как метод вавилонян привел к решению, пройдя поочередно все этапы и убедившись в их логике. Но теперь мы знаем, почему здесь непременно должен быть такой метод, – не показав конкретное решение, но рассмотрев общие свойства предполагаемых корней. В данном случае таким ключевым свойством оказалась симметрия.
Не требуя больших усилий для того, чтобы вывести точное выражение для (a – b)2, этот прием дает нам формулу решения. Она эквивалента и той формуле, которую мы учили в школе, и методу, использованному в Вавилоне.
Чувство математической формы и красоты, очень высоко развитое у Лагранжа, подсказало ему, что здесь и кроется главная идея. Если что-то похожее можно получить для кубических уравнений и уравнений четвертой степени, должна быть возможность найти решения и для пятой степени.
Используя ту же основную идею, мы выясняем, что частично симметричные функции от корней позволяют свести кубическое уравнение к квадратному. Для его решения нужен квадратный корень, а благодаря сведению можно избавиться от необходимости использовать кубический корень. Так же и любое уравнение четвертой степени может быть сведено к кубическому, которое называется кубическая разрешающая (резольвента). Вы можете решить уравнение четвертой степени, используя квадратные и кубические корни, имея дело с кубической разрешающей и четырьмя корнями, и получить в ответ искомое решение. В обоих случаях ответы идентичны классическим формулам, открытым в эпоху Возрождения. Да иначе и быть не могло: это те же самые ответы. Но теперь Лагранж знал, почему это так, и был в курсе, почему эти ответы могут быть найдены. Наверное, на этом этапе исследований он испытал немалый подъем. Переходя к уравнениям пятой степени и используя те же техники, вы ожидаете, что получите разрешающую уравнения четвертой степени, – дело сделано! Но, забегая вперед в истории его разочарования, он так и не нашел разрешающее уравнение четвертой степени. Он получил разрешающее уравнение шестой степени. И вместо того, чтобы упростить решение, его метод превратил уравнение в еще более сложное.
В чем же крылся недостаток его метода? Мог ли какой-то более талантливый математик решить уравнение пятой степени? Судя по всему, Лагранж в это верил. Он выражал надежду, что его новый подход будет полезен любому, кто отважится на поиски решения уравнения пятой степени. Кажется, ему даже не приходило в голову, что здесь не может быть такого метода, что его подход ошибочен, потому что уравнения пятой степени вообще не имеют решений в «радикалах» – выражениях, включающих арифметические операции и корни разной степени, в том числе и пятой. Еще большую путаницу привносит то, что все-таки у некоторых уравнений пятой степени есть такие решения. Например, уравнение x5 – 2 = 0 имеет решение x = . Но это простой случай, и уж точно не типичный.
Кстати, все уравнения пятой степени имеют решения: как правило, это комплексные числа, и их можно численно выразить довольно точно. Проблема кроется в алгебраических формулах для поиска этих решений.
Поиск решения
Становилось всё очевиднее, что идеи Лагранжа ошибочны, и в научной среде росла уверенность в том, что, возможно, задача вообще неразрешима: уравнения пятой степени в принципе нельзя решить с помощью радикалов. Судя по всему, к этой точке зрения склонялся и Гаусс, но в узком кругу, хотя на публике заявлял, что не считает эту задачу достойной внимания. Возможно, это был один из немногих случаев, когда ученого подвела интуиция, обычно безошибочно указывавшая ему на самые важные вопросы. Вторым таким случаем стала Великая теорема Ферма, но тут даже Гаусс не располагал необходимыми для решения методами: для их открытия потребовалось еще два века. Однако, по иронии судьбы, именно Гаусс инициировал поиск некоторых алгебраических доказательств отсутствия решений у уравнений пятой степени. Он ввел их в своей работе о построении правильных многоугольников с помощью линейки и циркуля. И он же создал прецедент, доказав (по крайней мере, для собственного удовольствия), что некоторые многоугольники не могут быть построены таким способом. В пример он привел правильный девятиугольник. Гаусс знал об этом, но так и не записал на бумаге доказательство – то самое, которое позже предложил Пьер Ванцель. Итак, Гаусс создал прецедент для предположения, что некоторые задачи не могут быть решены некими конкретными методами.
