Один из простейших топологических инвариантов был открыт Гауссом. При исследованиях электрических и магнитных полей его заинтересовало, как могут быть связаны две замкнутые петли. Он изобрел коэффициент зацепления, который обозначает, сколько раз одна петля оборачивается вокруг другой. Если число зацеплений не равно 0, петли не могут быть разделены с помощью топологического преобразования. Однако данный инвариант не помогает достоверно определить, когда две соединенные петли невозможно разделить, ведь в некоторых случаях инвариант связывания равен 0, однако петли разделить невозможно.
Слева: петли с коэффициентом зацепления 3. Справа: эти связи нельзя разделить топологически, хотя их коэффициент зацепления равен 0
Он даже составил аналитическую формулу для такого числа, взяв интеграл подходящей величины вдоль соответствующей кривой. Открытия Гаусса положили начало такой современной отрасли математики, как алгебраическая топология.
Теперь гипотеза Пуанкаре становится ее прямым следствием, поскольку условие, что все петли стягиваются, исключает семь геометрий, оставляя только геометрию постоянной положительной кривизны – трехмерной гиперсферы.
Альтернативный подход предлагает геометрия Римана. В 1982 г. Ричард Гамильтон открыл в этой области новые приемы, основанные на математических идеях, которые были использованы Альбертом Эйнштейном для обоснования общей теории относительности. По Эйнштейну, пространство-время можно считать изогнутым, а кривизна описывает силу притяжения. Она измеряется так называемым тензором кривизны, который имеет более простого родственника, известного как тензор Риччи (назван в честь его изобретателя Грегорио Риччи-Курбастро). Изменения в геометрии Вселенной, связанные со временем, описываются уравнениями Эйнштейна, где говорится, что кривизна пропорциональна силе тензора. В результате гравитационные искривления Вселенной стараются со временем выпрямиться, и уравнения Эйнштейна количественно описывают эту идею.
Тот же фокус можно проделать и с использованием версии кривизны Риччи, и мы получим ту же модель поведения: поверхность, подчиняющаяся уравнениям для потока Риччи, естественным путем стремится к упрощению своей геометрии, более справедливо распределяя свою кривизну. Гамильтон показал, что гипотеза Пуанкаре для двумерного пространства может быть доказана с помощью потока Риччи – на основании того, что поверхность, на которой все петли стягиваются, упрощает саму себя по мере того, как следует потоку Риччи, так что в конце получается идеальная сфера. Гамильтон также предложил обобщить этот подход для трехмерного пространства и даже добился определенного успеха в своих исследованиях, пока не натолкнулся на ряд трудностей.
Перельман
В 2002 г. Григорий Перельман произвел сенсацию, выложив несколько своих статей на arXiv – сайте, созданном физиками и математиками для нерецензируемых публикаций и подчас даже еще не законченных исследований. Так ученые могли избежать проволочек из-за реферирования, неизбежных при официальной публикации своих открытий. Ранее этой же цели служили периодически издававшиеся на бумаге неофициальные препринты. На первый взгляд статьи Перельмана посвящены потоку Риччи, но на самом деле становится понятно, что если открытия автора верны, они послужат доказательством гипотезы геометризации, которую сформулировал Пуанкаре.
Основную идею предложил еще Гамильтон. Возьмите произвольное трехмерное многообразие, снабдите его понятием расстояния так, чтобы можно было применить поток Риччи, и позвольте многообразию следовать потоку, упрощая себя. Главным возможным осложнением становятся особенности, которые возникнут там, где многообразие сжимается, когда оно перестает быть гладким. При сингулярности предложенный метод не работал. Свежая идея состояла в том, чтобы устранить эти сингулярности, тем самым открыть появившиеся отверстия и удалить все препятствия для потока. Если многообразию удастся упростить самое себя полностью после того, как появилось только конечное число сигулярностей, каждая часть будет поддерживать только одну из восьми геометрий, и операции, обратные вырезанию (хирургия, или перестройка Морса), покажут нам, как снова склеить эти части в целое и восстановить многообразие.
Гипотеза Пуанкаре стала столь знаменитой по другой причине: она была включена в список восьми математических задач тысячелетия, составленных Институтом Клея, и за их решение – подкрепленное вескими доказательствами – можно получить приз в миллион долларов. Но у Перельмана оказалась своя особая причина не желать этой награды – вернее, не желать никакой награды, кроме самого решения, поэтому ученый и не имел особого стимула расшифровать свои малопонятные наброски на arXiv в нечто более достойное публикации.
Перельман родился в 1966 г. в стране, называвшейся тогда СССР. Он выиграл золотую медаль, набрав 100 %-ный результат в школьной Международной олимпиаде по математике. Перельман работал и в США, и в Институте Стеклова в Санкт-Петербурге, но так и не получил преподавательской должности. Его замкнутый и неуживчивый характер стал очередным дополнением к расхожему представлению о математиках как о людях не от мира сего. Остается только пожалеть, что его история усиливает стереотип эксцентричного математика.
