Метод процветал, потому что Ньютон был прав, но лишь через 200 лет его интуитивная концепция флюксий была сформулирована с безупречной логикой, в терминах пределов. К счастью для математиков, задержка с этим открытием не застопорила процесс развития науки в целом. Исчисление оказалось слишком востребованным и важным методом, чтобы отказаться от него из-за нескольких логических софизмов. Беркли в негодовании утверждал, что метод только кажется действенным, поскольку в нем различные ошибки взаимно компенсируют друг друга. Он был прав – однако понятия не имел о том, почему ошибки компенсируют друг друга. Ведь если это правда – то это и не ошибки вовсе!
С дифференцированием неразрывно связан обратный ему процесс – интегрирование. Интеграл от f(x), или ∫ f(x)dx, восстановит значение функции f(x) до ее дифференцирования. Определенный интеграл
это площадь под графиком между значениями x = a и x = b.
Определенный интеграл
Производные и интегралы решили проблемы, из-за которых буксовали исследования предшественников. Скорости, касательные, максимумы и минимумы можно было вычислить при помощи дифференцирования. Длины, площади и объемы поддавались вычислению с помощью интегрирования. Но и это не всё. Как ни удивительно, но оказалось, что и законы природы могут быть изложены на языке исчисления.
Англия в отстающих
По мере того как росла важность исчисления для передовой науки, рос и престиж ученого, стоявшего у ее истоков. Но кто был этим ученым?
Как мы видим, Ньютон стал задумываться над исчислением примерно с 1665 г., хотя ничего не публиковал на эту тему до 1687 г. Лейбниц, чьи идеи развивались примерно тем же путем, что и у Ньютона, начал исследовать исчисление в 1673 г. и первые труды в этой области издал в 1684 г. Оба работали независимо, но Лейбниц мог узнать о трудах Ньютона, когда побывал в Париже в 1672 г. и в Лондоне в 1673 г. В 1669 г. Ньютон отослал копию «Анализа» Барроу, а Лейбниц встречался со многими людьми, также знавшими Барроу и, возможно, имевшими представление об этой работе.
Когда Лейбниц опубликовал свою книгу в 1684 г., кое-кто из окружения Ньютона ужасно возмутился – вероятно, потому, что Ньютона опередили с публикацией прямо перед финишной чертой. Все они с запозданием осознали, что было поставлено на кон, – и дружно обвинили Лейбница в краже идей Ньютона.
Примером ранних попыток использовать исчисление для описания явлений природы можно считать вопрос о подвешенной цепи. Ответ всегда оставался спорным: одни ученые утверждали, что это парабола, а другие не соглашались. В 1691 г. Лейбниц, Кристиан Гюйгенс и Иоганн Бернулли опубликовали предполагаемые решения. Самое удовлетворительное принадлежало Бернулли. Для описания положения цепи он использовал дифференциальное уравнение, исходя из ньютоновой механики и законов движения. Как показало это уравнение, решением стала не парабола, а кривая, известная теперь под названием цепная линия, с уравнением:
y = k(ex + e−x),
где k – константа.
Подвешенная цепь является графиком цепной линии
Зато несущие цепи на подвесных мостах имеют форму параболы. Эта разница возникает оттого, что цепи несут на себе и вес моста, и собственный. И снова это можно показать при помощи исчисления.
Клифтонский подвесной мост – парабола
Математики на континенте, особенно братья Бернулли, грудью встали на защиту Лейбница, полагая, что именно Ньютон был замешан в плагиате. На самом деле оба сделали свои открытия почти независимо друг от друга, как показали их неопубликованные рукописи. Добавило туману и то, что оба во многом опирались на предыдущую работу Барроу, который, вероятно, имел больше оснований для жалоб, чем любой из них.
Обвинения могли быть легко сняты, но вместо этого спор стал более ожесточенным; Иоганн Бернулли перенес свою неприязнь к Ньютону на всех англичан. Результатом стала катастрофа английской математики: англичане застряли в ньютоновском геометрическим стиле мышления, который сложно было использовать, а математики с континента использовали более формальный алгебраический метод и продвигали исчисление вперед быстрыми темпами. Поэтому большая часть заслуг в математической физике ушла к французам, немцам, швейцарцам и голландцам, а английская математика томилась в тихой заводи.
Дифференциальное уравнение – что это?
