комплексные числа, – что такое логарифм отрицательного действительного числа? Бернулли считал, что он тоже должен быть действительным, а Лейбниц утверждал, что он будет комплексным. Бернулли представил нечто вроде доказательства своей правоты: с помощью обычного вычислительного формализма уравнение
может быть проинтегрировано, получим
ln (-x) = ln (x).
Однако Лейбница это не убедило, и он по-прежнему утверждал, что интегрирование будет верно только для положительного действительного x.
Этот узконаправленный спор был разрешен в 1749 г. Эйлером, и оказалось, что Лейбниц был прав. Бернулли забыл, что любой интеграл включает произвольную константу. И вместо полученного Бернулли выражения должно быть
ln (-x) = ln (x) + c
для некой константы с. Но что это за константа? Если логарифм отрицательных (и комплексных) чисел должен иметь свойства логарифма действительных чисел, что и является целью всей игры, то верно, что
ln (-x) = ln (–1 × x) = ln (–1) + ln x,
так что c = ln (–1). Затем Эйлер привел последовательность изящных преобразований, получив еще более явную формулу для с. Прежде всего он нашел способ манипулирования различными формулами, содержащими комплексные числа, придя к выводу, что они ведут себя очень похоже на действительные, и получил соотношение между тригонометрической функцией и экспоненциальной:
eiθ = cos θ + i sin θ.
Эта формула была предложена в 1714 г. Роджером Котсом. Установив, что θ = π, Эйлер получил превосходный результат:
eiπ = –1,
связавший две основные математические константы: e и π. Вызывает восхищение как само существование этой связи, так и ее простота. Эта формула по праву считается одной из самых красивых формул всех времен.
Взяв логарифм, мы получаем:
ln (–1) = iπ,
приоткрывая тайну этой непостижимой константы с из предыдущего текста: она равна iπ. В таком случае это мнимое число, т. е. Лейбниц был прав, а Бернулли ошибался.
Но и это еще не всё: ящик Пандоры едва успел открыться. Если принять, что θ = 2π, то
e2iπ = 1.
Значит, ln (1) = 2iπ. Тогда уравнение x = x × 1 приводит к выводу:
ln x = ln x + 2 iπ.
Тогда для любого целого n
ln x = ln x + 2niπ.
На первый взгляд, бессмыслица: это означает, что 2niπ = 0 для любого n. Но есть и такой способ проинтерпретировать это выражение, что оно покажется осмысленным. В случае комплексных чисел логарифмическая функция многозначна. И действительно, кроме тех случаев, когда комплексное число z равно 0, функция ln z может принимать бесконечно много разных значений (когда z = 0, ее логарифм не определен).
Действительные и мнимые части комплексной функции должны удовлетворять условиям Коши – Римана, что тесно связано с применением ДУЧП для гравитации, электричества, магнетизма и некоторых видов гидродинамики на плоскости. Это условие позволяет решать многие уравнения в математической физике – но только для двумерных систем.
Магнитное поле вокруг магнитного стержня, «увидеть» которое помогают железные опилки: комплексный анализ может быть использован при расчете таких полей
Математики привыкли пользоваться функциями, которые могут иметь несколько разных значений, и квадратный корень остается самым очевидным примером: здесь даже действительное число имеет два разных корня, положительный и отрицательный. Но бесконечно много значений? Это действительно странно.
Интегральная теорема Коши
Большой переполох в этой области учинило открытие, что вы можете заниматься исчислением – комплексным анализом – с комплексными функциями, а полученная в результате теория элегантна и полезна. Настолько полезна, что само логическое обоснование данной идеи перестало волновать кого бы то ни было. Когда что-то работает и вы понимаете, что без этого не обойтись, вы обычно не особо задаетесь вопросом, почему так получилось.
Два разных пути P и Q от –1 до 1 на комплексной плоскости
Использование комплексного анализа, судя по всему, стало осознанным выбором математического сообщества: это обобщение столь явное и убедительное, что любой математик, наделенный здравым смыслом, захотел бы увидеть, к чему это приведет. В 1811 г. Гаусс пишет письмо своему другу астроному Фридриху Бесселю, излагая свой подход к комплексным числам как к точкам на плоскости. Также он упоминает о некоторых глубинных результатах. Среди них – базовая теорема, заложившая фундамент комплексного анализа в целом. Сегодня она известна нам как интегральная теорема Коши, хотя Гаусс сформулировал ее гораздо раньше в своих неопубликованных работах.
