но близко к рациональному числу. Оно занимает особое место где-то в плотном ряду всех возможных рациональных чисел. Но как мы определим его положение?
Дедекинд понимал, что √2 четко разделяет последовательность рациональных чисел на две части: те, что меньше его, и те, что больше. Отчасти это разделение – или сечение – определяет √2 в рамках рациональных чисел. Единственная загвоздка в том, что мы прибегаем к √2 с целью определить две части разреза. Но есть способ это преодолеть. Рациональные числа больше √2 определенно положительные, и их квадрат больше 2. Рациональные числе меньше √2 – все остальные. Эти два множества рациональных чисел теперь определены без явного использования √2, но точно указывают его положение на прямой действительных чисел.
Дедекинд показал: если предположить, что действительные числа существуют, то сечение, удовлетворяющее этим двум частям, может быть связано с любым действительным числом в последовательности R из всех рациональных чисел, больших этого числа, и последовательности L из всех рациональных чисел, меньше этого числа или равных ему. (Последнее условие необходимо для связи сечения с любым рациональным числом. Мы ведь не хотим от них отказываться.) Здесь L и R могут восприниматься как левая и правая части на привычном изображении прямой действительных чисел.
Два множества, L и R, подчиняются нескольким довольно строгим условиям. Во-первых, каждое рациональное число принадлежит только одному из них. Во-вторых, каждое число во множестве R больше, чем любое число во множестве L. Наконец, существует техническое ограничение, связанное с рациональными числами как таковыми: L может иметь или не иметь самое большое число, а R никогда не имеет самого малого. Назовем любую пару подмножеств рациональных чисел с такими свойствами сечением.
В обратном конструировании не нужно предполагать существование действительных чисел. Вместо этого мы можем использовать сечения для определения действительных чисел, так что фактически такое число являетсясечением. Обычно мы не рассматриваем действительные числа именно так, но Дедекинд понял, что при желании это возможно. Главная задача – определить, как складывать и умножать сечения, чтобы действовала арифметика действительных чисел. Оказалось, это просто. Чтобы сложить два сечения (L1, R1) и (L2, R2), положим, что L1 + L2 будет множеством всех чисел, получаемым добавлением чисел из L1 к числам из L2, и так же определим R1 + R2. Тогда суммой двух сечений будет сечение (L1 + L2, R1 + R2). Умножение выполняется так же, хотя здесь есть небольшое различие между положительными и отрицательными числами.
Наконец, нам надо убедиться, что арифметика сечений обладает всеми свойствами, ожидаемыми от действительных чисел. К ним относятся стандартные законы алгебры, которые аналогичны свойствам рациональных чисел. Главное свойство, отличающее действительные числа от рациональных, заключается в том, что предел бесконечной последовательности сечений существует (при применении определенной техники). Также существует сечение, соответствующее любому бесконечному расширению десятичных дробей. Это тоже несложно.
Исходя из того, что всё перечисленное возможно, посмотрим, как Дедекинд смог доказать, что √2√3 = √6. Мы уже видели, что √2 соотносится с сечением (L1, R1), где R1 состоит из всех положительных рациональных чисел с квадратами больше 2. А √3 соотносится с сечением (L2, R2), где R2 состоит из всех положительных рациональных чисел с квадратами больше 3. Легко доказать, что произведением этих сечений будет (L3, R3), где R3 состоит из всех положительных рациональных чисел, квадраты которых больше 6. Но это и есть сечение, которое соответствует √6. Готово!
Красота подхода Дедекинда в том, что он упрощает все вопросы, относящиеся к действительным числам, до соответствующих вопросов рациональных чисел, точнее, пары множеств рациональных чисел. Так мы получаем определение для действительных чисел только в рамках рациональных чисел и операций, относящихся к ним. К тому же действительные числа существуют (в математическом смысле), если существуют рациональные.
А вот небольшая плата за эту простоту: теперь действительное число определяется как пара множеств рациональных чисел – не совсем привычное для нас описание. Если это звучит слишком странно, вспомните, что обычное представление действительного числа – десятичная дробь, состоящая из бесконечной последовательности цифр от 0 до 9.
Концептуально это как минимум так же сложно, как сечение Дедекинда. И правда, непросто представить сумму или произведение двух бесконечных десятичных дробей, ведь обычные арифметические методы сложения или умножения десятичных дробей начинаются с их правого конца. А когда десятичная дробь бесконечна, она не имеет правого конца.
