Однажды Федя поинтересовался:
— А ты все эти задачи из собственной головы выдумываешь? Ведь это, наверное, очень трудно?
— Ну, не всегда из собственной головы, бывает, что и из чужой, — ответил дедушка и добавил: — Да, ты прав, выдумывать из головы — дело не очень простое. Но из коленки выдумывать было бы гораздо труднее.
В этот день как раз шел дождь, который дедушка предсказал еще накануне. Он так и сказал вчера: «Поскольку погода сегодня гораздо лучше, чем завтра, надо подготовить для тебя задачки по арифметике». Вот задачи, которые Федя решал в этот дождливый завтрашний день.
34. На рисунках 2 и 3 отмечены точки, и около них поставлены числа. Соедини на рисунке 2 четные числа, а на рисунке 3 — числа, которые делятся на 5, прямыми линиями, точнее, отрезками прямых, в порядке возрастания. Получатся интересные рисунки.
Рис. 2
Рис. 3
35. Ты видишь на рисунке 4 много заданий на сложение и вычитание. Делать их надо одно за другим, постепенно заполняя пустые прямоугольники. Если ты встретишь пару прямоугольников, соединенных стрелкой, то надо во втором прямоугольнике, куда ведет стрелка, поставить то же самое число, что и в первом прямоугольнике. Если ты все сделаешь правильно, то в последнем прямоугольнике получится число 100.
Рис. 4
36. Расставь скобки так, чтобы получилось наибольшее число, и так, чтобы получилось наименьшее число:
а) 31 — 13 + 7 — 5 + 1 = …, 31 — 13 + 7 — 5 + 1 = …;
б) 31 — 13 — 7 — 5 — 1 = …, 31 — 13 — 7 — 5 — 1 = ….
37. Поставь в кружках (рис. 5) числа 1, 7, 9, 14, 15 и 22 так, чтобы суммы троек чисел на каждой стороне треугольника были равными.
Рис. 5
38. Поставь числа в пустых клетках (рис. 6) так, чтобы суммы любых трех чисел, идущих подряд, были бы одинаковыми.
Рис. 6
39. Вычисли:
100 — 1 = …;
100 — (100 — 1) = …;
100 — (100 — (100 — 1)) = …;
100 — (100 — (100 — (100 — 1))) = ….
Можешь ли ты теперь сообразить и быстро сказать, чему равно такое выражение 100 — (100 — (100 — (100 — … — 1))…), в котором число 100 встречается 100 раз?
40. Вычисли устно, найдя удобный способ:
а) 38 + 19 — 37 + 21 — 18 — 20 = …;
б) (2 + 4 + 6 + … + 100) — (1 + 3 + 5 + … + 99) = ….
41. На рисунке 7 изображена фигура, составленная из различных квадратов. У некоторых указаны длины сторон. Сторона самого маленького черного квадрата равна 1. Надо найти длины сторон каждого из квадратов.
Рис. 7
42. Найди сумму: 17 + 19 + 24 + 15 + 12 =….
А теперь постарайся, используя полученный результат, побыстрее найти суммы:
18 + 20 + 24 + 16 + 13 = …;
16 + 18 + 22 + 15 + 11 = …;
19 + 21 + 25 + 17 + 14 = …;
19 + 20 + 25 + 16 + 13 = …;
20 + 21 + 26 + 17 + 15 =…;
21 + 22 + 27 + 18 + 16 =….
43. Вычисли значения выражений. Постарайся сделать это быстрым и удобным способом:
7 + 7 — 7 + 7 + 7 — 7 — 7 + 7 + 7 — 7 = 3 + 4 + 4 — 3 + 4 + 3 + 3 — 4 — 3 — 4 = 127 + 139 + 127 + 139 — 127 — 139 — 127 + 139 — 139 — 139 =….
44. Найди суммы, переставляя слагаемые и объединяя их в пары удобным для сложения образом:
13 + 12 + 27 + 19 + 18 + 11 =…; 3 + 13 + 27 + 7 + 17 + 23 =…; 24 + 11 + 19 + 17 + 16 + 4 =….
Одним из самых великих математиков в истории человечества был немецкий ученый Карл Фридрих Гаусс, живший в XIX столетии. Рассказывают, что, когда ему было 10 лет и он учился в школе, учитель дал ученикам его класса задание:
45. Найти сумму всех целых чисел от 1 до 100.
(Д—18, 19, 20.)
Учитель надеялся, что такое вычисление займет у детей целый урок, и он сможет отдохнуть. Но, к его огорчению и удивлению, маленький Гаусс быстро справился с этой задачей. Он сумел правильно объединить числа в пары. Я думаю, что ты также сможешь найти нужную сумму. Но не надо считать себя таким уж великим, чуть ли не равным Гауссу. Маленький Гаусс самостоятельно нашел нужный метод. Тебе же была дана подсказка.
Глава 7Прогулки
Особенно любил Федя прогулки с дедушкой. Иногда они гуляли просто так, ходили в лес, рассматривали окрестности. Иногда их прогулки имели вполне определенную цель: дедушке надо было зайти на почту или, как в первый день, в магазин. Обычно прогулки превращались в настоящий и очень интересный урок. Дедушка даже придумал специальное название таким прогулкам. Вот как это случилось.
