центр. И все точки окружности находятся на одинаковом расстоянии от центра. Это расстояние называется радиусом. Отрезок, соединяющий любые две точки окружности, называется хордой. Если хорда проходит через центр окружности, то она является диаметром. Как видишь, длина диаметра равна двум радиусам. Диаметр — самая длинная хорда. Для изображения окружности мы используем циркуль.
Нарисуй на большом листе бумаги несколько окружностей с помощью циркуля и от руки. Не правда ли, тяжело рисовать окружность от руки? (Хотя от ноги еще труднее.) Поэтому тебе задание. Каждый вечер ты должен тренироваться в изображении окружности от руки. Это трудно, но полезно. Великий художник Дюрер мог от руки нарисовать окружность и указать ее центр так точно, что даже с помощью циркуля нельзя было найти никаких отклонений.
Итак, у окружности есть центр. Но и у квадрата тоже есть центр.
75. Чем центр окружности отличается от центра квадрата? (Вопрос этот не очень точен с математической точки зрения, но все-таки понятно, о чем спрашивается.)
76. На рисунке 21 изображены несколько окружностей и несколько отрезков. Для каждой окружности один из отрезков равен ее диаметру. Вернее, почти равен. Проверь свой глазомер и попробуй «на глазок» для каждой окружности указать отрезок, равный ее диаметру. Потом проверь циркулем.
Рис. 21
77. Ты, конечно, видел канализационные люки. В городе их много. Как ты думаешь, почему крышки канализационных люков делаются круглыми, а не квадратными?
Возможно, окружность — самая главная фигура геометрии. Я даже считаю, что окружность — это душа геометрии. Ты, наверное, слышал о великом Архимеде. Он жил примерно 2300 лет назад в городе Сиракузы на острове Сицилия. За свою жизнь Архимед сделал много великих открытий. Я не стану их перечислять. Говорят, что именно он изобрел рычаг. Принцип рычага и сейчас используется почти в любом подъемном механизме. Он позволяет с помощью небольшого усилия поднять тяжелый груз. Именно по этому принципу и был устроен механизм, который использовал Нави. Обо всем этом ты вскоре узнаешь на уроках физики. А я хочу сказать о другом.
В конце жизни Архимед очень увлекся геометрией. Особенно интересовала его окружность. Архимед сделал замечательные геометрические открытия. Многие из них относятся именно к окружности. Так, например, он доказал, что если диаметр окружности умножить на 22, а затем получившееся число разделить на 7, то в частном будет число, очень близкое к длине окружности. В настоящее время существуют гораздо более точные методы вычисления длины окружности, но метод Архимеда вполне годится для практических расчетов и сегодня.
Когда на родной город Архимеда Сиракузы напали римляне, ученый очень помог жителям Сиракуз при обороне. Например, говорят, что он сумел изготовить большие зеркала и с их помощью направить лучи солнца на корабли римлян и поджечь их. Но силы были не равны. Римляне захватили и разрушили Сиракузы. (Сейчас на месте древнего города находится небольшой порт Сиракуза.) Когда римляне входили в город, Архимед занимался геометрией. Он рисовал на песке круги. Легенда гласит, что последними словами Архимеда, перед тем как его убил римский легионер, были: «Осторожно, не наступи на мои круги». Об Архимеде можно говорить долго. Удивительный был человек. Некоторые из его открытий в те времена казались никому не нужными. Но сейчас мы можем сказать, что если бы Архимед и другие великие ученые две с лишним тысячи лет назад не сделали свои открытия о свойствах окружностей и других кривых, то человек не смог бы летать в космосе.
Взгляни-ка. Появилась вторая коза. Они мирно пасутся рядышком. Травы хватает, да и коза — животное мирное, если, конечно, ее не дразнить. Вот еще несколько задач на тему козы и геометрии.
78. Представь себе, что длина веревки у одной козы равна 5 метрам, а у другой — 7 метрам. На каком расстоянии надо вбить колышки, чтобы козы не могли помешать друг другу и поссориться из-за какого-нибудь вкусного кустика? Укажи самое маленькое возможное расстояние между колышками.
79. Вообрази, что имеется колодец в форме квадрата со стороной 2 метра. К одному из его углов привязана коза (рис. 22). Какой вид имеет область, где может пастись коза? Нарисуй эту область для случаев, когда длина веревки равна: а) 2 метрам; б) 4 метрам; в) 5 метрам.
Рис. 22
80. Имеется беседка в виде шестиугольника со стороной 2 метра. К одной из ее вершин привязана коза. Изобрази, где может пастись коза, если длина веревки равна: а) 3 метрам; б) 6 метрам.
В любом механизме, сделанном человеком, имеется множество кругов и окружностей. Наверное, самое великое изобретение человека — это колесо. Действительно, это сейчас кажется так просто — колесо. Подумаешь! Но в природе нет колеса. Животные плавают и летают, они ходят, ползают, а некоторые даже имеют свой личный реактивный двигатель. Но все они бесколесные. И все же круги в природе не редкость. Постарайся вспомнить несколько таких примеров.
