лощадь самого маленького треугольника на рисунке 84 равна половине квадратной единицы, так как диагональ квадрата делит его на два равных треугольника. Площадь второго треугольника на том же рисунке равна 1 квадратной единице, так как он является половиной от прямоугольника из двух единичных квадратов. Точно так же получаем, что площадь третьего треугольника составляет половину от трех квадратных единиц или 1 с половиной квадратной единицы (или полторы квадратных единицы), площадь четвертого треугольника равна 3 квадратным единицам. Таким же образом можно находить площади других треугольников. Кроме того, мы будем пользоваться тем, что площади равных диагональ квадрата делит его на два равных треугольника. Площадь второго треугольника на том же рисунке равна 1 квадратной единице, так как он является половиной от прямоугольника из двух единичных квадратов. Точно так же получаем, что площадь третьего треугольника составляет половину от трех квадратных единиц или 1 с половиной квадратной единицы (или полторы квадратных единицы), площадь четвертого треугольника равна 3 квадратным единицам. Таким же образом можно находить площади других треугольников. Кроме того, мы будем пользоваться тем, что площади равных фигур равны. И если мы прибавим к фигуре полукруг и вырежем его в другом месте, то площадь не изменится. Выпишем ответы (в заданных квадратных единицах): 1) 16, 2) 37, 3) 20, 4) 24, 5) 13 с половиной, 6) 28 с половиной, 7) 18, 8) 16, 9) 16, 10) 20, 11) 30, 12) 13, 13) 20, 14) 15, 15) 16, 16) 7 с половиной, 17) 12, 18) 15.
Рис. 85
164. Ответы (в треугольных единицах): 1) 4, 2) 5, 3) 5, 4) 5, 5) 8, 6) 14, 7) 10, 8) 32, 9) 6, 10) 6, 11) 9, 12) 5, 13) 6, 14) 23, 15) 18. Ответы (в шестиугольных единицах): 9) 1; 10) 1; 11) 1 с половиной; 13) 1; 15)3.
165. См. рисунок 86.
Рис. 86
169. Конечно, 50.
178. Поскольку корабль поднимался вместе с водой, при возвращении пиратам пришлось подниматься на столько же ступенек, сколько и при спуске, то есть на 13 ступенек или же 26 футов.
189. Решение понятно из рисунка 87. Сначала делаем вырез, как на рисунке слева, и отгибаем кусок. Затем переворачиваем правую часть на другую сторону. Получаем фигуру, как на рисунке 87 справа. Затем делаем нужные сгибы и получаем фигуру, которую дедушка показал ребятам.
Рис. 87
190. Если за 3 секунды звук преодолевает 1 километр, то за минуту звук преодолеет 20 километров. Значит, его скорость (примерно) 20 километров в минуту или 1200 километров в час.
192. Скорее, все же не обошел.
193. Через полгода будет зима, и озеро замерзнет. И по льду, не замочив ног, вполне можно дойти до его середины.
194. Они должны оказаться по разные стороны.
195. Просто эти два путника подошли к речке с разных сторон, переправились по очереди и пошли дальше.
196. В конце у Феди должно оказаться 3 + 9 — 2 = 10 белых грибов. Следовательно, у всех будет по 10 грибов. Перед тем как Федя начал раздавать грибы, у него было 12 грибов, а у дедушки и Моцарта по 9 белых грибов. Значит, перед тем как Моцарт начал раздавать грибы, у него было 9 + 2 • 9 = 27 белых грибов, у дедушки 9 — 9 = 0 грибов, а у Феди 12 — 9 = 3 гриба. А вначале у дедушки было 6 белых грибов, у Моцарта — 24, а у Феди, как и было сказано, 0 грибов.
198. Решение понятно из рисунка 88, на котором нарисовано, что получится после нужного разрезания заданной фигуры на две части и составления из этих частей прямоугольника. Видно место, куда попадет отмеченный квадрат.
Рис. 88
201. Одно из возможных решений понятно из рисунка 89, на котором изображен вид сверху. Линии — следы разрезов. Один кусок — центральный — напоминает призму. У него две корки. По-видимому, этот кусок и является лучшим, и его отдали маме.
Рис. 89
Ответы и решения к дополнительным заданиям
1. а) 2000; б) 7; в) 0.
2. а) Надо наполнить из бочки 5-литровый ковш, затем отлить из него квас в 3-литровый ковш, пока тот не наполнится до краев. Тогда в большом ковше останется ровно 2 литра.
б) Сначала сделаем то же, что в пункте а). Затем выльем весь квас из маленького ковша обратно в бочку, а 2 литра из большого ковша перельем в маленький. Итак, большой ковш пуст, а в маленьком 2 литра. Наполним теперь из бочки 5-литровый ковш и отольем из него квас в 3-литровый, пока тот не наполнится. 2 литра в маленьком уже есть, значит, мы отлили
I литр, поэтому в большом ковше останется 4 литра. Вновь выльем весь квас из 3-литрового ковша и наполним его из 5-литрового ковша. Тогда в большом ковше останется 4 — 3 = 1 литр.
3. Наполняем ведро, потом дважды сливаем 5 литров в ковш и выливаем из ковша обратно в бочку. Оставшиеся 2 литра переливаем в ковш. Вновь наполняем ведро из бочки. Отливаем квас из ведра в ковш, пока тот не наполнится. Отлили таким образом 3 литра. В ведре осталось 9. Выливаем из ковша весь квас и наполняем его из ведра. В ведре остается 4 литра. Выливаем их в ковш (предварительно вылив из ковша квас). Теперь ведро пустое, а в ковше 4 литра. Наполняем ведро квасом и выливаем из него 1 литр в ковш. В ведре теперь 11 литров. Дважды сливая в ковш по 5 литров, получим ровно 1 литр.
