1/6. Однако использование меры требует от нас учитывать не только число граней, но и сами множества граней. С таким множеством Y связана вероятность того, что выпадет одна из граней множества Y. Интуитивно это будет размер Y, деленный на 6.
Благодаря этой простой идее Колмогоров положил конец спорам, в том числе вековым, и создал строгую теорию вероятностей.
Статистические данные
Главным приложением и ответвлением теории вероятностей стала статистика, использующая вероятности для анализа данных реального мира. Она выросла из астрономии XVIII в., когда возникла необходимость учитывать ошибки наблюдений. Эмпирически и теоретически они распределены согласно функции ошибок, или нормальному распределению. Кривая этой функции формой напоминает колокол и часто называется колоколом Гаусса (колоколообразной кривой). Здесь величина ошибки откладывается по горизонтальной оси с нулевым значением посередине, а вершина кривой представляет вероятность ошибки соответствующей величины. Мелкие ошибки гораздо вероятней, серьезные случаются гораздо реже.
Колоколообразная кривая
В 1835 г. Адольф Кетле выступил с предложением использовать колоколообразную кривую для моделирования социальных данных: рождений, смертей, разводов, преступлений и суицидов. Он открыл, что, хотя такие события непредсказуемы для отдельных лиц, они обладают статистическими закономерностями, если рассматривать их по популяции в целом. Он воплотил свою идею, создав «среднестатистического человека», фиктивную личность со средними показателями по всем параметрам. По Кетле, среднестатистический человек вовсе не был отвлеченной математической концепцией: это объект социальной справедливости.
График Кетле для количества людей, имеющих данный вес. Вес откладывается по горизонтальной оси, количество людей – по вертикальной
Начиная с 1880-х общественные науки существенно расширили использование идей статистики, особенно колоколообразной кривой, в качестве замены реальному эксперименту. В 1865 г. Фрэнсис Гальтон занялся исследованием наследственности человека. Как рост ребенка соотносится с ростом его родителей? А как насчет веса или умственных способностей? Он принял колоколообразную кривую Кетле, но воспринимал ее как способ разделения определенных популяций, а не как моральный императив. Если какие-то данные демонстрировали два пика вместо одного на колоколообразной кривой, значит, популяция должна состоять из двух субпопуляций, каждая со своей кривой. К 1877 г. исследования Гальтона подвели его к изобретению регрессионного анализа – способа сравнения одного множества данных с другим для выявления наиболее вероятных взаимоотношений.
Другой заметной фигурой был Исидор Эджуорт. Он не был наделен воображением Гальтона, а был, скорее, технократом и сумел подвести под идеи Гальтона надежную математическую основу. Третьим был Карл Пирсон, внесший значительный вклад в развитие математики. Однако наибольшую пользу своими открытиями Пирсон принес в качестве «продавца идеи»: он убедил весь мир, что статистика – очень полезная наука.
Чрезвычайно важная область приложения теории вероятностей – медицинские испытания новых лекарств. В этих экспериментах проводится сбор данных о воздействии препарата: действительно ли он лечит болезнь и имеет ли какие-то нежелательные побочные эффекты. Что бы ни показывали полученные цифры, главным вопросом остается их статистическая значимость: являются ли они результатом непосредственного воздействия лекарства, или это плод чистой случайности? Проблему помогает решить использование статистического метода под названием проверка гипотезы. Он сравнивает данные исследования со статистической моделью и определяет вероятность того, что результат случаен. Если, например, вероятность меньше 0,01, данные с вероятностью 0,99 не получены случайно. Эффект значим на 99 %. Такие методы позволяют с высокой степенью достоверности определить, какое лекарство самое эффективное, а какое имеет побочные эффекты и не годится для использования.
Ньютон и его последователи показали, что математика может быть очень эффективным способом постижения закономерностей природы. Открытие теории вероятностей и ее прикладной ветви, статистики, имело то же значение для постижения нерегулярности природы. Безусловно, и в случайных событиях можно найти числовые закономерности. Однако они проявляются только в статистических величинах, таких как долгосрочные тренды и средние значения. Они позволяют делать предположения, но лишь о вероятности некоего события. Они не предсказывают, когда событие произойдет. Несмотря на это, теория вероятностей стала одним из самых популярных математических приемов, востребованных и в науке, и в медицине – везде, где необходимо решить, является ли полученный эффект значимым или кажущейся закономерностью, полученной в результате совпадений.
