Тем более любопытно, что в главном опубликованном Ньютоном труде, «Математические начала натуральной философии», исчисление не упоминается вообще. Он посвящен изящному применению геометрии в стиле, заданном древними греками. Но внешность порой обманчива: неопубликованные документы, известные как «Портсмутские бумаги», доказывают, что во время работы над «Началами» Ньютон сформировал представление об идее исчисления. Очень похоже, что ученый использовал методы исчисления в большинстве своих открытий, однако предпочел не распространяться о них. Его наработки были опубликованы уже после его смерти, в книге «Метод флюксий и бесконечных рядов», в 1732 г.
Исчисление
Что такое исчисление? Метод, изобретенный Ньютоном и Лейбницем, проще понять, ознакомившись с более ранними идеями. Исчисление – это математика мгновенных изменений: насколько быстро изменяется определенная величина в это самое мгновение. Вот пример из физики: поезд движется по рельсам; как быстро он едет прямо сейчас? Исчисление делится на две главные ветви. Дифференциальное исчисление обеспечивает методы измерения скорости изменений и в большинстве случаев приложимо к геометрии, в частности при нахождении касательных к кривым. Интегральное исчисление подразумевает противоположное действие: исходя из скорости изменения некой величины, оно позволяет найти саму величину. Геометрические приложения интегрального исчисления включают способы вычисления площадей и объемов. Пожалуй, самым значительным открытием как раз и стала эта неожиданная связь между двумя внешне независимыми геометрическими вопросами: нахождение касательных к кривым и нахождение площадей.
Геометрический смысл производной
Исчисление неразрывно связано с функциями – действиями, когда берется некое исходное число и определяется другое, связанное с ним. Как правило, такое действие описывается формулой, где данному числу, обозначенному как x (возможно, с некими дополнительными условиями), вводится в соответствие число f(x). В качестве примеров можно привести функцию квадратного корня f(x) = √x (в этом случае x должно быть неотрицательным числом) и квадратную функцию f(x) = x2 (в этом случае для x нет никаких условий).
Первой ключевой идеей исчисления является дифференцирование, т. е. взятие производной функции. Производная – это скорость изменения функции f(x), сравниваемая с изменением x, т. е. скорость изменения f(x) относительно x.
Геометрически скорость изменения – это тангенс угла наклона графика f в точке х. К нему можно приблизиться, определив угол наклона секущей – линии, пересекающей график в двух наиболее близких точках, соответствующих x, и x + h, где h невелико. Угол наклона секущей равен:
Теперь предположим, что h – очень малая величина. Тогда секущая приблизится к касательной на графике в точке x. Так что в определенном смысле необходимый угол наклона – производная f в точке x – будет пределом для этого выражения, поскольку h становится сколько угодно малым.
Попробуем произвести это вычисление для простого примера, f(x) = x2. Получаем:
А поскольку h становится всё меньше, угол наклона 2x + h всё ближе к 2x. Производная f – это функция g, равная g(x) = 2x.
Здесь главный концептуальный вопрос в том, что мы подразумеваем под пределом. У математиков ушел почти век на то, чтобы дать ему логичное определение.
Другой ветвью исчисления стало интегральное. Этот процесс проще всего представить как обратный дифференцированию. Интеграл g, описанный формулой
является любой функцией f(x), производная которой – g(x). Например, поскольку производная f(x) = x2 есть g(x) = 2x, интеграл от g(x) = 2x равен f(x) = x2.
Необходимость в исчислении
Толчок к изобретению исчисления дали два направления. В области чистой математики дифференциальное исчисление эволюционировало из методов поиска касательной к кривой, а интегральное исчисление – из методов расчета площадей плоских фигур и объемов тел. Но главный стимул для исчисления пришел от физиков – в связи с укреплявшимся убеждением в том, что природа имеет свои законы. По причинам, до сих пор не полностью нам понятным, большинство фундаментальных законов природы включают в себя переменные. А значит, их можно исследовать и понять только с помощью исчисления.
В эпохи, предшествовавшие Возрождению, самую точную модель движения Солнца, Луны и планет удалось создать Птолемею. В его системе Земля оставалась неподвижной, а все остальные тела – в частности, Солнце – вращались вокруг по некоему набору (реальных или воображаемых – на усмотрение рассуждающего) окружностей. Последние преобразовались в сферы в работах древнегреческого астронома Гиппарха. Его сферы вращались вокруг гигантских осей, часть из которых были связаны с другими сферами и двигались по ним. Этот вид взаимосвязей казался необходимым для моделей планетарных орбит. Причем некоторые планеты, такие как Венера, Меркурий и Марс, на первый взгляд имели сложные орбиты, включавшие петли. Другие – Юпитер и Сатурн (остальные планеты тогда еще не были открыты) – вели себя более прилично, но даже они временами выкидывали странные штуки, известные еще древним вавилонянам.