Аксиомы целых чисел
Книга Дедекинда была очень хороша для тренировки базовых навыков, но общие вопросы определения терминов в ней опущены. Она всего лишь сместила фокус с действительных чисел на рациональные. Но откуда нам знать, что рациональные числа существуют? Если мы предположим, что существуют целые числа, это просто: определим рациональное число p/q как пару целых чисел (p, q) и составим формулы для сумм и произведений. Если целые числа существуют, то существуют и их пары.
Но откуда нам знать, что существуют целые числа? Кроме знаков + и –, целые числа – обычные натуральные числа (включая 0)[7]. А учесть знаки не составит труда. Иными словами, целые числа существуют, если существуют натуральные.
Но мы так и не пришли к концу. Мы так хорошо знакомы с натуральными числами, что нам и не приходит в голову поинтересоваться, существуют ли на самом деле знакомые нам 0, 1, 2, 3 и т. д.? И если да, то что это такое?
В 1889 г. Джузеппе Пеано обошел вопрос существования, воспользовавшись подходом Евклида. В своей книге Евклид вместо спора о существовании точек, линий, треугольников и прочих фигур привел список аксиом – описание свойств, очевидных без сомнений. Ему было не важно, существуют ли точки и прочие элементы. Вот гораздо более интересный вопрос: если они существуют, какие свойства вытекают из этого? Итак, Пеано составил свой список аксиом для натуральных чисел. Вот основные из них.
• Число 0 существует.
• Каждое число n имеет следующее за ним s(n), которое мы принимаем как n + 1.
• Если P(n) – свойство, такое, что P(0) верно, и каждый раз, когда P(n) верно, то и P(s(n)) тоже верно, тогда P(n) верно для любого n (принцип математической индукции).
Затем он определил числа 1, 2 и т. д. с точки зрения этих аксиом, в частности получив:
1 = s(0),
2 = s(s(0))
и т. д. И еще он определил базовые арифметические действия и доказал, что они подчиняются обычным законам. В его системе 2 + 2 = 4 – доказуемая теорема, которая констатирует, что s(s(0)) + s(s(0)) = s(s(s(s(0)))).
Огромное преимущество такого аксиоматичного подхода в том, что он точно определяет то, что мы должны доказать, если хотим как-то показать, что натуральные числа существуют. Нам лишь надо сконструировать некую систему, удовлетворяющую всем аксиомам Пеано.
Здесь более глубоким вопросом становится значение самого существования для математики. В реальном мире существующим считается объект, который мы можем наблюдать или, если это не удается, сделать вывод о его существовании благодаря тому, что мы можем наблюдать. Например, мы знаем о существовании силы притяжения, поскольку можем наблюдать ее эффекты, хотя и не ее саму.
В реальном мире мы можем обоснованно заявлять о существовании двух кошек, двух велосипедов или двух ломтей хлеба. Но с числом два всё не так просто. Это не предмет, а идея. В реальном мире мы никогда не встретим число два. Ближе всего к этому можно считать символ «2», написанный, или напечатанный на бумаге, или высветившийся на экране компьютера. Но никто не думает, что символ – то же, что представляемый им предмет. Слово «кот», написанное черным по белому, не кот. Точно так же символ «2» не число два.
Значение слова «число» оказалось неожиданно трудной концептуальной и философской проблемой. Положение усугубляется тем, что все мы превосходно разбираемся в том, как использовать числа. Мы знаем, как они себя ведут, но не знаем, что они собой представляют.
Множества и классы
В 1880-х гг. Готлоб Фреге попытался решить эту концептуальную проблему, конструируя натуральные числа из еще более простых объектов – множеств, или, как он сам назвал их, классов. Его отправной точкой была стандартная ассоциация чисел со счетом. Согласно Фреге, два является свойством этих множеств, и только их, и его можно взаимно однозначно сопоставить со стандартным множеством {a, b} с несовпадающими элементами a и b. Тогда:
{один кот, другой кот}
{один велосипед, другой велосипед}
{один ломоть, другой ломоть}
могут соответствовать {a, b}, а значит, все они определены – что бы это ни значило – одинаковым числом.
К несчастью, использование списка стандартных множеств в качестве чисел, скорее всего, породит вопросы: слишком легко спутать символ с тем, что он представляет. Но как еще описать свойство этих множеств, которое можно взаимно однозначно сопоставить со стандартным множеством? Что есть это свойство? Фреге посетила превосходная идея. Есть четко определенное множество, связанное с любым свойством, буквально состоящее из всего обладающего этим свойством. Свойство «простой» ассоциируется со множеством