116. Решение понятно из рисунка 81.
Рис. 81
118. См. рисунок 82.
Рис. 82
119. См. рисунок 83.
Рис. 83
120. Первые два.
121. Из фигур 3 и 5 на рисунке 34 нельзя сложить поверхность куба.
124. б) Например, так (рис. 84).
Рис. 84
125. За 1 минуту машина проезжает 1500 метров или 1 километр 500 метров. За 1 секунду она проезжает 25 метров.
126. …60 километрам в час.
127. Объяснение дано в тексте. Внимательно его изучи.
129. а) На рисунке 41 А находится на расстоянии 15 метров от перекрестка. Но 15 = 3 • 5. Когда А пройдет 15 метров, Б пройдет 3 • 7 = 21 метр. Значит, первым пересечет перекресток Б. б) Здесь у А расстояние до перекрестка 4 • 5 = 20 метров, а Б находится на расстоянии 4 • 7 = 28 метров. В этом случае пешеходы одновременно приходят на перекресток. в) Чтобы дойти до перекрестка, Б должен пройти 13 • 7 = 91 метр. За это время А пройдет 13 • 5 = 65 метров. А пересечет перекресток позднее. г) Когда А пройдет 35 метров (7 • 5), Б пройдет 7 • 7 = 49 метров. А осталось еще 3 метра, а Б — 5 метров. Вопрос, кто пройдет эти пути быстрее? Увеличим каждый путь в 5 раз. Получим 15 метров и 25 метров. Но когда А пройдет 15 метров (3 • 5), Б пройдет 21 метр (3 • 7). Значит, в этом случае первым пересекает перекресток А.
130. 1) Скорость Б на 1 метр в минуту больше скорости В. Вначале В опережает Б на 2 метра. Значит, Б догонит В через 2 минуты. 2) Скорость сближения А и Г составляет 11 метров в минуту. Они ползут навстречу и начальное расстояние равно 19 метрам. Понятно, что они встретятся раньше чем через 2 минуты. А именно через 2 минуты Б догонит В. 3) В пересечет перекресток раньше Б. Ведь Б догонит В через 2 минуты, когда та уже преодолеет перекресток. Найдем, за какое время каждая из черепах преодолевает 1 метр, и через какое время после начала движения она доползет до перекрестка. Черепаха А за 1 минуту, или за 60 секунд, проползает 5 метров. Значит, 1 метр она проползет за 12 секунд. У перекрестка она будет через 9 • 12 = 108 секунд. Черепаха В 1 метр преодолевает за 20 секунд и у перекрестка будет через 5 • 20 = 100 секунд. Черепаха Г 1 метр проползает за 10 секунд, и у перекрестка она будет через 100 секунд. Таким образом, первыми одновременно до перекрестка доберутся черепахи В и Г.
132. Поскольку на рисунке не видны входные двери, а эти двери находятся с правой стороны автобуса, а также потому, что движение у нас правостороннее, этот автобус едет в Москву.
133. Если ничего не делать, то на следующий день пруд зарастет полностью. Значит, на расчистку пруда остается всего 1 день.
137. Одна тетрадь или один карандаш должны стоить целое число копеек. При покупке четного числа тетрадей каждого вида и четного числа карандашей общая стоимость покупки должна быть четной (в копейках). Но сумма в несколько рублей и 37 копеек является нечетной. Так быть не может.
138. Нет. Ему не удастся это сделать. Ведь сумма всех данных чисел является числом нечетным, поскольку среди них ровно три нечетных. (Сумма трех нечетных — число нечетное (1 + 3 + 7 = 11). Все остальные числа являются четными.) А нечетное число нельзя представить в виде суммы двух одинаковых слагаемых.
140. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
141. Ответ: 11 = 1 + 2 + 8, 31 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16, 65 = 1 + 64, 156 = 4 + 8 + 16 + 128, 649 = 1 + 2 + 8 + 128 + 512.
142. 117 = 5 • 23 + 2 (неполное частное 23, остаток 2), 231 = 29 • 7 + 28 (неполное частное 7, остаток 28), 288 = 143 • 2 + 2 (неполное частное 2, остаток 2).
143. 288 = 2 • 144 = 2 • 2 • 72 = 2 • 2 • 2 • 36 = 2 • 2 • 2 • 2 • 18 = 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 9 = 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 3 • 3, 343 = 7 • 7 • 7, 275 = 5 • 5 • 11, 1024 = 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 (10 двоек), 899 = 29 • 31 (можно воспользоваться формулой, о которой было рассказано в задаче 29: 899 = 30 • 30 — 1 = (30 — 1) • (30 + 1) = 29 • 31).
144. 38 = 31 + 7 = 19 + 19, 96 = 89 + 7 = 83 + 13 = 79 + 17 = 73 + 23 = 67 + 29 = 59 + 37 = 53 + 43, 118 = 107 + 11 = … (остальные варианты найди самостоятельно), 128 = 109 + 19 = … (остальные варианты найди самостоятельно).
145. Это числа 28 и 16 • 31 = 496. То, что первое число является совершенным, проверить легко. Займемся вторым числом. Его делителями являются 1, 2, 4, 8, 16, 31, 31 • 2 = 62, 31 • 4 = 124, 31 • 8 = 248. Получаем 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496.
146. 3 — 2 • 1 = 1,
3 + 1 — 2 = 2,
3 (2 — 1) = 3,
3 + 2 — 1 = 4,
3 + 2 • 1 = 5,
3 + 2 + 1 = 6,
3 • 2 + 1 = 7,
(3 + 1) • 2 = 8,
3 • (2 + 1) = 9.
