14. Задача Федора Привалова. На сковороде за 4 минуты можно поджарить 1 блин. Имеется двое песочных часов: одни на 5 минут, а другие на 3 минуты. Можно ли, пользуясь лишь этими часами, за 16 минут поджарить 4 блина? А если можно, то как это сделать?
— Пока ответа на вопрос я не знаю. Надеюсь все же, что вскоре общими усилиями мы справимся с этой задачей, — уверенно заключил дедушка.
Этот странный математический завтрак продолжался чуть ли не полтора часа. Когда все четверо поели (кошка Клава получила свою порцию рыбы и молока), Федя помог дедушке убрать со стола и помыть посуду. Нельзя сказать, что дома он регулярно выполнял эту работу, скорее, наоборот, но тут как-то само собой получилось, что он решил помочь дедушке.
Не успели они с дедушкой закончить домашние дела, как с улицы раздался крик:
— Дедушка Гаврила! Дедушка Гаврила! Выйдя на крыльцо, дедушка воскликнул:
— А! Маша-Паша! Чем обязан?
— Дедушка Гаврила! В наш магазин привезли конфеты «Гипотенуза». Ваши любимые.
— Премного благодарен! Непременно куплю! Если есть какие-то проблемы, милости прошу!
Но проблем у Маши-Паши, как видно, не оказалось, и дедушка вернулся один.
— Это Маша и Паша. Брат и сестра. Они близнецы. У них большая семья. Маша говорит, что у нее два брата и две сестры.
15. Сколько братьев и сестер у Паши?
(Д—5, 6.)
Федя понимал, что задачка простая, но все же не мог сразу сообразить. А дедушка тем временем, прервав его размышления, добавил еще одну задачу.
16. Я сказал, что Маша и Паша — близнецы. Но они не двойняшки. Как это может быть?
(Д—7-10.)
Последняя задача совсем озадачила Федю. Он вспомнил близнецов Толю и Колю Каплевых, которые учились в его классе. Они в самом деле были похожи друг на друга как две капли воды.
Учителя их постоянно путали. И близнецы иногда этим пользовались, отвечая друг за друга на уроке. Но в последнее время учителя нашли способ борьбы. Они начали вызывать братьев к доске одновременно. И каждому приходилось отвечать за себя. Но Толя и Коля были двойняшками.
И опять дедушка прервал Федины раздумья:
— Кстати, а ты любишь конфеты «Гипотенуза»?
Оказалось, Федя никогда не пробовал таких конфет, даже не знал, что они бывают. И еще он не понимал значение слова «гипотенуза».
— Ну пусть это пока останется для тебя тайной. Скажу только, что «гипотенуза» имеет отношение к математике. А то, что ты никогда не пробовал этих конфет, немудрено. Они изготавливаются только на нашей районной кондитерской фабрике. Директор фабрики мой бывший ученик. Рецепт конфет дал ему я. Я же узнал его от своего друга Умзара Азума. Я тебе уже говорил о нем. Эти конфеты очень полезны для головы. Раньше я ел их очень много. Теперь приходится себя ограничивать. 1 килограмм я съедаю за 15 дней. Думаю, что тебе потребуется 10 дней, чтобы съесть 1 килограмм.
17. Как ты думаешь, за сколько дней мы с тобой вдвоем съедим 1 кг?
(Д—11–14.)
Дедушка помолчал.
— Похоже эта задача тебе не по зубам. Или, вернее, не по голове. Хотя эти конфеты полезны и для зубов, и для головы. Пока мы будем идти в магазин, я расскажу тебе ее решение. Ты должен не только понять это решение, но и усвоить МЕТОД, которым я буду пользоваться. Это очень важно. Тогда ты сможешь уже самостоятельно решать подобные задачи. Когда же узнаешь много различных методов, то ты научишься не только решать различные интересные задачи, но и придумывать свои методы.
Метод, который я тебе покажу, очень прост. Но часто бывает так: пока не знаешь метода, не представляешь, как и подступиться к задаче. Когда же узнаешь, огорчаешься — это же так просто! Как же я сам не догадался!
Давай подсчитаем, сколько килограммов конфет мы с тобой сможем съесть за 30 дней. Я съем 2 килограмма, ты — 3. Вместе мы с тобой съедим 5 килограммов. Значит, 1 килограмм мы съедим за…
— 6 дней, — обрадованно закричал Федя.
— Правильно. Видишь, как все просто! А почему я взял именно 30 дней, а не 20 или 45?
— А потому, что 30 делится и на 15, и на 10. А 20 делится только на 10, но не на 15. А 45 — наоборот, только на 15, но не на 10.
— Молодец! Назовем этот прием методом «общего кратного». Ведь 30 делится на 15 и 10, то есть является для них общим кратным. Мы могли бы взять вместо 30 и другое общее кратное: 60, 90 и так далее. Но 30 самое удобное. Оно наименьшее. Его так и называют: наименьшее общее кратное чисел 15 и 10. Теперь реши самостоятельно такую старинную задачу.
18. Имеется охапка сена. Лошадь может съесть ее за 2 дня, корова — за 3, а коза — за 6 дней. За сколько дней лошадь, корова и коза вместе съедят эту охапку сена?
Федя с этой задачей справился, хотя и не очень быстро. (А ты?)