4. Нельзя. Объемы обоих ковшей — числа четные, то есть делятся на 2. Поэтому, как ни переливай квас, мы всегда будем получать четное число литров.
5. 2 сестры и 2 брата.
6. 4 брата и 3 сестры.
7. У Поликарпа 3 сестры, которые работают малярами.
8. Это бабушка, мама и дочка.
9. Это я сам.
10. Начнем с последней строчки. Сын моего отца — это я. Значит, я — сын того, кто на портрете. Значит, на портрете нарисован мой отец.
11. За 12 дней они вместе съедают 3 + 1 = 4 охапки сена. Значит, одну охапку они съедят за 12 : 4 = 3 дня.
12. За 2 часа (120 минут) первый покрасил бы 2 забора, второй — 3 забора. Итак, 5 заборов за 120 минут. На один забор они потратят 24 минуты.
13. 60 килограммов картошки у первой крестьянки стоили бы 70 • 5 = 350 рублей, а у второй — 30 • 12 = 360 рублей. Значит, у второй крестьянки дороже.
14. Возьмем промежуток времени в 7 месяцев, или в 31 неделю. За это время профессор прочтет 13 • 7 = 91 лекцию, а ассистент 3 • 31 = 93 лекции. Значит, ассистент читает больше лекций.
15. 20 судаков. (Если, конечно, все дни клев одинаковый.)
16. а) MMM = 3000, III = 3. Для четырех цифр MMMD = 3500, VIII = 8. б) VII + III = X. Есть и другие примеры.
17. а) IX — IV + XXVII = XXXII;
б) C — LXII + XLI — XXXIV = XLV
18. а) 1 + 2 + 3 + … + 39 + 40 = (1 + 40) + (2 + 39) + … + (20 + 21) = 41 • 20 = 820;
1 + 11 + 21 + 31 + … + 81 + 91 = 92 • 5 = 460.
б) В первом ряду 1 шар, во втором 2 шара и т. д., в пятидесятом ряду 50 шаров. Следовательно, всего шаров 1 + 2 + … + 49 + 50 = 51 • 25 = 1275.
19. 51 больше 1 на 50, 52 больше 2 на 50 и т. д., 100 больше 50 на 50. Итак, каждое число суммы 51 + … + 100 больше соответствующего числа суммы 1 + … + 50 на 50. Всего чисел 50, значит, вторая сумма больше первой на 50 • 50 = 2500.
20. 10 + 11 + 12 + … + 23 = (10 + 23) + (11 + 22) + … + (16 + 17) = 33 • 7 = 231. Итак, крестьянин заработает 2 рубля 31 копейку, и ему хватит на новую лошадь.
21. Велосипедисты сближаются со скоростью 15 + 10 = 25 километров в час, значит, они встретятся через 1 час после выезда. Муха же весь этот час летала со скоростью 30 километров в час, значит, она пролетит 30 километров.
22. Может. Например, если брату 10 дней, а сестре 2000 дней, то есть 5 лет и 174 дня.
23. Через три года Ваня будет на 6 лет старше, чем был три года назад. С другой стороны, он будет вдвое старше. Значит, три года назад Ване было 6 лет, а сейчас — 9.
24. Сыну 12 лет, папе 36.
25. Будильник, конечно, не отличает утро от вечера. Когда он утром звонит, мы его отключаем, а потом включаем только перед сном. Поэтому он и не звонит в 7 часов вечера.
26. Каждый час минутная стрелка находится между цифрами 1 и 2 в течение пяти минут, следовательно, за сутки 5 • 24 = 120 минут, или 2 часа.
27. а) 1003 + 998 = 1000 + 3 + 1000 — 2 > 1000 + 1000 = 2000;
б) 296 + 450 < 295 + 460;
в) 32 • 34 = (33 — 1) • (33 + 1) = 33 • 33 — 1 < 33 • 33;
г) 101 • 99 = (100 + 1) • (100 — 1) = 100 • 100 — 1, 102 • 98 = (100 + 2) • (100 — 2) = 100 • 100 — 4, следовательно, 101 • 99 > 102 • 98.
28. Перемножить 20 троек — это то же, что перемножить 10 девяток. Произведение 30 двоек — это то же, что произведение 10 восьмерок. Ясно, что произведение 10 девяток больше, чем произведение 10 восьмерок.
29. Буква «к».
30.Длинношеее (животное под названием жираф) или змеед.
31.Мясо, просо. Третье слово автору так и не удалось вспомнить, хотя он точно знает, что оно есть.
32.«Хотеться есть продолжает увеличиваться».
33. Во времена моего детства эта фраза звучала так: «Пионер, комсомолец, школьник, твори, выдумывай, пробуй!» Читатель сможет легко «осовременить» ее, заменив слова «пионер» и «комсомолец» на другие.
34. Позавчера, вчера, сегодня, завтра, послезавтра.
35. а) «Начало лета».
б) «Без двадцати осень».
36. а) 20 и 40;
б) 24 и 36;
в) 50 и 10;
г) 35 и 25.
37. 2 часа, то есть 120 минут, надо разделить в отношении 1:2. Получаем 40 и 80. Итак, туда я еду 40 минут, обратно — 80 минут, то есть 1 час 20 минут.
38. Пути, пройденные за 3 дня, относятся как 4:2:1. Всего получаем 4 + 2 + 1 = 7 частей. Так как весь путь 35 километров, то одна часть равна 5 километрам. Значит, в первый день мы прошли 5 • 4 = 20 километров, во второй — 5 • 2 = 10 километров, и в третий 5 километров.