Арифметические вычисления
— Я думаю, что мы с тобой слишком увлеклись занимательными задачами и очень мало занимались обыкновенными вычислениями, — сказал дедушка Федору в некоторой задумчивости. — Конечно, умение хорошо вычислять не является признаком хорошего математика. Некоторые выдающиеся вычислители совсем не разбирались в математике. Среди них даже встречались просто глупые люди. В то же время известно немало талантливых математиков, которые не очень хорошо вычисляли. Правда, величайший математик Леонард Эйлер был выдающимся вычислителем. Если он долго не мог заснуть, он упражнялся в вычислениях, перемножая в уме четырехзначные числа. Когда он умер, на его могиле написали: «Великий Эйлер кончил жить и вычислять». Кстати, Леонард Эйлер большую часть своей жизни прожил в России, в Санкт-Петербурге. Когда ты поедешь на каникулы в Санкт-Петербург, попроси родителей сводить тебя в Александро-Невскую лавру. Там похоронен Эйлер. Великие математики со всего мира приезжают посетить его могилу. На ней ты сам сможешь прочесть эту надпись.
Ну, до Эйлера нам всем далеко. Тут и компьютер не поможет. А потренироваться все же надо. Хотя это и немного скучно. Для начала выполни еще раз задачу «из сундука». Я говорю о номере 99.
А теперь несколько задач.
146. Из чисел 1, 2 и 3 с помощью арифметических действий получи все числа от 1 до 9. (Каждый раз надо использовать все три числа. Каждое — по одному разу.)
147. Имеется несколько равенств. Некоторые из них верны. Некоторые не верны, но можно так поставить скобки, что получится верное равенство. Укажи верные и исправь неверные:
1) 52 — 36 :12 = 49;
2) 104 + 5 • 4 = 124;
3) 48 + 32 : 16 = 5;
4) 54 : 3 — 16 = 24;
5) 5 + 18 — 8 : 2 = 10;
6) 26 — 6 : (62 — 60) = 10;
7) 59 — 3 • 15 = 14;
8) 68 — 8 • 2 — 4 = 116;
9) 36 : 4 + 5 • 3 = 12;
10) 8 + (29 — 7) • 8 = 184;
11) 48 — (8 — 6 : 2) = 47;
12) 25 — 5 • 4 : 10 = 8;
13) 13 • 5 + 56 : 8 = 72;
14) 48 : 3 + 4 • 7 = 44.
148. Очень интересными свойствами обладает число 142 857. Что получится, если это число умножить на 2, 3, 4, 5, 6 и 7? Разложи 142 857 на простые множители.
Надеюсь, ты знаешь способ деления уголком (математики используют важное во всех смыслах слово алгоритм: алгоритм деления уголком). Воспользуйся им при решении трех следующих задач.
149. Какую цифру надо приписать справа к числу 4584, чтобы получившееся пятизначное число делилось на 37?
(Д—51, 52.)
150. Найди наименьшее число, состоящее из одних единиц, которое делится: а) на 7; б) на 17.
151. Найди самое меньшее число, делящееся на 17, последняя цифра которого равна 1, а все предыдущие равны 3.
152. Если ты решил задачу 150, то попробуй сразу написать число, состоящее из одних единиц, которое делится и на 7, и на 17.
153. Проверь равенства 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 7 • 7, 1 + 3 + 5 + … + 99 = 50 • 50. (Рисунок 45 поможет в этом.)
Рис. 45
154. Вычисли:
7373 • 91 — 9191 • 73;
666 667 • 666 667;
6 666 667 • 6 666 667;
1 010 111 110 101 : 9091;
101 011 111 110 101 : 9091;
1 100 111 110 011 : 9901;
110011 111 110011 : 9901.
155. Припиши к числу 20 012 001 справа одну цифру так, чтобы полученное число делилось на 7. Теперь к тому же числу припиши справа две цифры так, чтобы полученное число делилось на 7 и 8. И наконец, припиши к нему три цифры, чтобы получившееся число делилось на 7, 8 и 9.
Глава 23Измерения и разрезания
— Ты помнишь, как мы с тобой решали задачу об измерении диагонали кирпича? Вернее, длины диагонали, — уточнил дедушка. — А можешь ли ты ответить на вопрос: что значит измерить длину чего-нибудь?
— Ну! Это значит найти число… Ведь длина выражается числом. Вот это число и надо найти, — бодрым голосом ответил Федор.
— А что значит найти? Найти можно гриб, нужную дорогу. А как найти число? И потом, как понять выражение «найти число»? Можно ли сказать: длина палки 7?
— Нет! Надо сказать 7 чего-то: метров, сантиметров?
— Верно! Хотя, конечно, палка в 7 метров длинновата, а в 7 сантиметров — коротковата. Итак, для измерения мы должны сначала иметь единицу измерения. Длина палки или чего-то иного выражается числом, показывающим, сколько раз наша единица укладывается в измеряемом предмете, в палке или в чем-то другом. А измерить — это значит с помощью какого-нибудь измерительного инструмента получить (найти!) это число. Простейшим измерительным инструментом является палка или лента с делениями длиной 1 метр. Раньше у каждого портного была такая палка или лента. Они так и назывались метр.