— Метод «общего кратного» может быть использован и в других задачах. Вот простой пример.
19. Две черепахи ползут наперегонки. Первая проползает 4 метра за каждые 9 часов, а вторая 5 метров за каждые 11 часов. Какая черепаха ползет быстрее?
Задачу можно решать по-разному. Первый способ: найдем кратное чисел 4 и 5. То есть найдем какое-нибудь число, которое делится и на 4, и на 5. Лучше наименьшее.
— 20!
— Верно! Теперь посмотрим, за какое время каждая из черепах проползет 20 метров. Первая проползет 20 метров за 5 • 9 = 45 часов, а вторая — за 4 • 11 = 44 часа. Какая из черепах ползет быстрее?
— Вторая!
— Верно! Теперь другое решение: найдем наименьшее общее кратное чисел 9 и 11.
— 99!
— Правильно! А давай найдем, сколько метров проползет каждая из черепах за 99 часов. Думаю, ты легко сам доведешь решение до конца.
Глава 4Прогулка в магазин
Прогулка в магазин оказалась долгой, но нескучной. Каждый встречный, ребенок или взрослый, почтительно приветствовал дедушку, интересовался здоровьем, спрашивал совета. И дедушка часто останавливался и подолгу беседовал. А Федя был очень горд: какой уважаемый человек его родной дедушка! И он решил, что когда вырастет, то непременно станет учителем и уедет в деревню.
В магазине была небольшая очередь. Покупатели предложили дедушке подойти без очереди, но он отказался и даже немного обиделся. Встав в конец очереди, дедушка с любопытством стал наблюдать за тем, как идет торговля. Через некоторое время он не выдержал:
— Неужели, чтобы узнать, сколько стоят вместе батон белого хлеба за 4 рубля 60 копеек и буханка черного за 3 рубля 80 копеек, надо пользоваться калькулятором? Ну а ты, Петрова, не можешь сама подсчитать, сколько стоят 250 граммов ирисок, если 1 килограмм стоит 40 рублей? Ты позоришь своего учителя. Раньше один мой друг шутил: «Не математики считают, что математики считают». Он имел в виду, что конечно же математики умеют считать, но не только. Главное же, что математики умеют думать. Сегодня все считают, что считают не математики и вообще — не люди, а калькуляторы. Что такое умножение? А это действие, состоящее в нажатии пальцем кнопки на калькуляторе, на которой нарисован косой крестик.
Сделав покупки, дедушка и внук двинулись в обратную сторону. Дедушка еще долго не мог успокоиться.
— Люди совсем разучились самостоятельно считать. Все переложили на калькуляторы и компьютеры. Даже 10 на 10 перемножают на калькуляторе. Ты, Федор, не обижайся, но мне придется дать тебе специальные задачи по арифметике, примеры, как вы говорите.
По дороге Федор вспомнил свой сон и обратился к дедушке:
— Эту задачу про 7 яблок и 12 мальчиков я решил. Помогла твоя подсказка. 3 • 4 = 12. Сначала 3 яблока делим между 12 мальчиками. Для этого надо каждое яблоко разрезать на 4 части. Потом 4 яблока делим между этими же мальчиками. Для этого каждое яблоко режем на 3 равные части. Вот и все! Но ведь яблоки же все разные! И, значит, мы разделили не поровну и не по справедливости.
— Тут ты попал в самую точку. Решая подобные задачи, мы подразумеваем «математические» яблоки. Считаем их все совершенно одинаковыми. В жизни так не бывает. Да и точно разделить яблоко на равные части мы не умеем.
Как делить: поровну или по справедливости? И что значит разделить по справедливости? Помнишь, как Карлсон делил с Малышом плюшки или варенье. Он делил явно не поровну, хотя и говорил: «Делим поровну!» Но Малыш не обижался. Поэтому можно считать, что Карлсон делил по справедливости. Малыш очень любил Карлсона, а Карлсон любил Малыша и сладости. А Малыш к сладкому был равнодушен. Значит, все было по справедливости.
А вот представь себе, что два человека купили на двоих один пирог. Они одинаково голодны и хотят разделить пирог поровну. Как это сделать? Если будет делить один из них, то другой непременно подумает, что ему досталась меньшая часть. А как разделить пирог, чтобы оба остались довольны?
Можно поступить следующим образом. Пусть сначала один из них делит пирог на две равные, по его мнению, части. Это означает, что он готов взять любую из этих частей. Ведь он сам делил! Теперь второй пусть выбирает любой кусок. Тогда первому остается другой кусок. Так можно разделить пирог или что-то другое между двумя людьми. Хотя, честно говоря, первым быть все-таки невыгодно.
Тут дедушка остановился. Его внимание привлекла куча кирпичей, лежащих около изгороди. Взяв один кирпич, он сказал:
— Смотри, задачи возникают на каждом шагу, «валяются» на дороге. Надо только уметь видеть. Это кирпич. Математики говорят, что кирпич имеет форму параллелепипеда.
Затем дедушка вынул из кармана рулетку. (Поясняем: рулетка — это такой простейший инструмент, с помощью которого можно мерить небольшие расстояния, до десяти метров. Обычно рулетка — это просто свернутая металлическая лента с делениями в специальной коробочке.) Вот задание.