Глава 19. Мельницы для чисел
Математики всегда мечтали создать машины, которые избавили бы их от занудных, рутинных вычислительных операций. Чем меньше времени уходит на вычисления, тем больше остается на размышления. Еще с доисторических времен человечество использовало палочки и камешки для счета, пока кучки камней не привели к изобретению счетов, где нанизанные на проволоку бусинки заменили разряды числа. Особенно удачным оказался японский вариант абака. Опытный пользователь мог легко и точно выполнить на нем любое арифметическое действие. Примерно в 1950-х гг. японский абак удалось преобразовать в механический ручной калькулятор.
Мечта становится явью?
К XXI в. изобретение компьютеров и широкое распространение и доступность интегральных схем (чипов) дали машинам огромное преимущество. Они могут работать гораздо быстрее, чем человеческий мозг или механические устройства: скорость в миллиарды и триллионы арифметических операций в секунду сейчас воспринимается как должное. Быстрее, чем я наберу эти строки, произведенная IBM Blue Gene/L способна выполнить квадриллион вычислений (операций с плавающей запятой) за секунду. Современные компьютеры к тому же имеют огромные объемы памяти и хранят эквивалент сотен книг так, что любые сведения из них нам доступны практически моментально. Цветные схемы и анимации достигли пика своего качества.
Компьютеры на пьедестале
Ранние машины были более скромными, но и они позволяли сэкономить немало времени и сил. Пожалуй, первым значительным шагом после абака стали кости, или палочки, Непера: набор маркированных палочек, изобретенный Непером перед тем, как он придумал логарифмы. По сути, палочки были универсальными компонентами обычного процесса умножения. И хотя они могли заменить бумагу и карандаш и избавляли от необходимости записывать каждую цифру, они лишь имитировали ручные вычисления.
В 1642 г. Паскаль изобрел действительно механический калькулятор, арифметическую машину, чтобы помочь в подсчетах своему отцу. Устройство выполняло сложение и вычитание, но не умножение и деление. Оно имело восемь вращающихся дисков с числами, т. е. подходило для чисел вплоть до восьмизначных. В последующие десять лет Паскаль создал 50 аналогичных машин, большинство из которых сейчас хранится в музеях.
В 1671 г. Лейбниц придумал схему машины для умножения и собрал ее в 1694 г., заметив: «Негоже достойным людям, как рабы, терять часы над вычислениями, которые легко мог бы выполнить любой, имейся у него нужная машина». Он назвал свое устройство Staffelwalze (ступенчатый счетчик). Основная идея его изобретения широко использовалась последователями.
Автором самого амбициозного проекта вычислительной машины стал Чарльз Бэббидж. По его словам, в 1812 г. он «сидел в помещении Аналитического общества в Кембридже, клюя носом над раскрытыми передо мной таблицами логарифмов. Другой член общества вошел в комнату, увидел, что я вот-вот засну, и воскликнул: “Ну, Бэббидж, и о чем ты тут грезишь?” На что я ответил, кивнув на логарифмы: “Я думаю о том, что все эти таблицы можно было бы вычислить с помощью машины”». Этой мечте Бэббидж следовал до конца жизни, сконструировав прототип машины, названной им разностной. Он пытался получить от правительства помощь на создание более мощных устройств. Его самый амбициозный проект, аналитическая машина, по сути была программируемым механическим компьютером. Ни один такой аппарат не был построен, хотя удалось собрать некоторые его компоненты. Современная реконструкция аналитической машины хранится в Музее науки в Лондоне – и она работает. Большой вклад в труд Бэббиджа внесла Августа Ада Лавлейс, написав первую в мире компьютерную программу для его машины.
Первым калькулятором, поступившим в массовое производство, стал арифмометр, выпущенный Томасом де Кольмаром в 1820 г. В его основе лежал ступенчатый валиковый механизм, и еще в 1920 г. его производство процветало. Следующим принципиальным изменением стал механизм штифтового колеса, изобретенный шведским инженером Вильгодтом Однером. Его калькулятор был прототипом для десятков, если не сотен, аналогичных механизмов, выпускавшихся на множестве фабрик. Движущей силой был сам оператор, крутивший рукоятку и проворачивавший таким образом ряд дисков с цифрами от 0 до 9. Имея определенные навыки, человек мог достаточно быстро выполнять даже самые сложные операции. Во время Второй мировой войны научные и инженерные расчеты для Манхэттенского проекта по созданию первой атомной бомбы производились как раз на таких машинах, управляемых специально отобранным подразделением «вычислителей» – главным образом молодых женщин. Изобретение в 1980-х гг. дешевых и мощных электронных компьютеров моментально вывело механические устройства из игры, но вплоть до этого времени они оставались широко распространенными и востребованными в деловых и научных кругах.