должна быть евклидовой.
В 1799 г. Гаусс написал венгерскому ученому Фаркашу Бойяи, признавшись, что его исследование «заставит меня сомневаться в истинности геометрии. Да, я добился того, что многие уверенно назвали бы доказательством (пятого постулата с помощью других аксиом), но в моих глазах это всё ничего не стоит».
Прочие математики оказались не столь щепетильными. В 1826 г. Николай Лобачевский уже читал в Казанском университете лекции по неевклидовой геометрии. Он ничего не знал о работах Гаусса, но доказал те же теоремы своими методами. Две статьи на эту тему появились в 1829 и 1835 гг. Никакого шума, как опасался Гаусс, они не подняли, скорее, без следа канули в неизвестность. В 1840 г. Лобачевский опубликовал книгу на ту же тему, где открыто посетовал на отсутствие интереса. В 1855 г. он выпустил новый труд, развивавший достижения первого.
Независимо от них сын Фаркаша Бойяи, Янош, армейский офицер, пришел к тем же идеям в 1825 г. и изложил их в 26-страничном труде, опубликованном в книге его отца по геометрии «Опыт введения учащегося юношества в начала чистой математики» как приложение в 1832 г. Он признавался отцу: «Я сделал открытия столь поразительные, что сам растерялся».
Гаусс прочел эту работу, но объяснил Фаркашу, что не считает себя вправе хвалить молодого ученого, потому что «оценить это – всё равно что оценить себя». Возможно, это было не совсем справедливо, но таков уж был этот человек.
Неевклидова геометрия
История неевклидовой геометрии слишком сложна, чтобы описывать ее во всех подробностях, но мы можем резюмировать результаты, полученные благодаря усилиям ее первопроходцев. Была установлена глубокая связь между тремя случаями, отмеченными Саккери, Ламбертом, Гауссом, Бойяи и Лобачевским. Их всех объединяет идея кривизны. Неевклидова геометрия – на самом деле естественная геометрия криволинейной поверхности. Если поверхность имеет положительную кривизну, как сфера, мы имеем дело с тупым углом. Это долгое время отвергалось из-за слишком очевидных отличий сферической геометрии от евклидовой – например, потому что здесь любые две линии, т. е. большие круги, чьи центры совпадают с центром Земли, встречаются в двух точках, а не в одной, как мы ожидаем от евклидовых прямых.
Теперь нам ясно, что эти возражения необоснованны. Если мы отождествим в одну точку диаметрально противоположные точки на сфере – т. е. примем, что они идентичны, – то линии (большие круги) всё равно будут иметь смысл: если точка лежит на большом круге, на нем же будет лежать и диаметрально противоположная ей. С таким определением практически все геометрические свойства остаются неизменными, но теперь линии встречаются в одной точке. Топологически в результате мы получаем проективную плоскость, хотя задействованный здесь подход – далеко не общепринятая проективная геометрия. Сейчас мы называем ее эллиптической геометрией, и она так же востребована, как геометрия Евклида.
Если поверхность имеет отрицательную кривизну, как седло, мы переходим к случаю с острым углом. Полученная в результате геометрия называется гиперболической. Она имеет множество занимательных особенностей, отличающих ее от евклидовой.
Модель Пуанкаре гиперболической геометрии делает ее более ясной: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит бесконечно много параллельных (не пересекающих ее) линий
Если кривизна поверхности нулевая, как у евклидовой плоскости, то мы попадаем в область евклидовой геометрии. Все три геометрии удовлетворяют всем аксиомам Евклида, за исключением пятого постулата. Решение Евклида включить его было оправданным.
Эти различные геометрии могут быть выражены самыми разными способами. И здесь особенно многогранна гиперболическая геометрия. В одной модели соответствующее пространство может оказаться верхней комплексной полуплоскостью, без вещественной оси и всего, что ниже ее. Линия является полуокружностью, встречающейся с вещественной осью под прямыми углами. Топологически данное пространство есть не что иное, как плоскость, а его линии тождествены обычным. Изгиб линий отражает отрицательную кривизну гиперболического пространства.
Во второй модели гиперболической геометрии, исследованной Пуанкаре, пространство заключено внутри круга, не включает его границы, а линии являются дугами окружностей и пересекают границу под прямыми углами. И снова данный вид геометрии отражает кривизну пространства. Художник Мауриц Эшер создал много картин, основанных на этой модели гиперболической геометрии, с которой его познакомил канадский ученый Коксетер.
Обе модели затрагивают глубинные связи между гиперболической геометрией и комплексным анализом. Эти связи относятся к основным группам преобразований комплексной плоскости. Согласно «Эрлангенской программе» Феликса Клейна, гиперболическая геометрия является геометрией инвариантов таких преобразований. Другой класс трансформаций, так называемые преобразования Мёбиуса, в свою очередь, вводят в игру эллиптическую геометрию.
