p – 1 должно быть степенью 2.
Варианты древних греков, где p = 3 и p = 5, удовлетворяли этому условию: здесь p – 1 равно 2 и 4 соответственно. Но не только эти два простых числа удовлетворяют условию. Например, 17 – 1 = 16, тоже степень 2. Это еще не доказывает, что 17-угольник возможно построить, но дает серьезную зацепку, и Гауссу удалось найти блестящий способ сократить уравнение 16-й степени до последовательности квадратных уравнений. Он утверждал, хотя и не сумел доказать, что построение возможно для любого числа сторон p, если p – 1 составляет степень 2 (по-прежнему с условием, что p – простое число), и построение невозможно для всех других простых чисел. Доказательство вскоре было найдено другими учеными.
Эти особенные простые числа получили название чисел Ферма, потому что именно он их изучил. Он отметил, что если p – простое число и p – 1 = 2k, то k само должно быть степенью 2. Он составил первую последовательность простых чисел Ферма: 2, 3, 5, 17, 257, 65 537. Он предположил, что числа вида 22m + 1 всегда простые, но это оказалось ошибкой. Эйлер открыл, что когда m = 5, то оно имеет множитель, равный 641.
Софи Жермен была дочерью торговца шелком Амбруаза-Франсуа Жермена и Мари-Мадлен Грюлин. В 13 лет она прочла о том, как Архимеда убил римский солдат за то, что ученый пытался защитить свои чертежи на песке, и твердо решила стать математиком. Несмотря на все усилия родителей, из лучших побуждений пытавшихся ее отговорить, – в те времена математика была не лучшим занятием для юной девушки, – она прочла все труды Ньютона и Эйлера под одеялом по ночам. Наконец родители сдались перед таким упорством и стали ей помогать, обеспечив на всю жизнь финансовую поддержку. Ей удалось получить конспекты лекций Парижской политехнической школы, и она отправила Лагранжу письмо с изложением ряда своих работ под псевдонимом мсье Леблан. Лагранж был впечатлен ее талантом и вскоре выяснил, что автор письма – женщина. Нисколько не смутившись, он с радостью стал ее наставником и покровителем. Они плодотворно работали вместе, и некоторые результаты этих трудов были включены позже в труд Лежандра «Опыт теории чисел» («Essai sur le Théorie des Nombres», 1798).
Самым прославленным из ее собеседников был Гаусс. Софи изучила «Арифметические исследования» и с 1804 по 1809 г. создала целый ряд писем их автору, снова скрывая свой пол под псевдонимом Леблан. Гаусс давал высокую оценку работам Леблана в письмах другим ученым. В 1806 г., когда французы оккупировали Брауншвейг, он обнаружил, что на самом деле мсье Леблан – женщина. Устрашившись того, что Гаусса может постичь участь Архимеда, Софи обратилась за помощью к старинному другу ее семьи, одному из высокопоставленных чинов во французской армии генералу Пернети. Гауссу стало известно об этом ходатайстве, и тогда он узнал, что Леблан и есть Софи.
Но Софи тревожилась напрасно. На Гаусса новость подействовала ошеломляюще, и он написал ей: «Но как передать мой восторг и трепет при открытии, что мой досточтимый корреспондент, мсье Леблан, чудесным образом преобразился в столь поразительное создание… Женщина из-за своего пола и наших предрассудков встречается со значительно более трудными препятствиями, чем мужчина, постигая сложные научные проблемы. Но когда она преодолевает эти барьеры и проникает в тайны мироздания, она несомненно проявляет благородную смелость, исключительный талант и высшую гениальность».
Софи получила ряд результатов в работе над Великой теоремой Ферма, и никто не сумел ее превзойти в этом вплоть до 1840 г. С 1810 по 1820 г. она работала над законами колебаний упругих пластинок и за свой труд получила медаль Французской академии наук. В частности, объявленный Академией конкурс касался так называемых фигур Хладни. Эти неожиданные узоры образуются при вибрации покрытых песком металлических пластинок под действием скрипичного смычка. Хотя и с третьей попытки, но в итоге Софи получила золотую медаль, однако по неизвестным причинам – возможно, в знак протеста из-за несправедливого отношения к ней как к женщине – не явилась на церемонию награждения.
В 1829 г. у Софи развился рак груди, но она продолжила исследования по теории чисел и кривизне поверхностей. Через два года ее не стало.
Далее можно предположить, что существует возможность построить с помощью линейки и циркуля многоугольники с 257 и 65 537 сторонами. В 1832 г. Фридрих-Юлиус Ришло построил многоугольник с 257 сторонами, и его работа не содержит ошибок. Иоганн Гермес десять лет посвятил тому, чтобы построить многоугольник с 65 537 сторонами, и добился успеха в 1894 г. Однако недавние исследования показали, что он ошибся.