Эксперты в этой области науки были вынуждены предлагать свои версии развития его идеи, стараясь заполнить пробелы в его логике и в итоге добившись результата, приемлемого в качестве доказательства. Некоторые из таких исследований были опубликованы, и понятная и четкая версия доказательства Перельмана одобрена сообществом топологов. В 2006 г. ему присудили медаль Филдса за исследования в этой области, но и от этого приза ученый отказался. Как видим, не всех манит мировая слава.
Топология и реальный мир
Топологию изобрели, поскольку математика не могла функционировать без нее; это было вызвано решением ряда основных вопросов в областях вроде комплексного анализа. Она решает вопрос «Какова форма этого предмета?» в очень простом, но глубоком виде. Более привычные геометрические понятия, такие как длина, теперь можно было рассматривать как дополнительные свойства к основной информации, полученной с помощью топологии.
Когда-то было высказано несколько первых топологических идей, но лишь к середине XIX в. топология стала полноправной областью математической науки со своими сущностью и влиянием, когда у математиков сложилось достаточно полное представление о топологии плоскостей, или двумерных форм. Расширение исследований на более многомерные пространства приняло бурный характер в конце XIX – начале XX в., во многом благодаря работам Анри Пуанкаре. Дальнейшие важные шаги были совершены в 1920-х гг. Новый взлет в этой области приходится на 1960-е, хотя по иронии судьбы именно тогда топология окончательно ушла от привычной нам прикладной науки.
Разбив аргументы традиционных критиков чистой математики в ХХ в., развившаяся в результате теория стала неотъемлемой частью многих областей математической физики. Ученым удалось справиться даже с самой ее неразрешимой проблемой, а именно гипотезой Пуанкаре. Сейчас уже ясно, что главными препятствиями для развития топологии всегда становились ее внутренние противоречия, лучше всего решаемые с помощью абстрактных понятий. Ее связям с реальным миром пришлось подождать, пока не были до конца отработаны основные техники исследования.
В 1956 г. Джеймс Уотсон и Френсис Крик открыли тайну строения двойной спирали молекулы ДНК – основы, на которой записывается и хранится генетическая информация. Сегодня топология узлов используется для понимания того, как распутать две нити спирали, определяющих схему развития всякого живого организма.
Спираль ДНК напоминает двужильную веревку, где одна жила виток за витком закручена вокруг другой. При делении генетическая информация попадает в обе новые клетки благодаря тому, что пряди спирали расплетаются и копируются, чтобы потом образовать пару. Любой, кому приходилось расплетать достаточно длинный обрезок обычной веревки, знает, как это трудно: нити норовят закрутиться в узлы в ответ на любую попытку их разделить. В случае ДНК всё еще хуже: сами спирали свернуты, как будто канат смотан в катушку. Представьте себе километровые нити, закрученные в подобие теннисного мяча, и вы получите отдаленное представление о сложной структуре ДНК в клетке.
Генетической биохимии остается лишь искать способы сплетать и расплетать эти нити достаточно точно, аккуратно и быстро: на них держится сама жизнь! Но как этого добиться? Биологи научились с помощью ферментов разрезать цепочку ДНК на куски, достаточно короткие для подробных исследований. Любой сегмент ДНК представляет собой сложный молекулярный узел, причем один и тот же узел может стать неузнаваемым после неких манипуляций, искажающих его вид.
Новые техники в изучении узлов открывают и новые направления атаки для молекулярных генетиков. И здесь топология узлов уже выходит за границы чистой математики, превращаясь в важный практический инструмент для биологов. Недавно была открыта математическая модель взаимосвязи между оборотами спирали ДНК и количеством образуемых ею суперклубков.
Узлы нитей ДНК
Глава 16. Четвертое измерение
В своей научно-фантастической книге «Машина времени» Герберт Уэллс описывал скрытую природу пространства и времени в стиле, уже нам знакомом, но наверняка вызвавшем бы недоумение у современников из викторианской эпохи: «И всё же существуют четыре измерения, из которых три мы называем пространственными, а четвертое – временным». В поддержку своего мнения он добавляет: «Правда, существует тенденция противопоставить три первых измерения последнему, но только потому, что наше сознание от начала нашей жизни и до ее конца движется рывками лишь в одном направлении этого последнего измерения… Однако некоторый философские умы задавали себе вопрос: почему же могут существовать только три измерения? Почему не может существовать еще одно направление под прямым углом к трем остальным? Они пытались даже создать Геометрию Четырех Измерений». Его главный герой идет еще дальше: преодолевает традиционную ограниченность человеческого сознания и путешествует в четвертом измерении, времени, как если бы это было одно из «нормальных» измерений пространства.