Степенные ряды
Вейерштрасс открыл, что одинаковые идеи работают и с комплексными числами, и с действительными. Любое комплексное число z = x + iy имеет модуль , что, согласно теореме Пифагора, равно расстоянию от 0 до z на комплексной плоскости. Если мерить величину комплексного выражения с помощью его модуля, то определения предела, ряда и т. п., сформулированные для действительных чисел еще Больцано, тут же перенесутся в область комплексного анализа.
Вейерштрасс отметил, что один особый вид бесконечного ряда кажется особенно полезным. Он известен как степенной ряд и выглядит как многочлен бесконечной степени:
f(z) = a0 + a1z + a2z2 + a3z3 + …,
где коэффициенты an – конкретные числа. Вейерштрасс углубился в исследование этого вопроса, стремясь полностью провести комплексный анализ степенных рядов. Результаты вышли блестящими.
Например, вы можете описать экспоненциальную функцию выражением:
ez = 1 + z + 1/2z2 + 1/6z3 + 1/24z4 + 1/120z5 + …,
где 2, 6, 24, 120 и т. д. являются факториалами – произведениями последовательности целых чисел (например, 120 = 1 × 2 × 3 × 4 × 5). Эвристически Эйлер уже выводил эту формулу, теперь же Вейерштрасс получил ее логическим путем. В очередной раз использовав страницы из книги Эйлера, он сумел преобразовать тригонометрические функции в экспоненциальные, определив:
cos θ = 1/2 (eiθ + e–iθ),
sin θ = 1/2i (eiθ – e–iθ).
Все стандартные свойства этих функций вытекают из их выражений в виде степенного ряда. Вы даже можете определить π и доказать, что eiπ = –1, как утверждал Эйлер. И из этого, в свою очередь, вытекает, что комплексные логарифмы ведут себя именно так, как описывал Эйлер. Всё это наполнилось смыслом. Комплексный анализ перестал быть загадочным продолжением вещественного анализа: он превратился в самостоятельный серьезный предмет. На поверку вышло, что подчас работать в комплексной области даже проще, чтобы выразить в конце вещественный результат.
По Вейерштрассу, все эти достижения были лишь началом – первым этапом грандиозной программы. Но главное – были получены правильные основания. Теперь математики могли без опасений продолжать строить всё более сложное здание нового раздела науки.
Вейерштрасса отличал поразительно светлый ум, открывавший ему путь в самых сложных хитросплетениях пределов, производных и интегралов. И он не сбивался с выбранного курса. Также он заранее видел потенциально трудные места. Одна из его самых удивительных теорем доказывала, что существует функция f(x) от действительной переменной x, непрерывная в любой точке, но не дифференцируемая ни в одной точке. Графиком такой функции является непрерывная кривая, но ее изгибы так прихотливы, что мы не можем провести ни одну касательную к ней. Его предшественники не верили в такую возможность, современники недоумевали, к чему ведет такая теорема. А его последователи развили теорему в самую захватывающую новую теорию ХХ в. – теорию фракталов.
Но об этом мы поговорим позже.
Самой известной нерешенной проблемой для всех математиков является гипотеза Римана: вопрос комплексного анализа, возникший в связи с простыми числами, отразился в итоге на всей математике.
Примерно в 1793 г. Гаусс предположил, что количество простых чисел, меньших х, приблизительно равно x/ln x. На самом деле он сделал более точное приближение, названное интегральным логарифмом. В 1737 г. Эйлер отметил многообещающую связь между теорией чисел и анализом: бесконечный ряд
1 + 2–s + 3–s + 4–s + …
равен произведению, по всем простым р, следующего ряда:
1 + p–s + p–2s + p–3s + … = 1/(1 – p–s).
Здесь мы должны взять s> 1, чтобы ряд сходился.
В 1848 г. Пафнутий Чебышёв добился некоторого прогресса в доказательстве предположения Гаусса, используя комплексную функцию, родственную рядам Эйлера и позже названную дзета-функцией ζ(z). Роль ее полностью осветил Риман в 1859 г. в своей статье «On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude» («О числе простых чисел, не превышающих заданной величины»). Он показал, что статистические свойства простых чисел тесно связаны с нулями дзета-функции, т. е. решениями z уравнения ζ(z) = 0.
