числа. Значит, замкнутого маршрута не существует.
Те же критерии мы применяем к открытому маршруту, но здесь получится минимум две вершины с нечетной валентностью: одна в начале и другая в конце. Поскольку на схеме Кенигсберга есть четыре вершины с нечетной валентностью, открытого маршрута не существует.
Эйлер сделал еще один важный шаг – доказал, что эти необходимые условия для существования маршрута являются также достаточными при условии, что на диаграмме есть связь (т. е. две любые вершины связаны каким-либо путем). Это общее свойство доказать несколько труднее, и у Эйлера ушло некоторое время на поиски решения. Сейчас мы можем записать доказательство в нескольких строках.
Геометрические свойства плоских поверхностей
Два открытия Эйлера кажутся принадлежащими к весьма далеким друг от друга разделам математики, но при внимательном рассмотрении легко заметить общие для них детали. Они используют комбинаторику схем многогранников. Одно считает грани, ребра и вершины, а другое – валентности; одно выводит общие соотношения между тремя числами, другое ищет что-то общее в имеющихся маршрутах. Но они явно родственны по духу. И даже больше, причем эта особенность оставалась незамеченной на протяжении более чем столетия: оба являются инвариантами непрерывных преобразований. Само расположение вершин и ребер здесь не имеет значения: нам важно лишь то, как они связаны между собой. Обе проблемы покажутся одинаковыми, если мы нарисуем эту схему на резиновом листе, который потом деформируется. Единственный способ создать значимые различия – разрезать или разорвать этот лист и склеить потом его куски; но эта операция уничтожит саму непрерывность.
Топология может преподнести сюрпризы. Самый известный из них – лента Мёбиуса (лист Мёбиуса). Чтобы ее получить, нужно взять длинную полоску бумаги и склеить ее противоположные концы, повернув один из них вполоборота. Без поворота мы получим обычный цилиндр. Различие между этими двумя поверхностями станет понятно, если мы попробуем их покрасить. У цилиндра мы легко сможем выкрасить наружную поверхность в красный цвет, а внутреннюю в синий. Но если вы начнете красить красным одну сторону ленты Мёбиуса и будете поступательно двигаться от окрашенной части к неокрашенной, окажется, что вы выкрасили в красный цвет всю ленту. Из-за полуоборота внутренняя поверхность соединилась с наружной.
Еще одно отличие проявится, если вы разрежете ленту пополам вдоль всей ее длины. Да, она разделится на две части, но они останутся связанными друг с другом.
Проблески общей теории первым заметил Гаусс, время от времени пытавшийся привлечь внимание коллег к необходимости некой теоретической базы для геометрических свойств схем. Он также изобрел новый топологический инвариант, который мы сейчас называем коэффициентом зацепления, для исследований магнетизма. Это число определяет, как одна замкнутая кривая обкручивается вокруг другой. Гаусс вывел формулу для подсчета коэффициента зацепления на основе аналитических выражений, описывающих кривые. Такой же инвариант, число оборотов (или индекс точки) для замкнутой кривой по отношению к точке, был использован в одном из доказательств Основной теоремы алгебры.
Наибольший вклад в становление топологии внесли студент Гаусса Иоганн Листинг и ассистент Август Мёбиус. Листинг учился у Гаусса в 1834 г., и в его труде «Предварительные исследования по топологии» впервые используется термин «топология». Сам Листинг сначала применял выражение «геометрия позиций», но его уже пустил в обиход Карл фон Штаудт для описания проективной геометрии, и Листингу пришлось искать другой вариант. Кроме того, Листинг искал способ обобщения формулы Эйлера для многогранников.
Мёбиус сумел четко обозначить важную роль непрерывных преобразований. Его нельзя было назвать самым продуктивным ученым, но он отличался чрезвычайно кропотливым подходом к любой исследуемой им теме. В частности, именно он обратил внимание на то, что у поверхности отнюдь не всегда есть две четко разделенные стороны, приведя в пример свою знаменитую ленту. Эту поверхность независимо друг от друга открыли и Мёбиус, и Листинг в 1858 г. Листинг опубликовал свое открытие в книге «Der Census Räumlicher Complexe» («Описание пространственной сложности»), а Мёбиус – в статье об исследовании свойств поверхностей.
Долгое время идеи Эйлера о многогранниках оставались в стороне от основных направлений математической мысли, но в какой-то момент несколько маститых ученых открыли новый подход к геометрии, который они назвали тогда analysis situs, т. е. анализ размещений. Под этим подразумевалась качественная теория форм как самостоятельная дисциплина, дополняющая более привычную тогда количественную теорию длин, углов, площадей и объемов. Этот взгляд делался всё более популярным по мере появления новых открытий в традиционных исследованиях основных направлений математики. Ключевым шагом стало открытие связей между комплексным анализом и геометрией поверхностей, сделанное Риманом.