Мы уже обсуждали систему Птолемея, известную как эпициклы, где окружности заменяли сферы, но сохранялась единая схема движения. Модель Гиппарха не была достаточно точной по сравнению с фактическими наблюдениями, а модель Птолемея отлично отражала все данные астрономов. Это сделало ее единственно «верной» на тысячу лет. Его труды, переведенные на арабский язык в «Альмагесте», служили астрономам многих культур.
Вера против науки
Но даже «Альмагест» не отражал всех передвижений планет. Вдобавок он был довольно сложен. Примерно в 1000 г. н. э. некоторые арабские и европейские мыслители стали задаваться вопросом, не следует ли объяснить дневное движение Солнца вращением Земли, а кое-кто даже пошел дальше и предположил, что Земля сама вращается вокруг Солнца. Но в то время эти идеи так и остались домыслами.
В эпоху Возрождения научный подход к описанию мира всё больше укоренялся среди передовых мыслителей, и во многом причиной тому были сами религиозные догмы. В то время католическая церковь безраздельно владела умами приверженцев и диктовала им свой взгляд на устройство Вселенной. И дело было не только в том, что христианскому богу приписывалось как само ее сотворение, так и всё, что происходило в ней каждый день. Церковь считала, что единственно верное толкование законов природы можно искать только в Библии, в буквальном смысле. Земля должна была считаться центром всего, непоколебимой основой, вокруг которой вращаются небеса. А человек, как вершина творения, провозглашался причиной создания остальной Вселенной.
Ни одно научное наблюдение не показало до сих пор признаков существования невидимого, непознаваемого творца. Но те же наблюдения поколебали убеждения в том, что Земля – центр Вселенной. И это стало причиной великого противостояния, в котором лишились жизни многие невинные люди, причем зачастую самыми жестокими и варварскими способами.
Кеплер родился в семье наемника и дочери трактирщика. Когда в 18 лет он остался без отца (скорее всего, тот погиб в войне между Нидерландами и Священной Римской империей), им с матерью пришлось перебраться к деду, в его трактир. Юноша очень рано продемонстрировал математические способности и в 1589 г. был принят стипендиатом для занятий астрономией под руководством Михаэля Мёстлина в Университете Тюбингена. Здесь он досконально изучил систему Птолемея. В тот период астрономов больше интересовало точное вычисление орбит всех планет, никто не задавался общими вопросами о том, почему они движутся так, а не иначе. Но Кеплера с самого начала завораживали незримые тропы, по которым перемещаются небесные тела, а не предсказуемые сочетания эпициклов. Как только ему удалось познакомиться с системой Коперника, Кеплер поверил, что это и есть единственно верная идея, а не только математическая уловка.
Работа с Браге. В своей книге «Тайна мироздания» (Mysterium Cosmographicum, 1596) Кеплер попытался сопоставить орбитам пяти известных тогда планет (сферу Земли он выделял особо) различные платоновы тела (правильные многогранники). Эта странная модель не идеально сочеталась с фактическими наблюдениями, и Кеплер написал ведущему астроному Тихо Браге. Тот взял его к себе помощником по математической части, чтобы вычислить точную орбиту Марса. После смерти Браге Кеплер продолжал работу над этой проблемой. Браге оставил множество данных, и Кеплер, не жалея сил, пытался уложить их в разумную орбиту. Свой труд, под конец занявший около тысячи страниц, он называл «моей войной с Марсом». Полученная им орбита оказалась настолько точной, что расхождение с современными данными составляет всего несколько минут, накопившихся за прошедшие столетия.
Трудные времена. 1611-й был плохим годом. У Кеплера умер семилетний сын. Следом ушла жена. Император Рудольф, не притеснявший протестантов, отрекся от престола, и Кеплеру пришлось покинуть Прагу. В 1613 г. он женился во второй раз, и вопрос, который возник у него во время свадебных торжеств, привел к написанию книги «Новая стереометрия винных бочек» (1615).
В 1619 г. ученый опубликовал продолжение «Тайны мироздания». Эта книга отражает богатство новой математики, в ней много рисунков, похожих на плиточные узоры, а также многогранников. Во время работы над книгой ему сообщили, что его мать обвинили в колдовстве. При помощи факультета права Университета Тюбингена женщину удалось освободить, отчасти благодаря тому, что дознаватели не успели прибегнуть к предписанным в таком случае пыткам.