39. Поскольку Федя пробежал в четыре раза меньше Коли, его отставание от Коли в три раза больше, чем он пробежал. Отставание равно 6 километрам, значит, он пробежал 2 километра. Коля же пробежал 2 + 6 = 8 километров. С момента старта прошло полчаса. Следовательно, Коля пробежал 8 километров за полчаса. Его скорость, таким образом, равна 16 километрам в час.
40. За сутки камень поднимается на 50 метров. Поэтому после 18 суток камень окажется на высоте 900 метров. После этого Сизиф поднимает его на 100 метров, и камень оказывается на вершине горы. Ответ: 18 суток и день.
41. С начала рабочего дня и до начала следующего рабочего дня сумма денег у Полтинникова увеличивается на 350 рублей (зарабатывает 500 рублей, жена тратит 150, 500 — 150 = 350). Поэтому через 20 дней у него будет 7000 рублей (350 • 20). На следующий день (последний день третьей недели) он идет на работу, зарабатывает 500 рублей и может покупать шубу. Итак, ровно через три недели Иван сможет купить жене шубу. Правда, утром жена не сможет сходить в магазин, так как денег у них не останется.
42. Шут сказал: «Меня повесят».
Теперь королева не сможет ни повесить шута, ни утопить. Если шута повесят, то получается, что он сказал правду. Значит, его должны были утопить, а не повесить. Если же его утопят, то он сказал неправду. И его за это должны были повесить, а не утопить. В обоих случаях получится, что королева не сдержала слова. Поскольку королевы всегда держат свое слово, ей остается только одно — помиловать шута.
43. Да, рядовой Сидоров прав, приказ выполнить невозможно. Должен ли рядовой Сидоров брить самого себя? Если он побреет себя, то получится, что он побрил того, кто бреется сам. То есть Сидоров нарушит приказ. А если он не побреет себя? Тогда Сидоров относится к тем, кто не бреется сам. Значит, Сидоров, согласно приказу, должен был его (то есть себя) побрить, а он не побрил. Опять нарушил приказ.
Эта задача, в более научной формулировке, широко известна в математике и получила название парадокс Рассела. Она относится к целому циклу подобных задач — логических парадоксов. Слово парадокс означает противоречие. Логические парадоксы показывают, что математические задачи важно правильно и грамотно формулировать. Иначе задача может вовсе не иметь решения. Предыдущая задача (про королеву и шута) также является примером логического парадокса. Попробуй сам придумать какой-нибудь логический парадокс.
44. На суде Джон не глядя вытянул одну из бумажек, сказал: «Я выбираю эту!» — и, не разворачивая, тут же положил ее в рот и съел. Судьи были озадачены: как же теперь доказать, что Джон вытянул бумажку с крестом? Им оставалось только одно: вытащить и развернуть вторую бумажку. Она, естественно, была с крестом. «Значит, — сказал Джон судьям, — моя бумажка была без креста!» Судьи вынуждены были согласиться с ним (не могли же они признаться, что подменили бумажки!) и объявили помилование Джону.
45. За 10 секунд рекордсмен пробегает 100 метров, значит, за час (3600 секунд) с такой скоростью он пробежал бы 100 • 360 = 36 000 метров, или 36 километров. Ответ: 36 километров в час.
46. Туда машина едет 2 часа, обратно — 3 часа. Всего она проехала 240 километров. Значит, средняя скорость на всем пути равна 240 : 5 = 48 километров в час.
На первый взгляд, неожиданный ответ, не правда ли? Если машина едет туда со скоростью 60 километров в час, а обратно — 40 километров в час, то почему средняя скорость не 50? Ведь (60 + 40) : 2 = 50. Дело в том, что со скоростью 40 километров в час машина ехала 3 часа, а со скоростью 60 — только 2 часа. То есть медленно она ехала дольше, чем быстро. Поэтому средняя скорость меньше 50. Более того, ответ не зависит от расстояния между деревней и поселком.
47. Если я прохожу 3 километра за полчаса, а профессор Чижиков за час, то моя скорость 6 километров в час, Чижикова — 3 километра в час. Сближаемся мы со скоростью 6 + 3 = 9 километров в час. Значит, 3 километра мы пройдем за 20 минут. Итак, встретимся мы в 10 часов 20 минут. Чижиков за это время пройдет 1 километр. То есть мы встретимся на расстоянии 1 километра от университета.
48. За 15 минут профессор пройдет 750 метров. Затем я выхожу из дома, и мы вместе должны пройти 2250 метров. Так как мы сближаемся со скоростью 9 километров в час, а это в 4 раза больше, чем 2250 метров, то встретимся мы через четверть часа, т. е. через 15 минут после того, как я вышел из дома. Итак, мы встретимся в 10 часов 30 минут. Произойдет это в 1,5 километрах от университета, так как профессор до встречи шел полчаса.
49. а) 9, 37, 101, 203 — простые. 135 делится на 5, 143 =11 • 13.
б) 22 = 2 • 11, 35 = 5 • 7, 64 = 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2, 89 — простое число, 221 = 13 • 17, 361 = 19 • 19.
50. 437 = 19 • 23. Оба числа (19 и 23) — простые. Поэтому есть только два способа представить 437 в виде произведения двух натуральных чисел: 19 • 23 и 1 • 437. Второй вариант невозможен (одному из братьев было бы 437 лет!). Значит, ответ: 19 лет и 23 года.