Важнейшей идеей, порожденной изобилием трудов об исчислении, стало существование и использование принципиально нового типа уравнений – дифференциальных уравнений. Алгебраические уравнения описывают неизвестную величину с разными степенями. Дифференциальные же гораздо более изощренны: они описывают различные производные от неизвестной функции.
Законы движения Ньютона говорят о том, что если y(t) – высота, на которой частица движется над поверхностью Земли, подвергаясь силе тяготения, то вторая производная d2y/dt2 пропорциональна воздействующей на нее силе g:
где m – масса. Это уравнение не определяет функцию y напрямую – оно показывает свойства ее второй производной. Чтобы найти саму y, необходимо решить дифференциальное уравнение. Дважды последовательно интегрируя, получим:
где b – исходная высота частицы, a – начальная скорость. Формула говорит нам, что график, описывающий изменение высоты y относительно времени t, представляет собой параболу, ветви которой направлены вниз. Это наблюдение сделал еще Галилей.
Параболическая траектория снаряда
Современная наука изобилует дифференциальными уравнениями: они оказались наиболее распространенным способом моделирования законов природы. Например, без них не обходится построение траектории полета исследовательских космических зондов, таких как «Маринер», направленный на Марс, или два корабля «Пионер», исследовавших Солнечную систему и предоставивших ученым превосходные снимки Юпитера, Сатурна, Урана и Нептуна, или доставленные на Марс марсоходы «Спирит» и «Оппортьюнити» – шестиколесные роботы, исследовавшие Красную планету.
Марсоход «Спирит» (художественное воспроизведение, НАСА)
Еще один хороший пример – миссия «Кассини», нацеленная на изучение Сатурна и его лун. Среди сделанных в ее рамках открытий – существование морей из жидкого метана и этана на спутнике Сатурна Титане. Конечно, исчисление – далеко не единственный математический метод, примененный в космических исследованиях, но без него ни одна из миссий буквально не оторвалась бы от Земли.
Если вернуться на Землю, можно упомянуть любое воздушное судно, автомобиль, движущийся по дороге, подвесной мост или устойчивое к подземным толчкам здание, в создании которых исчисление сыграло важнейшую роль. Даже наше описание того, как относительно времени меняется популяция животных того или иного вида, исходит из дифференциальных уравнений. То же относится к описанию распространения эпидемий, где построенные с помощью исчисления модели помогают разработать эффективные меры подавления эпидемии. Недавно разработанные модели распространения ящура в Великобритании показали недостаточную эффективность принимаемых мер.
Работы Коперника, Кеплера, Галилея и других ученых Возрождения открыли нам математические закономерности, описывающие реальный мир. Одни модели со временем оказались ошибочными, и от них отказались, другие в точности отражали действительность и развивались дальше. Именно в те давние времена выражение «работает как часы» стало всё чаще применяться к нашей Вселенной. Как выяснилось, она живет по строгим, непреложным законам, несмотря на упорные возражения религиозных иерархов, особенно католической церкви.
Величайшим открытием Ньютона стало то, что законы природы проявляют себя не как закономерности некоторых величин, но как взаимоотношения между их производными. Законы природы написаны на языке исчисления, и здесь важны не значения физических переменных, а скорость, с которой они меняются. Это было величайшее прозрение, и оно породило революцию, завершившуюся появлением более-менее современного научного подхода, который навсегда изменил нашу планету.
Глава 9. Примеры в природе
Самым важным посланием в «Началах» Ньютона являются не собственно открытые и использованные им законы, но общая идея, что таковые существуют, а также очевидность того, что их можно моделировать математически с помощью дифференциальных уравнений. И в то время как английские математики увязали в бесплодных инсинуациях вокруг предполагаемого (и надуманного) похищения Лейбницем идей Ньютона по поводу исчисления, их коллеги на континенте плодотворно продвигали эти идеи в жизнь, делая важные открытия в изучении механики небесных тел, сопротивления материалов, гидродинамики, а также природы тепла, света и звука – самой основы математической физики. Многие уравнения, полученные в те годы, применяются до сих пор, несмотря на несомненные достижения физики как науки, – а может, как раз благодаря им.
Дифференциальные уравнения
Прежде всего математики сосредоточились на поиске четких формул для решения частных типов самых простых дифференциальных уравнений. И в некотором смысле это было неудачным шагом: как правило, формул для таких типов уравнений просто не существует. В итоге внимание оставалось прикованным скорее к уравнениям, которые можно решить с помощью формул, нежели к тем, которые точно описывают законы природы. Х