навстречу друг другу (это очень здорово, когда люди идут навстречу друг другу. Можно также идти на встречу друг с другом, но это не одно и то же), то они сближаются со скоростью, равной сумме скоростей каждого из них. Это верно для любых движущихся предметов. При условии, конечно, что люди или предметы движутся навстречу по прямой.
Если же кто-то или что-то движется по прямой в одном направлении, при этом второй нагоняет первого, то есть движется с большей скоростью, то скорость сближения равна разности скоростей. Если же первый движется с большей скоростью, то он удаляется также со скоростью, равной разности скоростей. Давай рассмотрим такую задачу.
128. Директором кондитерской фабрики в нашем районе работает мой друг с простой фамилией Иванов. Его заместитель, по странному совпадению, имеет фамилию Поливанов (это можно понять, как полИванова). Они живут недалеко друг от друга. Расстояние между их домами равно 400 метрам. Вечерами они любят прогуливаться от одного дома до другого и обратно. Однажды они вышли из своих домов одновременно. Иванов шел со скоростью 2 километра 400 метров в час, а Поливанов — 3 километра 600 метров в час. По дороге они встретились, немного поговорили и продолжили свой путь. Каждый дошел до дома приятеля и вернулся к себе домой. На каком расстоянии от дома директора произошла их первая встреча? А на каком расстоянии произошла вторая встреча?
Задача эта не очень трудная. Здесь важно все делать по порядку. Сначала давай выясним, сколько метров в минуту проходил каждый из них. Иванов проходил за час 2400 метров. Значит, за минуту он проходил 40 метров. Шел не спеша. Его заместитель проходил за час 3600 метров, а за минуту — 60 метров. Значит, сближались они со скоростью… Ну дальше ты сам легко закончишь задачу.
Если ты верно сосчитал, то встретились они через 4 минуты. За это время директор прошел 160 метров, а его заместитель — 240 метров (рис. 40, а). Немного труднее определить, где произошла вторая встреча. Это можно сделать по-разному. Я хочу показать один простой способ. Почти ничего не надо считать. Но надо думать и понимать.
Рис. 40, а
Итак, к моменту первой встречи они вдвоем прошли один раз 400 метров — путь между своими домами. А сколько раз они вместе пройдут путь между домами, когда встретятся вновь?
— Два раза! — не подумав, выпалил Федя.
— На сей раз быстро и неверно. Ведь каждый из них дошел до другого дома и еще до встречи. Значит, они в сумме трижды (!) прошли путь между домами. Итак, сколько времени прошло с момента выхода до второй встречи?
— 4 • 3 = 12 минут.
— Сколько метров прошел директор?
— 160 • 3 = 480 метров.
— На каком расстоянии от дома директора произошла вторая встреча?
— Она произошла на расстоянии 480 — 400 = 80 метров от дома заместителя директора. Значит, на расстоянии 400 — 80 = 320 метров от дома директора (рис. 40, б).
Рис. 40, б
Глава 19Задачи на движение (продолжение)
— В последней задаче есть маленький подвох, на который мы внимания не обратили, — сказал дедушка, и глаза его хитро прищурились. — Мы потом еще к ней вернемся. А пока реши две простые задачи.
129. Два человека, обозначим их буквами А и Б, идут каждый по своей дороге. За какое-то время А проходит 5 метров, а Б за это же время проходит 7 метров. Как видишь, Б идет быстрее. Дороги, по которым идут эти два человека, пересекаются. На рисунке 41, а-г ты видишь эти дороги. Везде указано расстояние до перекрестка в какой-то момент. У нас есть три возможности: 1) первым перекресток проходит А; 2) первым перекресток проходит Б; 3) А и Б встречаются, они проходят перекресток одновременно. Для каждой картинки надо указать, какому случаю она соответствует. Если тебе трудно сразу ответить на этот вопрос, то посмотри, где будет находиться Б, когда А пройдет 5 метров, 10 метров, 15 метров и так далее.
Рис. 41
130. Четыре черепахи Ахилла, Бахилла, Вахилла и Гуня — сокращенно А, Б, В и Г — ползут по двум пересекающимся дорогам. На рисунке 42 показано место, где находятся черепахи в начальный момент, и направление движения каждой из них. Черепаха А ползет со скоростью 5 метров в минуту, черепаха Б — со скоростью 4 метра в минуту, В — 3 метра в минуту, и наконец, Г — 6 метров в минуту. Ответь на несколько вопросов:
1) Через сколько минут Б догонит В?
2) Что произойдет раньше: Б догонит В или А встретится с Г?
3) Какая из черепах первой пересечет перекресток?
Рис. 42
Нельзя сказать, что Федя решил обе задачи очень быстро. Вернее, сказать-то можно, но это было бы не совсем верное утверждение. Часа два он с ними провозился, но решил. Почти все время ушло на вычисления. Для какой-нибудь иной работы это могло быть и очень быстро, но не для этой. Ведь задачи были нетрудными.
Через несколько часов дедушка продолжил занятия.