Для второго математика: 1001 = 7 • 11 • 13. Есть и другие варианты (1 • 77 • 13, 1 • 11 • 143 и т. д.), но все они содержат 1, значит, одному из внуков всего 1 год, и он не мог бы ходить в школу. Итак, ответ для второго математика — 7, 11 и 13 лет.
Для третьего: 253 = 11 • 23. А где третье число? Добавим единицу: 253 = 1 • 11 • 23. Есть, правда, еще вариант: 253 = 1 • 1 • 253, но он вряд ли возможен. Значит, сыновьям 11 лет и 23 года, а внуку 1 год.
##51. Возьмем для примера Федино число 147. Смотри: 147 147 = 147 000 + 147 = 147 • 1000 + 147 = 147 (1000 + 1) = 147 • 1001. Точно так же можно поступить с любым другим трехзначным числом. Итак: приписать к трехзначному числу справа такое же число — это все равно что умножить это число на 1001. Значит, все полученные шестизначные числа будут делиться на 1001, а число 1001 можно представить так: 1001 = 7 • 11 • 13.
52. Повтори таблицу умножения на 9:
9 • 2 = 18;
9 • 3 = 27;
9 • 4 = 36;
9 • 5 = 45;
9 • 6 = 54;
9 • 7 = 63;
9 • 8 = 72;
9 • 9 = 81.
Обрати внимание, что первая цифра в произведении каждый раз увеличивается на 1, а вторая, напротив — уменьшается на 1. Первое произведение 18, потом 27 (первая цифра стала на 1 больше, вторая — на 1 меньше), потом 36 (снова первая цифра возросла на 1, вторая уменьшилась) и т. д. Ничего удивительного в этом нет. Каждый раз мы к очередному числу (18, 27, 36,) прибавляем 9. А прибавить 9 — это все равно что прибавить 10 и вычесть 1. Прибавляя 10, мы увеличиваем первую цифру, а вычитая 1, уменьшаем вторую.
Теперь мы уже можем разобраться с умножением на пальцах. Когда мы 9 умножаем на 1, то загибаем первый палец. Слева — ни одного пальца, справа 9. Так что ответ 9, все сходится. Если теперь умножать на 2, то, как мы только что установили, первая цифра возрастет на 1, а вторая на 1 уменьшится. Получится 18. Но ведь если загнуть следующий палец, то будет то же самое: количество пальцев слева возрастет на 1, а справа уменьшится. Значит, и с умножением на 2 все сходится. Теперь от 2 переходим к 3 и так далее до 9.
53. В одном кубическом метре, как мы знаем, миллиард кубических миллиметров. В самом деле: в метре 1000 миллиметров, значит, в кубометре будет 1000 • 1000 • 1000 = 1 миллиард кубических миллиметров. Если теперь поставить их один на другой, то высота получится равной миллиарду миллиметров, или (делим на тысячу) миллиону метров, или (еще на тысячу) 1000 километров. Удивительный ответ, не правда ли? Например, если из одного кубического метра железа сделать проволоку толщиной 1 миллиметр, то эта проволока протянется на 1000 километров. То есть от Москвы, например, до Хельсинки!
54. Кубический сантиметр золота весит 20 граммов, а кубический дециметр — 20 килограммов.
55. На одного москвича приходится 100 квадратных метров, или квадрат 10 х 10 метров (всего-то!) Попробуй составить и решить такую же задачу для своего города или района. Для этого надо знать (хотя бы приблизительно) население и площадь. Эти данные можешь спросить у родителей или учителя.
56. Одно яблоко надо отдать девочке вместе с корзиной.
57. На самом деле зеркало и правое с левым не меняет. Оно «делает» симметрию. К сожалению, объяснить подробнее не хватит места, да и завело бы это нас слишком далеко. Попробуй обсудить этот вопрос с учителем математики.
58. В самолете не может быть никакого стоп-крана.
59. Например, петух.
60. Запасное.
61. Ответ: «Потому что не хочет».
Это самая «дурацкая» задача из всех, известных автору. Хотя, ответ, если вдуматься, совершенно правильный.
62. За 1 час поезда сближаются на 70 + 80 = 150 километров. Поэтому за час до встречи они будут на расстоянии 150 километров друг от друга. Ни расстояние между Москвой и Санкт-Петербургом, ни время отправления поездов здесь просто ни при чем!
63. Чтобы оказаться с той же стороны от железной дороги, откуда он начал свой путь, Саше надо пересечь ее четное число раз. Поскольку 5 — нечетное число, ему еще раз надо перейти железную дорогу.
64. По одну сторону, так как оба пересекли железную дорогу четное число раз.
65. Да, кто-то дома обязательно есть, так как дверь хлопала нечетное число раз.
66. Да, застал. Иначе каждый из мальчишек перелезал бы через забор четное число раз (сколько раз туда, столько же и обратно), и общее число «перелезаний» было бы четно. А оно нечетно — 7.
Приложение
Из стихов Гаврилы Привалова (Большинство из этих стихов адресовано совсем маленьким детям, но некоторые могут заинтересовать и Фединых родителей)
Это один