Огюстен Луи Коши родился в Париже в самый разгар политических неурядиц. Друзьями его семьи были Лаплас и Лагранж, так что Коши с детских лет был знаком с миром высшей математики. Он поступил в Политехническую школу и закончил ее в 1807 г. В 1810 г. его пригласили работать инженером в Шербуре. Здесь он участвовал в подготовке планов вторжения Наполеона в Англию, но не оставил надежду заняться математикой и старательно штудировал «Небесную механику» Лапласа и «Теорию аналитических функций» Лагранжа. Несмотря на неудачные попытки получить академическую должность, Коши продолжил исследования в математике. Его знаменитая статья по интегрированию комплексных функций, давшая основу всему комплексному анализу, появилась в 1814 г. и наконец привела его к заветной цели: через год ему досталось место доцента по математическому анализу в Политехнической школе. Талантливый математик Коши опубликовал статью о волнах, принесшую ему в 1816 г. премию Академии наук. Он продолжил исследования в области комплексного анализа, и в 1829 г. в своем труде «Краткое изложение уроков о дифференциальном и интегральном исчислении» дал первое явное определение комплексной функции.
После революции 1830 г. Коши ненадолго эмигрировал в Швейцарию, а в 1831 г. стал профессором теоретической физики в Турине. Как преподаватель он проявил себя крайне неорганизованным. В 1833 г. он перебрался в Прагу, став преподавателем у внука Карла X. Однако принцу были одинаково противны как математика, так и физика, отчего Коши часто выходил из себя. Ученый вернулся в Париж в 1838 г., восстановился в качестве преподавателя в Академии, но не хотел преподавать, пока в 1848 г. не был низложен Луи-Филипп I. За свою научную карьеру Коши успел опубликовать 789 блестящих работ по математике.
Эта теорема касается определенных интегралов от комплексных функций, т. е. выражения:
где a и b – комплексные числа. В вещественном анализе это выражение можно оценить, найдя первообразную F(z) для f(z), т. е. такую функцию F(z), чтобы ее производная dF(z)/dz = f(z). Тогда определенный интеграл равен F(b) – F(a). В данном случае его величина зависит только от конечных точек a и b, а не от того, как вы движетесь от одной к другой.
В комплексном анализе, по словам Гаусса, всё иначе. Здесь величина интеграла может зависеть от пути, по которому переменная z движется от точки a к точке b. Поскольку комплексные числа формируют плоскость, их геометрия гораздо богаче, чем у вещественной прямой, и здесь очень важны дополнительные характеристики.
Например, представим, что вы интегрируете f(z) = 1/z от a = –1 до b = 1. Если упомянутый путь представляет собой полуокружность P, расположенную выше вещественной оси, то интеграл получается равным –πi. Но если путь представляет собой полуокружность Q, расположенную ниже вещественной оси, интеграл будет равен πi. Это две разные величины, и разница между ними равна 2πi.
По мнению Гаусса, разница появляется, потому что функция 1/z ведет себя плохо. Она делается бесконечной в зоне, ограниченной двумя путями, а именно в точке z = 0, которая является центром окружности, образованной двумя путями. «Я утверждаю теперь, что интеграл ‹…› сохраняет одно и то же значение, если внутри части плоскости, заключенной между двумя путями, представляющими переход, функция нигде не равна бесконечности. Это прекрасная теорема, и доказательство к ней я при случае предоставлю». Однако последнего Гаусс так и не сделал.
Теорема была вновь открыта другим ученым, Огюстеном Луи Коши, подлинным основателем комплексного анализа. Да, Гаусс высказал много блестящих идей, но они бесполезны, пока лежат под спудом. Коши опубликовал свою работу. Он постоянно публиковал что-то новое. Говорят, что журнал Comptes Rendus de l’Academie Française принял негласное правило (действующее по сей день) не принимать статьи длиннее четырех печатных страниц как раз ради того, чтобы не позволить Коши заполонить все страницы. Но даже это не обескуражило ученого: он стал писать больше коротких статей. Основные принципы комплексного анализа с удивительной скоростью вылетали из-под его неутомимого пера. И он оказался гораздо более простой, изящной и во многом более полной теорией, чем вещественный анализ.
Например, в вещественном анализе функция может быть дифференцируемой, а ее производная – нет. Она может быть дифференцируемой 23 раза, а на 24-й – нет. Она может быть дифференцируема столько раз, сколько вам угодно, но не может быть представлена степенным рядом. Ни одна из этих неприятностей не грозит вам в комплексном анализе. Если функция дифференцируема, ее можно дифференцировать сколько угодно раз; более того, она может быть представлена степенным рядом. Причина – в тесном взаимодействии с теоремой Коши и, возможно, тем фактом, который Гаусс всё же при