифицировал кубические уравнения на 14 видов и показал, как решать каждый из них, используя коники, в своем труде «Трактат о доказательствах задач алгебры и аль-мукабалы». Этот труд стал прорывом в геометрии, в нем практически безукоризненно развит геометрический метод решения кубических уравнений. Кое-кто из современных математиков может это оспорить: некоторые задачи у Хайяма решены не полностью, так как он предполагал, что отдельные точки геометрически определены, хотя иногда их не существует. Причина в том, что иногда он считал, будто его коники пересекаются, хотя на самом деле этого не было. Но всё это лишь незначительные огрехи его трудов.
Итак, геометрические методы решения кубических уравнений были найдены, но существуют ли также и алгебраические решения, где самыми сложными составляющими будут кубические корни? Итальянские математики эпохи Возрождения совершили огромный прорыв в алгебре, найдя положительный ответ на этот вопрос. В то время математики зарабатывали себе репутацию, соревнуясь в публичных состязаниях. Каждый участник предлагал противникам свои задачи, и тот, кто решил больше всех, признавался победителем. Зрители вольны были даже заключать пари на исход соревнования. Ставки порой делали и сами участники: описан случай, когда проигравший был обязан угостить победителя (и его друзей) тридцатью обедами. Кроме того, у хорошо проявивших себя участников состязания появлялась дополнительная возможность обзавестись учениками, особенно среди знатной молодежи. Так или иначе, публичные математические бои стали серьезным мероприятием.
Одна из таких дискуссий состоялась в 1535 г.: предстояло встретиться Антонио Фиоре и Никколо Фонтана по прозвищу Тарталья, «заика». Тарталья разнес Фиоре в пух и прах, и слух о его триумфе дошел до ушей Джероламо Кардано. Тот насторожился. Он как раз трудился над всесторонней книгой об алгебре, как раз над тем разделом, что оказался предметом состязания между Фиоре и Тартальей: кубические уравнения. Тогда было принято делить кубические уравнения на три разных типа – опять-таки из-за нежелания признавать отрицательные числа. Фиоре было известно решение лишь для одного типа. А Тарталья поначалу знал решение только для другого типа. В современной нотации его решение для уравнения типа x3 + ax = b выглядит так:
где i – мнимая единица, а
За неделю до состязания Тарталья был в отчаянии и боялся проиграть, но тут его посетило озарение: он понял, как решить остальные типы уравнений. И, конечно, он послал Фиоре только те уравнения, которые тот заведомо не мог решить.
Кардано прослышал об этом соревновании и понял, что оба соперника успели разработать методы для решения кубических уравнений. Мечтая вставить их в свою книгу, он обратился к Тарталье с просьбой поделиться с ним своими наработками. Тарталья, естественно, с неохотой пошел на это, ведь средства к его существованию зависели от них. Он долго колебался, но в итоге всё же его удалось уговорить. Кардано поклялся не публиковать новый метод. Тайна была нарушена в изданном Кардано труде «Великое искусство» («Ars magna»), и Тарталья имел полное право рассердиться. Он публично обвинил Кардано в плагиате.
Хотя Омар Хайям известен большинству из нас как поэт, он был также и выдающимся математиком.
Впрочем, Кардано никогда не мог похвастаться хорошей репутацией. Он был неисправимым игроком, готовым спустить любую сумму в карты, кости или даже шахматы. Так он умудрился проиграть все семейное состояние. С другой стороны, это был гений, талантливый врач, выдающийся математик и опытнейший самопиарщик, хотя его положительные качества часто бледнели на фоне излишней, подчас на грани оскорбления, откровенности. И гнев Тартальи, обвинявшего Кардано в обмане и воровстве, был вполне справедливым. То, что Кардано честно ссылался в своей книге на Тарталью, только усугубило положение. Тот понимал, что в памяти потомков останется автор книги, а не какое-то имя, мельком упомянутое в паре строк.