Геометрия пространства
Что значит геометрия пространства? Теперь мы все согласны с Клюгелем и не согласны с Кантом. Это был вопрос опыта, а не отвлеченных материй, решаемых исключительно силой мысли. Теория относительности Эйнштейна утверждает, что пространство (и время) может искривляться: кривизна – это гравитационный эффект материи. Более того: кривизна может меняться от одной зоны к другой в зависимости от распределения материи. Иными словами, дело тут не в геометрии пространства как таковой. Пространство может иметь разные геометрии на разных участках. Евклидова геометрия безупречно работает в человеческих масштабах, в мире человека: ведь гравитационное искривление столь незначительно, что мы не замечаем его в обыденной жизни. Но в масштабах Вселенной ведущая роль принадлежит неевклидовой геометрии.
Начиная с ученых древности и вплоть до XIX в. математики и реальный мир пребывали в безнадежном самообмане. Господствовало твердое убеждение в том, что математика – отражение основных и неизменных свойств реального мира и что математика – истина в последней инстанции. И нигде это убеждение не удерживало столь прочные позиции, как в классической геометрии. Пространство существует по законам Евклида, для всех и каждого, кто вообще об этом задумался. А разве могло быть иначе?
Какова форма Вселенной? Вопрос может показаться простым, но ответить на него нелегко – отчасти из-за огромности Вселенной, но главным образом из-за того, что мы внутри и не имеем возможности кинуть взгляд со стороны. По аналогии, снова восходящей к Гауссу, муравей, живущий на некой поверхности и созерцающий мир только с нее, не сумеет уверенно сказать, является ли она плоскостью, сферой, тором или еще более сложной фигурой.
Теория относительности говорит нам, что вблизи от материального тела, такого как звезда, пространство-время искривляется. Уравнения Эйнштейна, демонстрирующие зависимость кривизны от плотности материи, имеют много разных решений. В самом простом из них Вселенная в целом имеет положительную кривизну и топологию сферы. Но, насколько мы можем судить, общая кривизна реально существующей Вселенной бывает и отрицательной.
Пространства с положительной, отрицательной и нулевой кривизной
Мы даже не уверены, простирается ли Вселенная бесконечно, как евклидово пространство, или имеет конечный размер, как сфера. Некоторые физики настаивают, что Вселенная бесконечна, однако экспериментальная основа этой идеи вызывает много вопросов. И большинство все-таки считает ее размеры конечными.
Удивительно, что конечная Вселенная может существовать, не имея границы. Это справедливо для двумерной поверхности сферы и для тора. Тор может быть описан плоскостной геометрией (планиметрией), ведь он наследник прямоугольника, у которого склеены противоположные стороны. Топологи также открыли, что пространство может быть конечным и в то же время иметь отрицательную кривизну. Один из способов построения такого пространства: берем конечный многогранник в гиперболическом пространстве и отождествляем различные его грани, так что линия, выходящая из одной грани многогранника, тут же входит в другую грань. Эта конструкция напоминает то, как меняются местами верхний и нижний края экрана во многих компьютерных играх.
Чтобы получить додекаэдрическое пространство Пуанкаре, нужно склеить противоположные грани додекаэдра с разворотом, чтобы они совпали
Если пространство конечно, должна быть возможность наблюдать одну и ту же звезду в разных направлениях, хотя в некоторых направлениях она может показаться более далекой, чем в других, и, кроме того, доступный для наблюдений сектор Вселенной может оказаться слишком мал для этого. Если конечное пространство имеет гиперболическую геометрию, это множит местонахождение одних и тех же звезд в разных направлениях, создавая в небесах систему гигантских окружностей, причем геометрия последних будет определять, какое именно гиперболическое пространство мы наблюдаем. Но окружности могут оказаться где угодно среди миллиардов звезд, видимых наблюдателю, т. е. попытки разглядывать их, основанные на статистической корреляции между кажущимися позициями звезд, будут безрезультатными.
В 2003 г. данные, полученные с космического аппарата НАСА Wilkinson Microwave Anisotropy Probe, позволили команде Жана-Пьера Люмине предположить, что пространство конечно, но имеет положительную кривизну. Они обнаружили, что додекаэдрическое пространство Пуанкаре – полученное путем отождествления противоположных граней искривленного додекаэдра – лучше всего согласуется с наблюдениями. Это предположение дошло до широкой публики как утверждение о том, что Вселенная имеет форму футбольного мяча. Однако это предположение не подтверждено, и мы по-прежнему не знаем, какова истинная форма Вселенной. Но по крайней мере у нас уже есть гораздо более полное представление о том, что нужно сделать, чтобы решить эту загадку.