Тригонометрия – наиболее широко используемый математический метод, участвующий буквально во всем: от определения местоположения корабля в навигации до работы спутниковой системы GPS в автомобилях. Ее применение в науке и технике настолько привычно, что происходит практически незаметно: такое характерно для самых универсальных инструментов. Исторически она тесно связана с логарифмами – искусным способом преобразования умножения (что достаточно трудоемко) в сложение (что намного проще). Главные идеи дисциплины были сформулированы между 1400 и 1600 гг., но она имеет длинную предысторию и массу более поздних дополнений, а ее система обозначений развивается до сих пор.
В этой главе мы проведем обзор основных тем: тригонометрические функции, экспоненциальная функция и логарифм. Также мы обратим внимание на несколько приложений, старых и новых. Многие из старых касаются техники счета и почти полностью забыты в наши дни из-за широкого применения компьютеров. Например, мало кто из наших современников до сих пор использует для умножения логарифмы. Никому не придет в голову лезть в таблицы логарифмов, раз компьютер способен моментально вычислить значение любой функции с гораздо большей точностью. Но когда логарифмы только появились, были составлены таблицы готовых расчетов из них, сделавшие их очень полезными, особенно в астрономии, где не обойтись без длинных и сложных вычислений. Составителям таблиц для нужд астрономии приходилось тратить годы – и даже десятилетия – на расчеты. Человечество очень многим обязано упорству этих преданных своему делу первопроходцев.
Происхождение тригонометрии
Главной проблемой тригонометрии было вычисление по известным данным о треугольнике (длинам сторон, величине углов) остальных его характеристик. Нам будет намного проще описать ее раннюю историю, если мы сперва резюмируем главные черты тригонометрии современной, которая по большей части является не более чем переработанной в XVIII в. областью науки, унаследованной от древних греков, если не от более ранних ученых. Краткое изложение обозначит рамки, в пределах которых мы можем описывать идеи математиков древности, не увязая в недоказуемых и со временем забытых концепциях.
Тригонометрия основана на ряде особых функций, из которых основными считаются синус, косинус и тангенс. Они применимы к углу, традиционно представленному греческой буквой θ (тета), и могут быть определены в терминах прямоугольного треугольника, чьи три стороны a, b и c соответственно называются прилежащим и противолежащим катетами и гипотенузой.
Тогда:
синус тета равен sin θ = b/c,
косинус тета равен cos θ = a/c,
тангенс тета равен tan θ = b/a.
Получается, что значения этих трех функций для заданного угла θ определяет геометрия треугольника (одинаковый угол может быть у треугольников разных размеров). Но геометрия подобных треугольников подразумевает, что коэффициент подобия между ними не зависит от их размера. Однако когда эти функции были вычислены и занесены в таблицы, с их помощью стало легко «решать» треугольник (вычислять все его стороны и углы) по величине θ. Взаимоотношения между тремя функциями были описаны множеством красивых формул. В частности, теорема Пифагора заключает в себе следующее:
sin2 θ + cos2 θ = 1.
Судя по всему, тригонометрия ведет происхождение от астрономии, где относительно просто измерить углы, но очень трудно – невообразимые расстояния. Греческий астроном Аристарх в своем труде, датируемом примерно 260 г. до н. э., «О величинах и расстояниях Солнца и Луны», определил, что Солнце удалено от Земли на расстояние, от 18 до 20 раз большее, чем расстояние от Земли до Луны. (Точная цифра ближе к 400, но Евдокс Книдский и Фидий доказывали, что верное число – 10.) Его объяснение было таково: когда Луна достигает половины полного размера, угол между направлениями от наблюдателя к Солнцу и Луне равен примерно 87° (в современных единицах). Используя свойства треугольников, что равнозначно тригонометрической оценке, он определил (в современных единицах), что величина sin 3° лежит между 1/18 и 1/20, что приводит к оценке соотношения расстояний до Солнца и до Луны. Сам метод был верен, не хватало точности наблюдений: точный угол равен 89,8°.
Положение Солнца, Луны и Земли, когда освещена половина Луны
Первые тригонометрические таблицы составил Гиппарх примерно в 150 г. до н. э. Вместо современной функции синуса он использовал очень близкое понятие, что с геометрической точки зрения было совершенно естественным. Представьте себе круг с двумя радиусами, которые образуют угол θ. Конечные точки радиусов на окружности можно соединить прямой, называемой хорда. Также их можно принять как конечные точки дуги окружности.
Дуга и хорда, соответствующие углу θ
Гиппарх составил таблицу соответствующих длин дуг и хорд для углов разной величины. Если радиус круга равен 1, то длина дуги равна θ в радианах. Простые геометрические построения демонстрируют, что длина хорды в современной нотации равна 2sin θ/2. Итак, мы видим, что вычисления Гиппарха очень близко подводят нас к таблице синусов, хотя они и не были представлены именно в таком виде.