Первым ученым, попытавшимся доказать невозможность, стал Паоло Руффини, в 1789 г. занявший пост профессора математики в Моденском университете. Изучая идеи Лагранжа о свойствах симметричных функций, Руффини пришел к убеждению, что нет никакой формулы, включающей в себя только корни n-й степени (а не что-то более загадочное), чтобы решить уравнения пятой степени. В своем труде «Общая теория уравнений» в 1799 г. он дал доказательство тому, что «невозможно алгебраическое решение для уравнений степени больше, чем четыре». Но его доказательство оказалось таким длинным – 500 страниц текста, – что никто не отважился его проверить, особенно когда пошли слухи об ошибках. В 1803 г. Руффини опубликовал новое, упрощенное доказательство, но более благожелательных откликов не последовало. Так Руффини и не удалось стяжать лавры человека, доказавшего отсутствие алгебраического решения у уравнений пятой степени.
Самым ценным вкладом Руффини в науку стало понимание, что перестановки можно как-то комбинировать. До тех пор они были переупорядочиванием некоторого набора символов. Например, если мы пронумеруем корни уравнения пятой степени как 1, 2, 3, 4, 5, эти символы можно переставить: 54321, или 42153, или 23154, или как угодно. Есть 120 возможных перестановок. Руффини догадался, что на такие перегруппировки можно посмотреть иначе – как на способ перестановки любого другого набора из пяти символов. Хитрость состояла в сравнении стандартного порядка 12345 с перегруппированным. В качестве простого примера представим, что перегруппированный порядок будет 54321. Тогда правило для получения нового варианта совсем простое: поставьте символы в обратном порядке. Но ведь вы можете поставить в обратном порядке любую последовательность из пяти символов. Если это abcde, обратный порядок – edcba. Если символы первоначально стоят так: 23451, то обратный порядок будет 15432. Этот новый взгляд подразумевает, что вы можете сделать две перестановки по очереди – своего рода умножение перестановок. В алгебре перестановок умножение такого рода и содержит ключ к уравнениям пятой степени.
Абель
Теперь мы знаем, что в доказательство Руффини закралась техническая ошибка, хотя в целом его идеи были верны и заполнили основные пробелы. Он, несомненно, добился одного: его книга создала необъяснимое, но широко распространившееся убеждение в невозможности решить уравнение пятой степени с помощью радикалов. Далеко не все считали, что Руффини доказал это, но математики хотя бы засомневались в существовании решения. К сожалению, дело кончилось тем, что ученые вообще отказались заниматься этой проблемой.
Единственным исключением стал Абель, молодой норвежец с огромным талантом в математике. Он был искренне убежден, что еще в школе решил уравнение пятой степени. Правда, он вскоре нашел ошибку, но это не повлияло на его увлеченность вопросом: работа продолжалась в полную силу. В 1823 г. он нашел безупречное доказательство тому, что уравнение пятой степени не имеет решения. Абель прибегал к той же стратегии, что и Руффини, но его тактика оказалась удачнее. На первых порах он ничего не знал о работе Руффини, позже он точно ее читал, но настаивал на ее неполноте. Правда, он так и не указал ни на одну конкретную дыру в доказательстве Руффини. По иронии судьбы, один из этапов в доказательстве Абеля оказался именно тем кирпичиком, которого так не хватало в работе Руффини.
Сейчас у нас есть возможность познакомиться с общей идеей Абеля, не погружаясь в технические тонкости. Он справился с проблемой, выделив два вида алгебраических операций. Предположим, мы начинаем с набора разных величин; это могут быть как конкретные числа, так и алгебраические выражения со многими неизвестными. Из них мы можем построить много других величин путем сложения, вычитания, умножения или деления. Для простого неизвестного x возможно составить такие выражения, как x2, 3x + 4 или (x + 7)/(2x – 3). Алгебраически все эти выражения имеют тот же фундамент, что и сам x.
Другой способ получить новые величины из имеющихся – использовать радикалы. Возьмите для примера любую простую величину и извлеките из нее корень. Назовем такой шаг применением радикала. Если это квадратный корень, скажем, что степень радикала равна 2, если кубический – 3, и т. д.
В этих терминах формула Кардано для кубического уравнения может быть представлена как результат двухшаговой процедуры. Начнем с коэффициентов для кубического уравнения (и любой безобидной комбинации из них). Применим радикал со степенью 2. Затем следующий радикал со степенью 3. И всё. Описание говорит нам, какого вида формула получилась, но не какая именно. Зачастую ключом к решению математической загадки становится не фокусировка на деталях, а более широкий взгляд на ее особенности. Меньшее может оказаться более важным. И когда этот прием срабатывает, остается только удивляться «чуду»; а здесь он срабатывает прекрасно. Он позволил Абелю свести любую гипотетическую формулу для решения уравнения пятого порядка до самых существенных шагов: извлечь некую последовательность радикалов в определенном порядке, с различными степенями. И всегда остается возможность построить выражение так, чтобы степень снизилась до более простой: например, для корня шестой степени это будет кубический корень из квадратного корня.
Назовем такую последовательность башней радикалов