147. Укажем только неверные с исправлением. 3) (48 + 32) : 16 = 5, 5) 5 + ((18 — 8) : 2) = 10, 6) (26 — 6) : (62 — 60) = 10, 8) (68 — 8) 2 — 4 = 116, 9) (36 : (4 + 5)) • 3 = 12, 11) 48 — ((8 — 6) : 2) = 47, 12) ((25 — 5) • 4) : 10 = 8.
148. 142 857 • 2 = 285 714, 142 857 • 3 = 428 571, 142 857 • 4 = 571 428, 142 857 • 5 = 714 285, 142 857 • 6 = 857 142, 142 857 • 7 = 999 999. 142 857 = 3 • 3 • 3 • 11 • 13 • 37. При разложении на множители числа 142 857 можно воспользоваться последним равенством. 142 857 • 7 = 999 999 = 3 • 3 • 111 111 = 3 • 3 • 3 • 37 037 = 3 • 3 • 3 • 37 • 1001 = 3 • 3 • 3 • 37 • 11 • 91 = 3 • 3 • 3 • 37 • 11 • 13 • 7. Значит, 142 857 • 7 = 3 • 3 • 3 • 37 • 11 • 13 • 7, а 142 857 = 3 • 3 • 3 • 37 • 11 • 13.
149. Можно воспользоваться способом деления «уголком». В конце получим число 33, к которому надо приписать справа какую-то цифру, чтобы получилось число, которое делится на 37. Так как 111 делится на 37, то и 333 делится на 37. Приписать надо цифру 3.
150. а) Самым меньшим будет число 111 111. Можно также делить «уголком» число, состоящее из одних единиц, и найти первое, которое разделится на 7. б) Самым меньшим будет число, состоящее из 16 (!) единиц. Найти его можно так же: деля число из единиц на 17 «уголком». Конечно, при этом надо суметь не ошибиться.
151. Наименьшим будет число 333 333 331 (8 троек). Самое интересное, что все числа с меньшим числом троек не только не делятся на 17, но и являются простыми.
152. Из решения задачи 150 мы можем получить, что на 7 делятся числа из одних единиц, если количество единиц кратно 6. Точно так же, на 17 делятся числа, у которых количество единиц кратно 16. Значит, число из 48 единиц делится и на 7, и на 17.
153. Возьмем один шарик и будем последовательно прикладывать к нему «уголки» из 3, 5, 7 и так далее шариков, как на рисунке. Будем последовательно получать квадраты со сторонами по 2, 3, 4 и так далее шариков. В первой задаче нам достаточно добраться до большого квадрата со стороной 7. Здесь последним будет «уголок» из 13 квадратиков. Во второй — мы составляем квадрат со стороной 50, последним будет «уголок» из 99 шариков.
154. Можно «честно» найти каждое из произведений и убедиться, что они равны и их разность равна 0. Можно поступить хитрее. Поскольку 7373 = 73 • 101, а 9191 = 91 • 101, каждое из произведений равно произведению трех сомножителей: 73, 91 и 101. Значит, они равны. Выпишем ответы к остальным заданиям: 666 667 • 666 667 = 444 444 888 889; 6 666 667 • 6 666 667 = 44 444 448 888 889; 1 010 111 110 101 : 9091 = 111 111 111; 101 011 111 110 101 : 9091 = 11 111 111 111; 1 100 111 110011 : 9901 = 111 111 111; 110011 111 110011 : 9901 = 11 111 111 111.
155. Деля «уголком», получим, что, приписав справа 1 или 8, получим число, которое делится на 7. То есть в первом пункте два ответа: 200 120 011 и 200 120 018. Во втором пункте так же можно пользоваться способом деления «уголком». Мы же поступим иначе. Разделим число 2 001 200 100 на 56 = 7 • 8 с остатком. Получим 2 001 200 100 = 56 35 735 716 + 4. Впрочем, чему равно неполное частное (это число 35 735 716), не важно. Если мы прибавим к правой части 52, то правая часть будет делиться на 56. Здесь одно решение 2 001 200 152. В третьем случае надо делить (с остатком) число 20 012 001 000 на 7 • 8 • 9 = 504. Здесь остаток равен 96. Поэтому если мы прибавим к нашему числу 504 — 96 = 408 или 408 + 504 = 912, то получим число, которое делится на 7, 8 и 9. Снова два ответа: 20 012 001 408 и 20 012 001 912.
156. 1 километр = 1 000 000 миллиметрам.
157. 1 квадратный метр = 10 000 квадратных сантиметров. 1 кубический метр = 1000 литрам.
158. Площадь поверхности можно измерить в килограммах краски, необходимой, чтобы покрасить эту поверхность.
159. Можно измерить, например, стопку из 100 листов и поделить полученное число на 100.
160. Можно поступить, например, следующим образом. Пометим какой-то участок на поверхности мяча мелом. Затем подкатим мяч к стене так, чтобы он коснулся стенки помеченной мелом частью. На стене получим отметку, находящуюся от пола на расстоянии, равном радиусу мяча.
161. Если у вас есть бочка и камень вмещается в бочку, то можно поступить так. Наполним бочку до краев водой и погрузим в нее камень. Часть воды выльется. Достанем камень и начнем доливать воду в бочку, например, при помощи бутылок, объем которых известен. Долив бочку доверху, мы узнаем объем камня.
162. У левого периметр меньше. Стороны каждого многоугольника равны либо стороне маленького квадрата, либо его диагонали. У правого 30 сторон первого вида и 9 — второго. У левого соответственно 30 и 7.
163. При решении этой задачи (вернее, этих задач) мы будем также пользоваться половинами квадратных единиц. Например, п