Но у Кардано было оправдание, и вполне весомое. Оно стоило того, чтобы нарушить обещание, данное Тарталье. Он включил в свою книгу новые открытия, сделанные им и его учеником Лодовико (Луиджи) Феррари, в том числе общее решение уравнения четвертой степени. Это было великое достижение, настоящий прорыв в науке. Конечно, Кардано не преминул включить его в свою книгу. Это считалось вполне законным, ведь открытие сделал его ученик. Однако метод Феррари сводит решение любого уравнения четвертой степени к соответствующему кубическому; следовательно, он основан на методе Тартальи. И Кардано не мог опубликовать работу Феррари, не включив в нее также и метод Тартальи.
А вскоре пришли новости, подсказавшие ему способ выйти из неловкого положения. У того самого Фиоре, что проиграл Тарталье в публичном соревновании, был ученик, Сципион дель Ферро. И до Кардано дошли слухи о том, что дель Ферро решил все три типа кубических уравнений, а не только то, с которым справился Фиоре, и что неопубликованные бумаги дель Ферро оказались в руках некоего Аннибала дель Наве. И вот Кардано с Феррари в 1543 г. отправляются в Болонью, чтобы повстречаться с дель Наве, посмотреть на его бумаги, и там – ясные как день – им открылись решения для всех трех типов уравнений. Итак, у Кардано появилась возможность спокойно заявить, что он опубликовал не метод Тартальи, а открытие дель Ферро.
Но Тарталья не смирился с поражением, хотя и не мог больше опровергать уверения Кардано о том, что приведенное им решение открыто дель Ферро. Тарталья опубликовал пространную и полную гнева диатрибу об этой несправедливости, и его вызвал на публичные дебаты Феррари, горевший желанием отстоять честь наставника. Он одержал грандиозную победу, а Тарталья так и не оправился от этого удара.
Алгебраическая символика
Итальянские математики эпохи Возрождения сделали немало важных алгебраических открытий, но их система записи всё еще была далека от совершенства. На развитие символов современной алгебры ушла не одна сотня лет.
Первым, кто предложил использовать символы для обозначения неизвестных величин, был Диофант Александрийский. Его «Арифметика», написанная примерно в 250 г., изначально содержала 13 книг, шесть из которых дошли до нас в виде позднейших копий. Труд посвящался решению алгебраических уравнений как с целыми, так и с рациональными числами – дробями вида p/q, где p и q – целые числа. Нотация Диофанта сильно отличается от той, которой мы пользуемся сейчас. И хотя «Арифметика» – единственный из дошедших до нас трудов на эту тему, есть некоторые свидетельства того, что Диофант был частью более широкой традиции, а не просто отдельной фигурой.
Арабские математики Средневековья изобрели весьма изощренные методы решения уравнений, но излагали их на бумаге не с помощью символов, а с помощью слов.
Переход к использованию символов состоялся во времена Возрождения. Первым из великих алгебраистов, применившим символы, был Франсуа Виет. Большинство своих результатов он сумел записать с помощью символов, но те существенно отличались от современных. Однако именно он предложил буквы алфавита в качестве обозначения как известных, так и неизвестных. Чтобы избежать путаницы, он рекомендовал согласные B, C, D, F, G… использовать для известных величин, а гласные A, E, I… для неизвестных.
Джероламо Кардано был незаконным сыном миланского стряпчего Фацио Кардано и молодой вдовы Клары Мичери, вынужденной одной растить троих детей. Дети умерли от чумы в Милане, пока Клара рожала Джероламо в Павии. Фацио был способным математиком и передал Джероламо увлечение этим предметом. Джероламо против воли отца пошел изучать медицину в университете Павии: Фацио хотел, чтобы он тоже стал юристом.
Еще студентом Кардано был выбран ректором университета (по местной традиции ректор избирался из студенческой среды) в Падуе, куда он переехал, с перевесом в один голос. Едва успев получить наследство после смерти отца, Кардано промотал все деньги в азартные игры[2]: карты, кости и даже шахматы. Он не расставался с кинжалом и однажды ударил им в лицо противника, которого заподозрил в мошенничестве.
В 1525 г. Кардано получает диплом медика, однако ему пришлось покинуть пост в Миланской коллегии врачей – возможно, из-за скандальной репутации. Он практиковал медицину в деревне Сакка и женился на Лючии Бандарини, дочери капитана местного ополчения. Практика не приносила дохода, и в 1533 г. Кардано снова увлекся азартными играми, и на этот раз проигрыш оказался серьезнее: пришлось заложить драг