Со временем фигурки становились всё более изысканными и специализированными. Были найдены конусы в виде ломтей хлеба и даже ромбовидные символы пива. Шмандт-Бессера считает, что эти фигурки – не просто приспособления для счета. Это первый, самый важный шаг к изобретению цифровых символов, арифметики и математики. Однако из-за своей необычности он кажется случайным.
Всё произошло потому, что фигурки использовались для записи: возможно, собранных налогов, или финансовых операций, или как законное доказательство права на собственность. Их достоинством была простота, с которой счетчики могли поделить их на группы, чтобы определить, сколько животных или зерна имеет или имел человек. Но был и недостаток: фигурки легко подделывались. Для предотвращения махинаций с ними счетчики стали заворачивать их в своего рода глиняные конверты – аналог печати. Чтобы определить, сколько каких фигурок в каждом конверте, его было достаточно разбить. Восстановить его не составляло особого труда.
Всё же необходимость постоянно раскалывать и восстанавливать конверты казалась чиновникам древней Месопотамии слишком утомительной, и они придумали кое-что получше. Они стали метить конверты особыми символами, обозначающими их содержимое. Если там было семь сфер, то и на конверте они рисовали семь кружков.
Наступил момент, когда до месопотамских чиновников дошло: если есть символы, то можно обойтись и без фигурок; чтобы знать, что внутри конверта, нет нужды его разбивать. В результате этого очевидного, но судьбоносного открытия появился набор письменных символов для чисел, разной формы для разных классов предметов. Все прочие, включая и те, которыми пользуемся мы, – производные от этих бюрократических приспособлений древности. Именно замену фигурок символами можно считать изобретением письменности.
Единицы счета
Первые знаки нельзя считать ранними примерами записи чисел. Это просто царапины, метки, выражающие числа в виде серии насечек, например ||||||||||||| для обозначения 13. Самая древняя из известных на сегодняшний день таких надписей – 29 насечек на бедренной кости бабуина, сделанная 37 тыс. лет назад. Эту кость нашли в пещере в горах Лебомбо, на границе между Свазилендом и ЮАР. Место называется Пограничной пещерой, а артефакт – костью Лебомбо.
В отсутствие машины времени нельзя с уверенностью утверждать, что означал каждый символ, но можно делать обоснованные предположения. В лунном месяце 28 дней, значит, насечки, должно быть, связаны с фазами Луны.
В Европе обнаружены похожие артефакты. Пятьдесят семь насечек на волчьей кости из бывшей Чехословакии разбиты на 11 групп по пять с двумя лишними; этой находке 30 тыс. лет. Дважды по 28 будет 56: это может быть обозначение для двухмесячного лунного отрезка времени. И снова у нас нет способа проверить это предположение. Но насечки явно что-то значат, их сделали не просто так.
Еще одна древняя математическая запись, на кости Ишанго из Заира, была сделана 25 тыс. лет назад (прежняя оценка в 6000–9000 лет пересмотрена учеными в 1995 г.). На первый взгляд эти царапины по краям кости кажутся случайными, но здесь может быть скрытый смысл. Один ряд состоит из простых чисел от 10 до 20: это 11, 13, 17 и 19, и в сумме они дают 60. В другом ряду мы видим 9, 11, 19 и 21, что также в сумме равно 60. Третий ряд представляет способ умножения двух чисел: одно из них несколько раз удваивают, а другое делят пополам. Но не исключено, что всё это лишь совпадение или что кость Ишанго – древний лунный календарь.
Первые цифры
Исторический путь от счетных фигурок к современным цифрам долог и извилист. Тысячелетиями народ Месопотамии развивал сельское хозяйство, и на смену кочевому образу жизни пришел оседлый, породив ряд городов-государств: Вавилон, Эриду, Лагаш, Шумер, Ур. Ранние символы на глиняных табличках усложнились до пиктограмм, передающих значения слов в упрощенном виде. Они упрощались всё больше и больше, и в итоге осталось ограниченное число клиновидных отметин, выдавленных на глине сухой палочкой с острым плоским концом. Меняя угол давления, можно было получать отметки разной формы. К 3000 г. до н. э. шумеры создали сложную письменность, названную клиновидной.
История этого периода чрезвычайно сложна; доминировали то одни города, то другие. В какой-то момент высшего расцвета достиг Вавилон: из месопотамских песков ученые выкопали более миллиона глиняных табличек. Несколько сот из них, посвященных математике и астрономии, демонстрируют удивительно глубокие познания древних в этих областях. В частности, вавилоняне были просвещенными астрономами и сумели создать сложнейшую систему математических символов, с помощью которых могли передавать точные астрономические данные.
Числовые символы вавилонян ушли далеко от простых насечек и считаются самыми древними в своем роде. Использовались два разных вида клинышков: тонкий вертикальный обозначал цифру 1, а толстый горизонтальный – 10. Эти знаки, собранные в группы, представляли числа от 2 до 9 (для вертикальных клиньев) и десятки от 20 до 50 (для горизонтальных). Но ряд кончался на 59, после чего тонкий вертикальный клин уже обозначал число 60.
