менил в своем тайном доказательстве: чтобы быть дифференцируемой, комплексная функция должна отвечать очень жестким стандартам, известным как условия Коши – Римана. Эти условия прямо приводят нас к результатам Гаусса, что интеграл между двумя точками может зависеть от выбранного пути. Соответственно, как отмечал Коши, интеграл по замкнутому пути не может не равняться 0. Он равен 0 при условии, что данная функция дифференцируема (в этом случае она не бесконечна) в любой точке на пути.
Была открыта теорема о вычетах, которая позволяет вычислить величину интеграла вокруг замкнутого пути, зависящую только от расположения этих точек, где функция становится бесконечной, а также поведение функции вблизи этих точек. В двух словах: сама структура комплексной функции определяется ее особыми точками, в которых она себя «плохо» ведет. А самые важные точки – полюсы, где функция становится бесконечной.
Квадратный корень из –1 ставил в тупик математиков на протяжении столетий. Хотя, похоже, такой величины и не было, она использовалась в расчетах. Были намеки на то, что сама по себе идея должна иметь какой-то смысл, поскольку может быть использована для получения достоверных результатов, которые сами по себе не связаны с квадратным корнем из отрицательного числа.
Поскольку успешное использование этой невозможной величины продолжало развиваться, математики стали активно ее применять. Ее статус оставался неопределенным, пока не стало очевидно существование логически последовательного расширения традиционной системы действительных чисел, в которой √–1 – не более чем новая грань числа, подчиняющаяся всем привычным законам арифметики.
В наши дни комплексные числа широко применяются и в физике, и в инженерии. Простой пример – изучение колебаний – периодически повторяющихся движений. Вспомним колебания здания во время землетрясения, вибрации в движущемся автомобиле или передачу по проводам переменного тока.
Простейший и основной вид колебаний описывается выражением a cos ωt, где t – время, a – амплитуда колебаний, а ω – их частота. Удобно преобразовать эту формулу как действительную часть комплексной функции eiωt. Использование комплексных чисел упрощает подсчеты, поскольку экспонента проще косинуса. Поэтому инженеры, изучающие колебания, предпочитают работать с комплексными экспонентами и обращаются к их действительной части только в самом конце вычислений.
Комплексные числа также определяют устойчивость стационарных состояний динамических систем и широко применяются в теории управления. Это отрасль науки, посвященная методам стабилизации систем, иначе остающихся нестабильными. Пример – использование контролируемых компьютером подвижных управляемых панелей, стабилизирующих в полете положение космического шаттла. Без такого приложения комплексного анализа шаттлы попадали бы с неба, как кирпичи.
Геометрически действительные числа образуют прямую, а комплексные – плоскость, причем вещественная прямая является одной из двух осей на этой плоскости. Алгебраически комплексное число – просто пара действительных чисел со своими формулами для выполнения над ними действий сложения или умножения.
В наши дни признанные полноправными комплексные числа быстро распространяются среди математиков, потому что значительно упрощают подсчеты, избавляя от необходимости отдельно рассматривать положительные и отрицательные числа. Сегодня комплексные числа наряду с исчислением комплексных функций постоянно применяются как привычный инструмент почти во всех отраслях технических наук.
Глава 11. Прочные основы
Около 1800 математиков и физиков превратили исчисление в незаменимый инструмент познания мира, и возникшие в этой области проблемы дали толчок к открытию принципиально новых концепций и методов (например, способов решения дифференциальных уравнений), превративших исчисление в самую яркую и многообещающую область математики. Красота и сила его неотразимы. Но критические замечания о недостатках его логического обоснования, высказанные епископом Беркли, остались без ответа. А поскольку ученые уже успели продвинуться в более сложные области, здание в целом делалось всё более уязвимым. Первые приверженцы использования бесконечных рядов, еще не отдавая себе отчета в их огромном значении для науки, выдавали как заведомо ошибочные идеи, так и гениальные открытия. Фурье-анализ не имел основ, и разные математики требовали доказательств противоречивых теорем. В ход пошли такие термины, как «бесконечно малая», без четких определений; без конца возникали логические парадоксы; даже такое понятие, как функция, становилось предметом спора. Безусловно, столь плачевная ситуация не могла длиться вечно.
