объект, но пространство для его возможных конфигураций получается шестимерным; и это одна из причин того, почему порой так трудно научиться ездить на велосипеде, пока вы не обретете сноровку. Вашему мозгу необходимо сконструировать внутреннее представление о взаимодействии этих шести переменных – научиться прокладывать курс в шестимерной геометрии велосипед-пространства. Когда велосипед на ходу, приходится следить, соответственно, за шестью скоростями: динамика, по существу, получится 12-мерной.
К 1920 г. это соперничество физиков, математиков и механиков благополучно разрешилось, и использование геометрического языка для задач со многими переменными – многомерной геометрии – уже не вызывало такого возмущения, разве что у некоторых философов. А к 1950 г. наука продвинулась вперед настолько, что для математиков стало совершенно естественным формулировать всё подряд в n измерениях с самого начала. Ограниченные теории о двух или трех измерениях оказались в списке устаревших и даже нелепых.
Язык многомерных пространств стремительно распространился во все области науки, захватив даже такие отрасли, как экономика и генетика. Сегодняшние вирусологи, например, воспринимают вирусы как точки в пространстве последовательности ДНК, у которых запросто может оказаться несколько сотен измерений. Под этим они подразумевают, что геном этих вирусов состоит из нескольких сотен оснований ДНК, и тогда геометрический образ вируса оказывается не просто отвлеченной метафорой: он становится эффективным способом решения проблемы.
Ничто из этого, однако, не означает, что существует мир духов, что наконец-то у привидений есть свой дом или что в один прекрасный день нас может (как описал в своей «Флатландии» Эдвин Эбботт) навестить Гиперсфера – существо из Четвертого измерения, принявшее для нас облик сферы с загадочно переменчивыми размерами, способное сжиматься до точки и исчезать из нашей Вселенной. Однако физики, ведущие исследования в теории суперструн, в последнее время склоняются к тому, что на самом деле наша Вселенная может иметь десять измерений, а не четыре. По их мнению, мы никогда не замечали еще шесть дополнительных измерений, поскольку те скручены так плотно, что их невозможно обнаружить.
Многомерная геометрия стала одной из самых впечатляющих областей, где, похоже, математики утрачивают всякую связь с реальностью. Коль скоро физическое пространство трехмерно, как может существовать пространство с четырьмя и более измерениями? И даже если их можно описать математически, какой от этого прок?
Главной ошибкой здесь является восприятие математики как очевидного, буквального толкования реальности, наблюдаемой непосредственно. Но фактически мы окружены объектами, которые лучше всего будут описаны с помощью большого количества переменных, «степеней свободы» этих объектов. Например, для описания положения скелета человека требуется 100 переменных. Математически естественное описание таких объектов происходит в терминах многомерных пространств, с одним измерением для каждой переменной.
Математикам потребовалось много времени, чтобы формализовать такие описания, и еще больше на то, чтобы убедить остальных, что от этого есть польза. Сегодня всё это так глубоко вошло во все области науки, что используется практически на рефлекторном уровне. Подходы стандартны для экономики, биологии, физики, инженерии, астрономии… список можно продолжать бесконечно.
Главное преимущество многомерной геометрии в том, что человечество получило возможность визуализировать такие сверхсложные задачи, которые в принципе увидеть нельзя. А поскольку эволюционно наш мозг приспосабливался именно к визуальному мышлению, такой прием чаще приводит к неожиданным прозрениям, гораздо труднее достигаемым другими методами. Математические концепции, изначально не имеющие прямого отношения к реальному миру, часто обладают гораздо более глубокими, хотя и незримыми, связями. И эти скрытые связи делают математику такой полезной.
Прекрасный пример использования многомерных пространств – ваш мобильный телефон. То же относится к выходу в интернет, кабельному или спутниковому телевидению и практически к любой современной технологии, обеспечивающей обмен информацией. Все современные коммуникации – цифровые. Информация – даже разговоры по телефону – переводится в сочетания нулей и единиц – двоичные числа.
От коммуникаций не будет большого толку, если они ненадежны: отправленное послание должно точно соответствовать полученному. Электрические послания по проводам не могут обеспечить такую надежность из-за помех, возникающих вследствие интерференции или даже космического луча, который может вызвать ошибки. И инженерам-электронщикам пришлось прибегнуть к математическим методам для такой кодировки сигналов, где ошибки будут не только распознаваться, но и исправляться. А основой таких кодов стала математика многомерных пространств.