Таким образом, вавилонская система счисления основана на 60, т. е. является шестидесятиричной. В ней каждый символ обозначает либо какое-то число, либо его же, умноженное на 60, либо умноженное на 60 и еще раз на 60 – в зависимости от его положения.
Таков же принцип счисления в нашей десятеричной системе, где значение каждого символа умножается на 10, или 100, или 1000 в зависимости от его положения. Например, в числе 777 первая 7 значит «семь сотен», вторая – «семь десятков», а третья – «семь единиц». У вавилонян серия из трех (символа для 7) будет иметь иное значение, хоть и основанное на том же принципе. Первый символ будет значить 7 × 60 × 60, т. е. 25 200; второй 7 × 60 = 420, третий – 7. Значит, группа из трех символов означает 25 200 + 420 + 7, или 25 627. Артефакты с вавилонской системой счисления, основанной на 60, обнаруживаются до сих пор. И 60 секунд в минуте, и 60 минут в часе, и 360 градусов в окружности уходят корнями в Древний Вавилон.
Кость Ишанго: насечки и представленные ими числа
Простые единицы счета удобны тем, что их можно наносить по одной в течение долгого времени, не изменяя и не удаляя предыдущие. Их используют и сейчас, часто в группах по пять: пятая палочка по диагонали пересекает первые четыре
Древние единицы счета можно найти в элементах современных символов. Наши цифры 1, 2 и 3 явно произошли от насечек: одна горизонтальная, две горизонтальные, связанные косой чертой, и три горизонтальные, связанные косыми чертами
Из-за сложности передачи клинописи ученые изображают вавилонские числа «гибридом» из наших десятеричных знаков и вавилонских шестидесятиричных. Так, тройка клинописных символов для 7 будет выглядеть как 7,7,7. А 23, 11, 14 обозначает вавилонские символы для 23, 11 и 14, написанные по порядку, с числовым значением (23 × 60 × 60) + (11 × 60) + 14, или 83 474 в десятичной системе счисления.
Символы для малых чисел
Мы используем десять знаков не только для обозначения сколь угодно больших чисел: эти же символы отлично справляются и с числами сколь угодно малыми. С этой целью мы используем десятичный разделитель, обозначаемый запятой. Цифры слева от нее обозначают целые числа, справа – их доли, дроби. Дробная часть представляет десятые, сотые доли и т. д. Число 25,47 значит две десятки плюс пять единиц плюс четыре десятых плюс семь сотых.
Вавилоняне знали этот фокус и с пользой применяли его в своих астрономических записях. Ученые использовали в качестве вавилонского эквивалента десятичного разделителя знак «точка с запятой» (;), но это шестидесятеричная «запятая», и числа справа от нее кратны 1/60, (1/60 × 1/60) = 1/3600 и т. д. Например, последовательность чисел 12,59;57,17 составит
12 × 60 + 59 + 57/60 + 17/3600,
что в сумме приблизительно равно 779,955.
На данный момент известно около 2000 вавилонских астрономических табличек. Большинство из них относительно простые и содержат перечень предсказываемых затмений, других регулярных астрономических событий и краткие данные по ним. Около 300 табличек заслуживают большего интереса и восхищения: на них отмечены пути Меркурия, Марса, Юпитера и Сатурна.
Вавилонские символы для чисел от 1 до 59
Какой бы увлекательной ни была история Вавилона, нашу всемирную историю она задевает лишь по касательной, в основном в части чистой математики. Однако, судя по всему, именно приложение к астрономии стало важным толчком к более активному развитию этой науки. Вот почему полезно отметить поразительную точность, с которой вавилоняне описывали астрономические события. Например, они определили период обращения Марса (отрезок времени между двумя его появлениями в одной и той же точке на небосклоне) в 12,59;57,17 дня в своем исчислении, т. е. примерно 779,955 нашего дня, как упоминалось выше. Современные данные – 779,936 дня.
Вавилонская табличка Юпитера. Вавилоняне использовали свою систему счисления для торговли, счета и более отвлеченных и сложных целей, например астрономии. Здесь способность их системы с высокой точностью представлять дроби оказалась особенно важной. Многие сотни табличек хранят данные о движении планет. Среди них есть одна, относительно плохо сохранившаяся, с ежедневными данными о движении Юпитера примерно за 400 лет. Она была создана в самом Вавилоне около 163 г. до н. э. Эта типичная запись содержит числа 126 8 16;6,46,58 – 0;0,45,18 – 0;0,11,42 + 0;0,0,10, что соответствует различным величинам, используемым для вычисления положения планеты в небе. Заметьте: числа с тремя шестидесятеричными знаками после запятой чуть точнее, чем их аналоги из пяти чисел в десятичной системе.