— Шляпка гриба, круги на воде от камня… — с трудом вспоминал Федя.
(Добавь и ты что-нибудь к этому списку.)
— И все-таки попробуй объяснить.
81. Почему колесо имеет форму круга, а не квадрата? Рассмотри квадрат, стоящий на прямой (рис. 23). Пусть он начнет перекатываться, как на рисунке. Нарисуй линии, которые описывают центр квадрата, вершина квадрата, некоторая точка A, отмеченная внутри квадрата.
Рис. 23
Впрочем, можно придумать дорогу, по которой будет удобно ездить на велосипедах с квадратными колесами.
Окружность обладает очень важным свойством. Если мы начнем ее вращать вокруг центра, то ничего не меняется, просто одни точки окружности переходят в другие. Окружность может скользить сама по себе. Существует еще одна линия, обладающая таким же свойством, и ты ее знаешь. Какая это линия?
Федя подумал, но на ум ничего не приходило. (Странное выражение, не так ли? Особенно если в него вдуматься. И опять…)
— Это же — самая обычная прямая.
— Верно, — согласился Федор.
Глава 12Расцвет
Можно сказать, что с появлением Нави жизнь в стране изменилась к лучшему. Начал он с самого главного — со школы. Основными в школе стали шесть предметов: родной язык и литература, математика, физкультура, история и география, искусство, природа. Нави научил жителей десятичной системе счисления. И сразу стали развиваться торговля и строительство. Ведь умение правильно и быстро выполнять вычисления очень важно и в торговле, и в строительстве. Но не только. Человеку всегда приходится что-то считать.
Жизнь и труд людей сильно облегчили различные изобретения. Некоторые были сделаны еще Учителем Адемихром, другие самим Нави, а третьи уже учениками Нави.
Во много раз сократилось число советников и работников Ведомств. Чтобы они не мешали и не устраивали заговоры, всем, кто добровольно уходил в отставку, сохранили все привилегии. Главное, чтобы они ничего не делали и никем не руководили.
Самыми заметными людьми в стране стали Учитель, Врач и Поэт. Им выдавались специальные головные уборы. Любой человек имел право на то, чтобы его хорошо учили и, если он заболевал, хорошо лечили. Но главной обязанностью Врача было не лечение, а наблюдение за людьми и предотвращение болезней. Любой человек мог обратиться к Поэту с просьбой прочитать стихи. Учитель, Врач и Поэт пользовались в стране огромным почетом и уважением. Каждый встречный с ними обязательно здоровался, а ремесленники и торговцы почитали великой честью подарить Учителю, Врачу или Поэту свое изделие или товар.
Аль Труист очень привязался к Нави и всегда или почти всегда выполнял его просьбы. Конечно, бывали случаи, когда правитель был в плохом настроении, чувствовал себя неважно. В такие моменты Нави старался избегать обращаться к нему с просьбами. Но иногда все же приходилось.
Так, однажды пасмурным утром, когда у Аль Труиста сильно разболелась голова и он не хотел никого принимать, Нави все же осмелился обратиться к нему.
Раздраженный правитель воскликнул:
— Клянусь, что на сей раз я не выполню твоей просьбы!
— Жаль, — смиренно произнес Нави, — ведь моя просьба очень мала. Здесь за дверью стоят десять недостойных людей. Прошу тебя, откажи хотя бы одному из них в его просьбе.
Аль Труист рассмеялся. У него даже прошла головная боль. Он понял, что если он собирается сдержать данное только что слово, то должен удовлетворить просьбы всех десяти человек. А правитель был человек слова.
— Спасибо, что ты привел только 10 просителей, а не 100, — пошутил Аль Труист.
Многие жители обращались к Нави, и он помогал им разобраться в самых разных проблемах. Вот несколько примеров.
82. Однажды к Нави пришел владелец постоялого I двора. Он обвинял своего работника, что тот украл у него 1 драхму. Вот что рассказал этот человек:
— Ко мне на постоялый двор прибыли два путника. Переночевав, утром они заплатили за двоих 30 драхм и уехали. Но, подсчитав, я понял, что взял с них лишние деньги. Я послал вдогонку работника, дав ему с собой 7 драхм. Он должен был вернуть каждому из путников по 2 драхмы, а 3 драхмы передать на строительство новой школы в нашем селении. Он утверждает, что выполнил мое поручение. Тогда я стал считать. Оба путника заплатили по 13 драхм, всего 26. Да 3 драхмы я передал на строительство школы. Получается 29 драхм. Куда пропала 1 драхма?
83. В другой раз обратились три человека с просьбой разобраться в сложном случае, приключившемся с ними. Они шли из одного города в другой и по дороге решили поесть. Первый достал из мешка 5 лепешек, второй — 3 и третий — 1 лепешку. Все лепешки о