Такие пространства были открыты, потому что строку, скажем, из десяти двоичных чисел, или бит, такую как 1001011100, выгоднее рассмотреть как точку в десятимерном пространстве с координатами, упрощенными до 0 или 1. Многие важные вопросы о кодах, обнаруживающих и исправляющих ошибки, лучше всего решать в рамках геометрии такого пространства.
Геометрия для пары двоичных чисел
Например, мы можем обнаружить (но не исправить) одну ошибку, если закодируем каждое послание, заменяя каждый 0 на 00 и каждую 1 на 11. Тогда такое послание, как 110100, превратится в 111100110000. Если его получат в виде 111000110000, с ошибкой в четвертом бите, мы поймем: что-то не так, ведь выделенная жирным пара 10 не должна там присутствовать. Но нам неизвестно, должно ли это быть 00 или 11. Это можно точно проиллюстрировать на двумерной фигуре (где 2 – длина, которая соответствует кодовым словам 00 и 11). Рассматривая биты в кодовых словах как координаты, относящиеся к двум осям (соответственно для первой и второй цифр в кодовом слове), мы можем начертить схему, где настоящие кодовые слова 00 и 11 окажутся в диагонально противоположных углах квадрата.
Код, исправляющий ошибки, использует строки длиной 3
Любая ошибка переведет их в кодовые слова на двух других углах – не являющиеся действительными (их мы изначально не включили в код) кодовыми словами. Но поскольку эти углы смежны с обоими настоящими кодовыми словами, разные ошибки могут привести к одному результату. Чтобы получить код, исправляющий ошибки, мы можем использовать кодовые слова длиной 3 и закодировать 0 как 000, а 1 как 111. Теперь кодовые слова находятся по углам куба в трехмерном пространстве. Любая единичная ошибка приведет в результате к соседнему кодовому слову; более того, каждое недействительное кодовое слово соседствует только с одним действительным: 000 или 111.
Такой подход к кодированию цифровых посланий первым предложил Ричард Хэмминг в 1947 г. Геометрическая интерпретация идеи появилась очень скоро, и это стало решающим толчком к развитию еще более эффективных кодов.
Глава 17. Форма логики
Наблюдая за непрерывным ростом науки, некоторые из математиков начали удивляться: где же надежный фундамент, поддерживающий вес этих знаний? Ряд серьезных научных кризисов – особенно дискуссия об основных понятиях исчисления и треволнения вокруг рядов Фурье – показали, что во избежание логических ловушек всякая математическая концепция должна иметь аккуратное и четкое определение. Иначе возведенная над нею башня выводов и заключений может легко рухнуть под ударом логических противоречий из-за неопределенности или двусмысленности.
Сперва такие тревоги касались лишь самых сложных и изощренных идей, таких как ряды Фурье. Но математический мир постепенно понял, что под подозрением может оказаться любая основная идея. И главной среди них была идея числа. Ужасная правда заключалась в том, что математики, положившие столько усилий на глубочайшие исследования свойств чисел, не потрудились ни разу задаться вопросом, что же такое число. И когда дело дошло до логичного определения, они не смогли его сформулировать.
Дедекинд
В 1858 г., читая лекции по исчислению, Дедекинд задался вопросом о самой основе своей темы. Его интересовал не вопрос использования пределов, а сама система действительных чисел. Он опубликовал свои идеи в 1872 г. в труде «Непрерывность и иррациональные числа», указав, что вроде бы явные качества действительных чисел никогда не были доказаны сколько-нибудь строгим образом. В пример он привел уравнение √2√3 = √6. Явно оно вытекает из возведения в квадрат обеих сторон равенства. Вот только умножение для иррациональных чисел никогда не было определено. В 1888 г. в своей книге «Что такое числа и для чего они служат?» ученый отметил ряд серьезных пробелов в логическом обосновании системы действительных чисел. Собственно говоря, никто даже не доказал, что такие числа существуют.
Он также предложил свой способ заполнить пробелы, прибегнув к приему, известному нам как дедекиндовы сечения. Нужно было начать с признанной системы чисел, рациональных, и распространить ее, чтобы получить более широкую систему действительных чисел. Он сперва определил свойства, отличающие действительные числа, нашел способ описать их в ключе рациональных чисел и затем совершил обратную процедуру, интерпретируя эти особенности рациональных чисел как определения для действительных. Этот прием обратного конструирования новых концепций из старых с тех пор применяется часто.
Предположим на миг, что действительные числа существуют. Имеют ли они отношение к рациональным? Некоторые действительные числа – не рациональные, очевидный пример – √2. Теперь, хотя оно и не дробь, его можно приблизить сколь угод