Теория чисел становится интересной с точки зрения математики благодаря работам Ферма, открывшего многие закономерности в странном и сложном поведении простых чисел. Но его раздражающее пренебрежение доказательствами своих открытий пришлось компенсировать Эйлеру, Лагранжу и ряду менее значительных ученых, за единственным исключением Великой теоремы. Однако теория чисел в основном как раз и состояла из таких теорем – подчас поражающих своей глубиной и сложностью, но практически не связанных между собою.
На теории чисел основаны многие коды безопасности, применяемые в интернет-торговле. Самый известный из них – криптосистема RSA (Рональд Ривест, Ади Шамир и Леонард Адлеман), обладающая уникальной особенностью: зашифрованные сообщения могут быть посланы публично, при этом нет возможности провести обратную процедуру, т. е. дешифровку.
Предположим, Алиса собралась отправить тайное послание Бобу. Предварительно они условились о том, какое значение будут иметь большие простые числа p и q (каждое должно состоять по меньшей мере из 100 знаков), и перемножили их, чтобы получить M = pq. При желании они даже могут обнародовать это число. Также они вычисляют K = (p − 1)(q − 1), но этот результат держат в секрете.
Теперь Алиса представляет свое послание как число x в пределах от 0 до M – 1 (или последовательность таких чисел, если послание длинное). Для кодирования она выбирает число a, не имеющее общих множителей с K, и вычисляет y = –xa (mod M). Число a должно быть известно Бобу, его также можно не скрывать.
Чтобы расшифровать сообщение, Бобу необходимо знать b, удовлетворяющее условию ab ≡ 1 mod K. Это число (которое существует и уникально) держится в тайне. Чтобы расшифровать y, Боб вычисляет:
yb (mod M).
Почему это можно дешифровать? Потому что
yb ≡ (xa)b ≡ xab ≡ x1 ≡ x (mod M),
согласно обобщению Малой теоремы Ферма, сделанному Эйлером.
Этот метод вполне практичен, поскольку существуют эффективные тесты для поиска больших простых чисел. Но пока нет действенного способа искать простые множители для больших чисел. А значит, даже зная произведение pq, посторонний не сможет вычислить p и q, а без этого невозможно найти значение b – ключ ко всему шифру.
Ситуация кардинально изменилась, когда за дело взялся Гаусс и открыл общие концептуальные основы теории чисел, такие как модульная арифметика. Также своими исследованиями свойств правильных многоугольников он связал теорию чисел с геометрией. С этого момента теория чисел превратилась в заметную нить на пестром ковре математики.
Интуиция Гаусса привела математиков к открытию принципиально новых структур – новых числовых систем, таких как целые числа по mod n, а также математических действий, таких как композиция квадратичных форм. Благодаря новым открытиям теория чисел конца XVIII – начала XIX в. породила абстрактную алгебру конца XIX – начала XX в. Математики уже не боялись выходить за рамки привычных концепций и структур в своих исследованиях. Несмотря на узкоспециализированную тему, «Арифметические исследования» стали значительной вехой на пути создания современного подхода к математике в целом. И это одна из причин, почему математики так высоко оценивают роль Гаусса.
Вплоть до конца XX в. теория чисел пребывала в рамках чистой математики – любопытная сама по себе, с многочисленными способами приложения к собственно математическим исследованиям. Но она всё еще не играла особой роли для остального мира. Однако всё изменилось с момента изобретения цифровой связи в конце XX в. Как только она стала полностью зависеть от чисел, теория чисел предсказуемо оказалась на переднем крае. Чтобы хорошая математическая идея обрела практическое значение, могут уйти годы – а иногда даже сотни лет, – но рано или поздно любая область, некогда считавшаяся важной только среди математиков, находит дорогу в реальный мир и занимает там подобающее ей место.
Глава 8. Система мира
Самым значительным прорывом в истории математики можно считать исчисление, независимо открытое примерно в 1680 г. Исааком Ньютоном и Готфридом Лейбницем. Лейбниц первым опубликовал свой труд, но Ньютон – подталкиваемый патриотично настроенными друзьями – заявил о своем первенстве и обвинил Лейбница в плагиате. Этот конфликт почти на 100 лет разорвал связи между английскими математиками и учеными с континента, и в итоге в проигрыше оказались англичане.
Система мира
Хотя Лейбниц скорее мог бы претендовать на первенство в открытии исчисления, Ньютон превратил его в главную технику зарождающейся отрасли науки – классической физики, позже ставшей главным инструментом в познании человечеством мира природы. Сам Ньютон назвал свою теорию «Система мира». Пожалуй, звучит не очень скромно, зато точно определяет предмет. До Ньютона представления людей о законах природы в основном исходили из идей Галилея о движении тел, в частности параболической траектории полета пушечного ядра, а также открытой Кеплером эллиптической формы орбиты Марса в небесах. После Ньютона математические формулы пронизали почти все области физического мира: движение земных и небесных тел, потока воздуха и воды, передачи тепла, света, звука, силу тяготения.