В 1896 г. Жак Адамар и Шарль де ла Валле-Пуссен использовали дзета-функцию для доказательства теоремы о распределении простых чисел. Главной трудностью было показать, что ζ(z) не равна 0 для всех z вида 1 + it. Чем лучше мы контролируем расположение нулей дзета-функции, тем больше узнаем о простых числах. Риман предположил, что все нули, за исключением тривиальных (получающихся при z, равной отрицательным четным целым числам), расположены на критической прямой z = 1/2 + it.
В 1914 г. Харди доказал, что на этой прямой располагается бесконечное множество нулей. Мощные компьютерные данные позже подтвердили эту гипотезу. Себастьян Веденивский с помощью компьютерной программы ZetaGrid в 2001–2005 гг. удостоверил, что первые 100 миллиардов нулей лежат именно на критической прямой.
Гипотеза Римана отмечена номером 8 в знаменитом списке нерешенных кардинальных математических задач, составленном Давидом Гильбертом и содержащем 23 пункта. Кроме того, это одна из задач тысячелетия, за решение которой Математический институт Клея предлагает миллион долларов.
Прочные основы
Первопроходцы в области исчисления с кавалерийской отвагой оперировали бесконечностью. Эйлер предположил, что степенные ряды подобны многочленам, и использовал эту гипотезу с сокрушительным эффектом. Но в руках простых смертных такого рода наскоки легко могут привести к откровенной глупости. Даже сам Эйлер иногда высказывал неумные мысли. Например, он начал со степенного ряда 1 + x + x2 + x3 + x4 + …, чья сумма равна 1/(1 – x), положил x = –1 и вывел:
1-1 + 1–1 + 1–1 + … = 1/2,
что является бессмыслицей. Степенные ряды не сходятся, если x не расположен строго между –1 и 1, что прояснила теория Вейерштрасса.
И только беспощадная критика, подобная той, что высказал епископ Беркли, в итоге обогатила математику и поставила ее на прочную основу. Благодаря этому сложился принцип: чем сложнее твое построение, тем важнее заручиться для него безукоризненным основанием.
Модуль дзета-функции Римана
В наши дни большинство пользователей математики снова пренебрегают ее тонкостями, будучи уверенными в том, что знания, которые они применяют и которые им кажутся разумными, вероятно, имеют строгое обоснование. В этой самоуверенности их укрепили открытия Больцано, Коши и Вейерштрасса. Тем временем профессиональные математики продолжали разрабатывать строгие концепции бесконечности. Даже появилось движение, ратовавшее за возвращение концепции бесконечно малой величины (флюксии), известное как нестандартный анализ, который является совершенно строгим и технически полезным для некоторых других малоподатливых проблем. Здесь удалось избежать логических нестыковок, провозгласив бесконечно малые новым видом чисел, а не условным действительным числом. По духу это близко к тому, как думал Коши. Нестандартный анализ – удел узких специалистов, но, возможно, он станет методом будущего.
Анализ используется биологами для изучения динамики роста популяций различных организмов. Простым примером может служить логистическое отображение, или модель Ферхюльста – Пирла. Здесь изменение величины популяции x является функцией от времени t, моделируемой дифференциальным уравнением:
где константа М является «пропускной способностью», максимальной величиной популяции, которую может поддерживать окружающая среда.
Стандартный аналитический метод предлагает точное решение
которое называется логистической кривой. Соответственно модели численность популяции начинает расти очень быстро (экспоненциально), но по мере приближения величины популяции к половине пропускной способности кривая постепенно выравнивается, пока не достигает уровня пропускной способности.
Эта кривая не может точно отражать реальность, хотя достаточно четко воспроизводит поведение многих популяций. Более сложные модели такого типа представят данные, сильнее приближенные к реальности. Потребление человеком природных ресурсов также можно смоделировать в виде логистических кривых, обеспечивая возможность оценить потребности в этих ресурсах в будущем, а также сроки, на которые их хватит.
Мировое потребление нефти-сырца с 1900 по 2000 г.: сглаженная кривая – данные анализа, неровная кривая – реальные данные