— Иногда к задачам на движение можно подходить как к задачам на части. Дело в том, что если машины или люди движутся с постоянными скоростями, то расстояния, пройденные ими за одинаковое время, относятся как скорости. Давай вернемся еще раз к задаче 128. Я немного изменю в ней числа, и мы получим новую задачу.
131. Прочитай еще раз задачу 128. Пусть расстояние между домами директора и его заместителя равно 420 метрам и известно, что скорости движения директора и его заместителя относятся как 2:5. Все остальное то же самое. И вопросы те же.
Ответим сначала на первый вопрос: на каком расстоянии от дома директора произошла первая встреча? Поскольку пройденные до встречи пути относятся, как скорости, то есть 2:5, мы можем сказать, что путь директора составляет 2 части, а путь его заместителя — 5 частей. Весь путь 420 метров и состоит из 7 частей. Значит, одна часть составляет 60 метров и первая встреча произошла на расстоянии 120 метров от дома директора.
Теперь нам надо узнать, где произошла вторая встреча. Попробуем рассуждать так же, как и при решении задачи 128. К моменту второй встречи общий путь приятелей равен утроенному пути между их домами. Значит, каждый из них прошел втрое больше, чем к моменту первой встречи. Получается, что директор прошел 120 • 3 = 360 метров, то есть он еще не дошел до дома своего заместителя. Зато его заместитель к этому моменту прошел путь 300 • 3 = 900 метров. А это больше удвоенного пути между их домами чего быть не может. Остается одно. На обратном пути от дома директора к себе домой заместитель обогнал начальника. В этот момент и произошла их вторая встреча (рис. 43). Если, конечно, это можно назвать встречей. Остается узнать, на каком расстоянии от дома директора его обогнал заместитель. В этот момент заместитель прошел на 420 метров больше директора. Так как заместитель прошел до дома директора, а затем догнал директора, то есть прошел путь в 420 м и еще столько же, сколько директор. Поскольку путь директора — это 2 части, путь заместителя — 5 частей, то разность путей — это 3 части. 3 части составляют 420 метров, 1 часть — 140 метров. Вторая встреча произошла на расстоянии 280 метров от дома директора.
Рис. 43
А теперь для завершения еще одна задача на движение, но совсем иная.
132. На рисунке 44 ты видишь автобус, едущий по Колоколамскому шоссе. Куда он едет, в Москву или в Колоколамск?
Рис. 44
Только не ищи подвоха, эта задача имеет вполне обоснованное решение!
Глава 20Конец легенды или конец легенде
Сто лет и три года длилась счастливая пора Аииарии. Умер Аль Труист. Его сменил сын. Потом сын его сына. Ушел из жизни Нави, окруженный учениками и любовью жителей страны.
Но все меняется.
Добро распространяется по свету, растворяется в людях и в природе. Зло скрывается в темноте. И если его вовремя не обнаружить, оно копится, размножается. Добрые и честные люди верят, что все кругом добрые и честные. Злые и нечестные убеждены, что все кругом такие же, как они, — злые и нечестные. Но чтобы добиться своих целей, они часто притворяются добрыми и честными.
Деньги стали орудием Зла. Зло притягивало деньги. Людям внушали, что самое важное быстро получить прибыль, что умнее тот, у кого больше денег. Многие перестали учиться. Они хотели как можно быстрее начать зарабатывать деньги, и как можно больше. Появились учителя, учившие за большие деньги только богатых и только тому, как зарабатывать деньги. Врачи перестали лечить бедных. Поэты голодали, так как стихи оказались никому не нужными. Они отвлекали от главного — зарабатывания денег.
Никто уже не придумывал новые полезные машины. Ведь для этого надо очень долго учиться. Старые же машины изнашивались и ломались, да и людей, которые могли бы ими управлять и ремонтировать, становилось все меньше и меньше.
Если раньше люди играли в различные игры для удовольствия, то теперь все играли только на деньги. Появились даже профессиональные игроки, зарабатывающие деньги только игрой.
При встрече люди спрашивали не «как твое здоровье?», а «сколько ты стоишь?». Не «как твоя работа?», а «как твой бузинес?». («Бузинес» — это способ добывания денег, при котором ничего не производится.)
Богатые люди создали законы, которые позволяли богатому преступнику не сидеть в тюрьме, а гулять на свободе, заплатив штраф.
Страна превратилась в один большой рынок. Главное на этом рынке было — обмануть покупателя и подороже продать ненужную ему вещь. Этой цели служила реклама.
…Чтобы вырастить яблоко, должны много и долго потрудиться самые разные люди. Надо посадить дерево, привить его, ухаживать за ним, поливать. И тогда, через много лет, появится настоящая яблоня с прекрасными плодами. Но если человек, собирающий урожай, забудет о тех многочисленных работниках, благодаря которым выросла яблоня, если он решит, что эти яблоки принадлежат только ему, быть беде. Он может, например, решить, что удобнее всего собирать яблоки, если срубить яблоню. Очень скоро погибнет не только одно дерево, но и весь сад.