Как-то раз, когда они направлялись на почту, ему встретился старый друг Моцарт Савельевич, который гулял со своей красавицей Земфирой. Земфира была колли. (Колли — это такая порода собак.) Как заметил ее хозяин, Земфира очень любит сосиски и детей. И она сразу же подружилась с Федей.
Дедушка очень обрадовался встрече со своим другом.
— Все молодеешь, Моцарт! Ты же мой ровесник, а у тебя ни одного седого волоса.
Федор внимательно посмотрел на Моцарта Савельевича и убедился, что дедушка совершенно прав. Вернее, как всегда, совершенно прав.
Моцарт Савельевич был абсолютно лыс. Голова его была похожа на электрическую лампочку. Она даже ярко сияла на солнце. Босые ноги подчеркивали справедливость того, что сказал дедушка. Ведь босиком любят ходить мальчишки, а не старые почтенные люди.
— А ты, Гаврила, похоже, вообще впал в детство и уже ни с кем, кроме детей, не встречаешься. Помнится, ты обещал прочитать для нас, стариков, лекцию по арифметике, про какую-то великую теорему Ферма. А я тут, кстати, придумал одну задачку. Не для тебя, конечно, а для твоего внучка.
46. Мне, чтобы отсюда дойти до дома, требуется 10 минут, Земфире же, если она сразу побежит домой, — 1 минута. Но все дело в том, что, как только я скомандую «Домой!», Земфира начинает носиться от меня до дома, затем обратно ко мне, потом снова до дома и так до тех пор, пока я не дойду до дома. Я знаю, что расстояние от этого места до моего дома 440 метров. Спрашивается: какое расстояние в сумме пробежит Земфира?
(Д—21.)
Между прочим Земфира необычайно умная собака и большая чистюля. Она всегда моет свою миску после еды. Но иногда отвлекается. Кто-то залает на улице. Или что-то другое. Тогда я также командую: «Домой!» И она прекрасно различает обе эти команды.
Дедушка поблагодарил за задачу, сказал, что помнит о своем обещании. И они с Федором продолжили прогулку.
— Запомнил задачу? Мне кажется, ты с ней справишься. А Моцарт Савельевич очень интересный человек. Как ты, наверное, догадался, он сапожник. В нашей деревне никто не покупает ботинок. Все носят сшитую им обувь, естественно, кроме него самого. Еще он изобретатель, садовод и прекрасный музыкант. Каждый вечер он играет на флейте для своих цветов.
Оказывается, цветы лучше растут, если регулярно слушают классическую музыку. Надо непременно сходить к нему в гости. Смотри, как забавно, Моцарт прогуливает собаку, а мы с тобой, можно сказать, прогуливаем уроки.
С тех пор они так и говорили: «А не пойти ли нам прогулять уроки?»
На почте у дедушки было три дела. Во-первых, получить почту, во-вторых, получить пенсию и, в-третьих, отправить телеграмму. Вообще говоря, получать почту и пенсию дедушка мог бы и у себя дома. Но ему нравилось самому ходить на почту. Это было интереснее. Да и зачем утруждать почтальона, у которого и так всегда много работы.
Как всегда, на дедушкино имя пришло много писем. Большинство писем было от бывших учеников, которые спрашивали у своего учителя совета, рассказывали об успехах. Один из учеников, ставший известным геологом, писал, что благодаря дедушкиным урокам он и сейчас очень любит в свободное время заниматься математикой. Особенно геометрией. И даже сам сочиняет задачи. Некоторые из его задач опубликованы в журнале «Квант». (Есть такой очень хороший журнал для детей, увлекающихся математикой и физикой. В нем имеется специальный раздел для младших школьников.) Письмо этого ученика дедушка сразу прочитал и тут же предложил Феде решить одну из задач. Эта задача была как раз из раздела для младших школьников журнала «Квант».
47. На плоскости нарисованы квадрат и круг (рис. 8). Как одной прямой разделить каждую из этих фигур на две равные части?
Рис. 8
При выдаче пенсии дедушке напомнили, что ему надо зайти в поликлинику и пройти переосвидетельствование. И после этого ему увеличат пенсию на целых. Впрочем, не будем уточнять на сколько. Дедушка даже рассмеялся:
— Какая-то дикость. Зачем? Что могло измениться за последнее время? Хотя, пожалуй, все верно. Вдруг за это время я стал намного здоровее. И на самом деле мне положено не увеличивать пенсию, а вовсе даже наоборот. Кстати, — обратился он к Федору, — ты заметил, какое красивое слово переосвидетельствование? Просто поэма! Это самое длинное слово в русском языке. Я, конечно, не имею в виду всякие придуманные слова, вроде гидрометопромпроф… Подсчитай-ка, сколько в нем букв. А самым длинным словом, в котором все буквы разные, будет разгильдяйство. Я очень рад, что к тебе оно не относится. Правда, слово четырехугольник на одну букву длиннее. Но оно все-таки хоть и немного, но составное. Да и буквы Е и Ё иногда не различают. Слово дикость тоже интересное. В нем все буквы следуют в алфавитном порядке. Хотя, конечно, и не подряд. Более длинного слова с таким свойством я не знаю.
А ты хорошо знаешь русский алфавит? — спросил дедушка Федора. — Сколько в нем букв?