Сфера Римана
Очевидный способ осмысления комплексной функции f состоит в том, чтобы интерпретировать ее как отображение из одной комплексной плоскости в другую. Базовая формула для такой функции, w = f(z), предлагает нам взять любое комплексное число z, применить к нему f и получить другое комплексное число w, связанное с z. Геометрически z принадлежит одной комплексной плоскости, а w – фактически второй, независимой копии комплексной плоскости.
Но эта точка зрения была не особо популярна среди ученых, и причиной тому стали так называемые сингулярности. Комплексные функции часто имеют такие интересные точки, в которых их регулярное, нормальное поведение становится странным. Например, функция f(z) = 1/z ведет себя очень предсказуемо во всех точках, за исключением 0. Когда z = 0, значение функции равно 1/0, что не имеет смысла для обычного комплексного числа, хотя с помощью некоторой доли воображения его можно представить как бесконечность (символ ∞.). Если z слишком близко подойдет к 0, 1/z окажется особенно большим. Бесконечность в этом смысле не число – это всего лишь термин, описывающий численный процесс: число становится сколь угодно большим. Гаусс уже отметил, что бесконечности такого рода создают новый тип поведения при комплексном интегрировании. Это оказалось существенным.
Риман счел полезным включить ∞ в ряд прочих комплексных чисел и нашел для этого красивый геометрический способ. Разместите единичную сферу так, чтобы она оказалась поверх комплексной плоскости. Теперь ассоциируйте точки на плоскости с точками на сфере с помощью стереографической проекции. Это значит соединить точку на плоскости с северным полюсом сферы и посмотреть, где эта линия будет пересекать сферу.
Сфера Римана и комплексная плоскость
Такая конструкция называется сферой Римана. Новая точка – своего рода северный полюс сферы: единственная точка, которая не соответствует какой-либо точке на комплексной плоскости, и будет являться бесконечностью. Поразительно, как прекрасно эта конструкция вписывается в стандартные расчеты в комплексном анализе, ведь теперь уравнение вроде 1/0 = ∞ обретает безукоризненный смысл. Точки, в которых комплексная функция f принимает значение ∞, называются полюсами, и на поверку выходит, что вы сможете больше выяснить о f, если знаете, где лежат ее полюса.
Одна лишь сфера Римана не привлекла бы столь пристального внимания ученых к топологическим аспектам комплексного анализа, но второе свойство сингулярности, под названием точка ветвления, сделало топологию незаменимой. Простейший пример – комплексная функция квадратного корня, f(z) = √z. Большинство комплексных чисел имеет два разных квадратных корня, как и действительные числа. Они различаются лишь знаком: один положительный, другой отрицательный, причем по модулю они равны. Например, квадратные корни из 2i равны 1 + i и –1 – i, почти как действительные квадратные корни из 4 равны 2 и –2. Но есть одно комплексное число с одним квадратным корнем: 0. Почему? Потому что + 0 и –0 равны.
Чтобы понять, почему 0 оказывается точкой ветвления для функции квадратного корня, представим cебе для начала точку 1 на комплексной плоскости и выберем один из двух квадратных корней. Явным выбором станет 1. Теперь постепенно перемещайте точку вокруг единичной окружности и по мере движения выбирайте для каждого положения точки тот из квадратных корней, который меняется непрерывно. К тому моменту, когда вы пройдете половину окружности до –1, квадратный корень пройдет лишь четверть окружности, до + i, поскольку √–1 = + i или – i. Продолжая путь по кругу, мы вернемся в исходную точку 1. Но квадратный корень, двигающийся с половинной скоростью, остановится только у –1. Чтобы вернуть его к исходному значению, точке придется пройти окружность полностью дважды.
Риман нашел способ справиться с такой разновидностью сингулярности: он удвоил сферу Римана до двух слоев. Они отделены друг от друга, за исключением точек 0 и ∞ – второй точки ветвления. В них слои сливаются – или, наоборот, разветвляются от одиночного слоя при 0 и ∞. Возле двух этих особых точек геометрия слоев выглядит как винтовая лестница: необычно то, что если вы подниметесь на два полных оборота по этой лестнице, то окажетесь там, откуда начали. Геометрия этой поверхности говорит нам очень многое о функции квадратного корня, и та же идея остается верной для других комплексных функций.
Сфера
Тор
Тор с двумя отверстиями
Описание поверхности смутное, и возникает вопрос: что у нее за форма? Вот здесь и вступает в игру топология. Мы можем непрерывно деформировать винтовую лестницу во что-то более легкое для визуализации. Специалисты по комплексному анализу открыли, что топологически всякая поверхность Римана является либо сферой, либо тором, либо тором с двумя отверстиями, либо тором с тремя отверстиями и т. д. Число отверстий