Для нашей страны и большинства стран мира сегодня метр является основной единицей измерения длины. Метр задает другие единицы измерения длины. Более крупной единицей является километр. 1 километр — это 1000 метров. Более мелкие — это дециметр, сантиметр, миллиметр. Я убежден, что ты знаком со всеми этими единицами и сразу ответишь мне на такой вопрос:
156. Сколько миллиметров в 1 километре?
(Д—53–55.)
С помощью метра определяются и единицы измерения площади, объема и других величин. Все эти единицы, выводимые из метра, образуют метрическую систему измерений. Квадрат со стороной 1 метр называется квадратным метром и принимается за единицу измерения площади. Понятно, что куб с ребром, равным 1 метру, называется кубическим метром и принимается за единицу измерения объема. Вообще, если мы возьмем любую единицу длины и построим квадрат со стороной, равной этой единице, получим единицу измерения площади. Так же куб с ребром, равным этой единице, даст нам единицу объема.
157. Сколько квадратных сантиметров в одном квадратном метре? Сколько литров (литр равен 1 кубическому дециметру, или так: литр равен объему куба со стороной 10) в одном кубическом метре?
А знаешь ли ты, откуда взялся метр? Это долгая история. Но я расскажу ее коротко. Раньше у каждого народа были свои единицы. Кстати, и до сих пор в Англии и в Америке используют свои единицы — дюйм, фут, ярд и прочее. Так вот, эти единицы длины, разные в разных странах, к тому же задавались не очень удачно: длиной ступни, шириной ладони, размахом рук и так далее. Хотелось бы иметь в основе что-то более постоянное и определенное. В 1791 году за единицу длины, которую назвали метром, ученые приняли одну десятимиллионную часть от одной четвертой части меридиана (точнее, парижского меридиана). Что такое меридиан, ты знаешь? Меридиан — это окружность на поверхности Земли, которая проходит через полюса. Полоски на арбузе очень похожи на меридианы. Был изготовлен так называемый эталон метра. На бруске из специального сплава были сделаны две отметки, расстояние между которыми и равнялось 1 метру. В 1960 году ученые придумали другой, более современный способ определения метра. Об этом ты узнаешь позднее на уроках физики.
А что еще, кроме длин, площадей и объемов, мы меряем?
Вес, время, скорость и многое, многое другое.
Бывают случаи, когда нам удобно измерять путь, вес или что-то иное с помощью необычных единиц. Например, когда мы едем на поезде или такси, мы измеряем расстояние в рублях или в часах. Длину веревки можно измерять в килограммах. Особенно, если это очень длинный кусок. Если мы знаем вес одного метра, то по весу куска сможем найти его длину.
158. Приведи еще примеры, когда мы используем необычные единицы измерения.
159. Как измерить толщину листа бумаги?
160. Как измерить диаметр футбольного мяча?
161. Как измерить объем найденного на дороге камня неправильной формы?
162. На рисунке 46 изображены два многоугольника. У какого из них больше периметр? (Периметр это сумма длин сторон многоугольника.)
Рис. 46
163. Примем за единицу измерения площади площадь одного квадратика. Найди площади изображенных на рисунке 47.
Рис. 47
164. Так же как для измерения длины в качестве единицы можно взять любой отрезок, так и для измерения площади в качестве единицы можно взять любую фигуру. Выбирая квадрат с единичной стороной, мы добиваемся того, что единица измерения площади согласуется с единицей измерения длины. Оказывается также, что при этом получаются удобные формулы для нахождения площади. И все же мы вполне можем взять за единицу площади, например, треугольник, все стороны которого равны 1 сантиметру. Это будет «треугольный сантиметр». Найди площади фигур в «треугольных сантиметрах» (рис. 48). А можно взять за единицу площади шестиугольник, все стороны которого равны 1 сантиметру. Это будет «шестиугольный сантиметр». Найдите площади фигур под номерами 9, 10, 11, 13 и 15 в «шестиугольных сантиметрах».
Рис. 48
165. Каждую из данных фигур разрежь на две равные части (рис. 49). Фигуры 3 и 4 надо разрезать по линиям клеток.
Рис. 49
Глава 24Вопросы и задачи. Дурацкие, шутливые и настоящие
Во время каникул Федя познакомился и подружился с местными ребятами. А еще в деревне оказалось немало ребятишек, приехавших, как и Федя, на лето из города. Федя рассказывал им о своих интересных занятиях по математике с дедушкой. Конечно, ему не верили. Все единодушно считали, что математика — самый скучный предмет. И лето — прекрасный повод хоть на время от нее избавиться. Правда, ребята много слышали о замечательном человеке, не так давно поселившемся в их деревне. Все называли его большим чудаком и математиком.