Чтобы разобраться в этом хаосе, требовались ясная голова и непоколебимая готовность заменить интуитивные построения точным знанием, даже ценой понимания. Главными игроками на этом поле стали Бернард Больцано, Коши, Нильс Абель, Петер Дирихле и – более всех – Вейерштрасс. Благодаря их усилиям к 1900 г. даже самые сложные манипуляции с рядами, пределами, производными и интегралами стали выполняться без опаски, четко и без парадоксов. Появилась новая отрасль математической науки – анализ. Исчисление стало одним из центральных ее аспектов; получили логическое обоснование такие отвлеченные и фундаментальные концепции, как непрерывность и пределы, лежащие в основе идеи исчисления. А вот бесконечно малые величины были запрещены.
Фурье
Пока Фурье не взбаламутил омут, математики купались в приятной уверенности, будто они точно знают, что такое функция. Это был некий определенный процесс f, когда берут число х и получают другое, f(x). Эти числа х вполне логично зависят от f. Если, например, f(x) = 1/x, то x не может быть равно 0. Если f(x) = √x и мы имеем дело с действительными числами, то x должно быть положительным. Но когда дело дошло до точных определений, математики немного растерялись.
Как мы теперь понимаем, причиной затруднений было то, что они пытались свести сразу несколько различных свойств в единую концепцию функции: не просто сформулировать правило, по которому x связано с другим числом, f(x), но найти свойства, которыми обладает это правило: непрерывность, дифференцируемость, возможность быть выраженной в виде формулы и т. д.
В частности, они даже не были уверены, как трактовать функции, имеющие разрыв, например:
f(x) = 0, если x ≤ 0; f(x) = 1, если x> 0.
Эта функция внезапно скачет от 0 к 1, как только x минует 0. Все почему-то считают, что явной причиной такого прыжка становится изменение формулы: от f(x) = 0 к f(x) = 1. Интуитивно казалось, что это единственное объяснение появления такого скачка; что любая одинарная формула автоматически избавит нас от таких скачков, а значит, небольшое изменение x всегда повлечет за собой небольшое изменение f(x).
Еще одним источником трудностей стали комплексные числа, где – как мы уже видели – такие естественные функции, как квадратный корень, имеют два значения, а комплексные логарифмы – бесконечное множество таковых. Очевидно, что логарифм должен быть функцией, но когда есть бесконечное множество значений, по какому правилу мы получаем f(z) из z? Выходит, таких правил тоже должно быть бесконечно много, и все одинаково годные. Для разрешения всех этих умозрительных разногласий математикам предстояло переломать немало копий. И не кто иной, как Фурье, сумел разом решить их, предложив гениальный ход: расписать любую функцию через бесконечный ряд синусов и косинусов, открытый им в ходе изучения теплопроводности.
Благодаря своей интуиции ученого Фурье понял, что его метод должен быть универсален. Теоретически вы можете представить себе, что удерживаете температуру металлического стержня на значении 0° на одной половине, но при этом сохраняете 10°, или 50°, или сколько необходимо, на остальной его длине. Физиков до сих пор не интересовали разрывные функции, чьи формулы внезапно меняются. Они вообще не имели обыкновения работать с формулами. Мы прибегаем к ним для отображения физической реальности, но это всего лишь техника, наш образ мышления. Конечно, температура окажется иной на стыке этих двух зон, но математические модели всегда имеют какие-то допущения по отношению к физической реальности. Метод Фурье для тригонометрических рядов, приложенный к разрывной функции такого рода, судя по всему, принес ощутимые результаты. Стальные стержни действительно продемонстрировали точно такое распределение температуры, как предсказывало его уравнение теплопроводности, решенное с помощью тригонометрических рядов. В своей «Аналитической теории тепла» он четко описал свою позицию: «В общем, функция f(x) представляет последовательность значений, или ординат, каждая из которых произвольна. Мы не предполагаем, что эти ординаты подлежат общему закону. Они взаимодействуют между собой каждый раз по-своему».
Прямоугольная волна и некоторые ее Фурье-аппроксимации
Отважное утверждение; к сожалению, приведенное доказательство идеи не имело достаточно убедительной математической базы. Фактически оно оказалось еще более ошибочным, чем аргументы Эйлера или Бернулли. Если утверждение Фурье соответствовало истине, то его ряды в итоге могли стать общим законом для разрывных функций. Функция, приведенная выше, со значениями 0 и 1, имеет периодическую родственную прямоугольную волну. И эта волна характеризуется единственным рядом Фурье, причем вполне изящным, работающим одинаково надежно и там, где функция равна 0, и там, где она равна 1. Иными словами, функция, которая кажется представленной двумя разными законами, может быть переписана в рамках одного правила.