Астрономия
Любопытно, что первые труды по тригонометрии были гораздо сложнее, чем большая часть материала, преподаваемого сегодня в школе, и снова благодаря астрономии (и позже навигации). Здесь мы имеем дело с естественным пространством, которое представляет собой не плоскость, а сферу. Небесные тела можно представить расположенными на воображаемой гигантской сфере. И самым точным представлением о небе будет его внутренняя поверхность, окружающая наблюдателя: на таком расстоянии действительно может показаться, что они лежат на этой сфере.
Как следствие, астрономические вычисления связаны с геометрией сферы, а не плоскости. Соответственно, и требования к ним определяются не плоскостной геометрией и тригонометрией, а геометрией и тригонометрией сферы. Одной из самых ранних работ на эту тему считают сочинение Менелая «Сферика» примерно 100 г. н. э. Пример одной из его теорем, не имеющей аналогов в геометрии Евклида, таков: если два треугольника имеют одинаковые углы, то они конгруэнтны – т. е. совпадают как по размеру, так и по форме (по Евклиду они подобны: имеют одну форму, но, возможно, разные размеры). В сферической геометрии сумма углов треугольника превышает 180°. Например, треугольник, чьи вершины лежат на Северном полюсе и двух точках экватора, разнесенных на 90°, явно имеет три прямых угла, т. е. их сумма равна 270°. И чем больше размеры треугольника, тем больше сумма его углов. Фактически эта сумма минус 180° пропорциональна общей площади треугольника.
Эти примеры показывают, что геометрия сферы имеет свои характеристики и необычные черты. То же относится и к сферической тригонометрии, хотя и здесь основными остаются стандартные тригонометрические функции. Меняются только формулы.
Птолемей
Безусловно, вершиной тригонометрической мысли античности является текст Птолемея Александрийского Megale syntaxis («Великое построение»), датируемый примерно 150 г. н. э. Он больше известен как «Альмагест», что по-арабски означает «величайший», и включает тригонометрические таблицы, снова изложенные в понятиях хорд, вместе с методами вычисления их размеров, а также описание положений светил на небесной сфере. Превосходным примером сложнейшего хода мысли Птолемея служит его теорема, согласно которой если четырехугольник ABCD вписан в окружность (его вершины лежат на этой окружности), то
AB × CD + BC × DA = AC × BD
(произведение диагоналей вписанного четырехугольника равно сумме произведений противоположных сторон).
Четырехугольник, вписанный в окружность, и его диагонали
Современная интерпретация этого факта – знаменитая пара формул:
sin (θ + φ) = sin θ cos φ + cos θ sin φ,
cos (θ + φ) = cos θ cos φ – sin θ sin φ.
Главное следствие из этой формулы – возможность легко вычислить синус и косинус суммы двух углов, если вам известны синус и косинус каждого из них. Итак, начиная (например) с sin 1° и cos 1°, вы можете вычислить sin 2° и cos 2°, взяв θ = φ = 1°. Затем вы можете получить sin 3° и cos 3°, взяв θ = 1°, φ = 2°, и т. д. Вам только необходимо знать, как начать, но всё, что вам позже потребуется, не выходит за рамки арифметики. Вычислений будет довольно много, зато они несложные.
Начать эту цепочку легче, чем кажется, потребуются только арифметический и квадратный корни. Исходя из очевидного θ/2 + θ/2 = θ, теорема Птолемея приводит к тому, что:
Начав с cos 90° = 0, вы можете постоянно делить угол пополам, получая сколь угодно малые углы для синусов и косинусов (Птолемей использовал 1/4°). Затем вы можете пойти в обратную сторону, используя все целочисленные кратные этого малого угла. Начиная с нескольких основных формул тригонометрии и нескольких простых значений величины некоторых углов, вы сможете вычислить величину практически любого угла. Это был выдающийся прорыв, который вывел астрономию на вершину науки на целое тысячелетие.
Еще одним выдающимся достижением «Альмагеста» стало то, как в нем вычислены орбиты планет. Любой, кто занимается наблюдением за светилами, очень быстро замечает, что планеты блуждают между определенных звезд, а пути, по которым они следуют, довольно сложные и могут то поворачивать назад, то сворачиваться в вытянутые петли.
Евдокс, верный заветам Платона, нашел способ представлять эти сложные траектории в виде сфер, наложенных друг на друга. Его идею упростили Аполлоний и Гиппарх, предложив использовать эпициклы – окружности, чьи центры движутся по другим окружностям, и т. д. Птолемей развил идею эпициклов, и это позволило построить очень точную модель планетарных орбит.