Чит, ясное дело, спросил, почему такой непорядок? Оказалось, тренер готовит «Паскаликов» к международному матчу и проверяет, какое сочетание игроков самое боеспособное. Для этого ему, видите ли, необходимо перепробовать все возможные сочетания из восьми пó три. Таких сочетаний оказалось немало, но Чит их, конечно, не запомнил, потому что следил за игрой. А тут ещё тренер «Ферматиков» тоже искал наилучшее сочетание. Но уже не нападающих, а защитников. Их в команде было шесть, а на поле, как и положено, постоянно находилась одна пара, зато каждый раз составленная из других номеров.
Когда матч окончился, Читу загорелось узнать, сколько раз сменялись нападающие у паскаликов и защитники у ферматиков.
Он ринулся было вслед за хоккеистами, чтобы расспросить их, а заодно получить автографы, но Ари сказала, что брать автографы не обязательно, а сосчитать, сколько было перемен, можно и самому. Чит стал перебирать варианты троек нападающих, но скоро запутался, разворчался и заявил, что у него от сочетаний голова распухла. Но Ари опять-таки сказала, что это не от сочетаний, а оттого, что он не знает правила, и нарисовала в блокноте ряд из восьми хоккеистов с номерами от единицы до восьмёрки.
— Нам нужно получить все возможные сочетания из восьми по три, — начала она. — Для этого отсчитаем три номера слева (1,2,3) и три справа (8,7,6). Теперь перемножим числа каждой тройки и разделим произведение правой на произведение левой: (8 × 7 × 6)/(1 × 2 × 3) = 56. Вот тебе и число сочетаний из восьми пó три.
Это было так просто, что с числом сочетаний из шести по два Чит сладил сам. Он нарисовал шесть хоккеистов с номерами от единицы до шестёрки, отсчитал два номера слева (1,2), два справа (6,5), перемножил и разделил, что положено, и получил вот что: (6 × 5)/(1 × 2) = 15.
Совершив этот подвиг, он пожелал узнать, кто придумал такое расчудесное правило? Оказалось, сразу двое. Два французских математика: Блез Паскáль и Пьер Фермá. Причём каждый сам по себе и в одно и то же время.
Теперь стало ясно, отчего команды называются «Паскаликами» и «Ферматиками». Куда труднее было понять, каким образом одно и то же правило пришло в голову одновременно двум незнакомым людям. Но Ари сказала, что не такие уж они незнакомые. Положим, встречаться им и впрямь не приходилось. Но жили они в одни и те же годы XVII века, интересовались одними и теми же математическими вопросами и не раз обменивались мнениями в письмах. Долго ли тут додуматься до одного и того же? Так что случайностью это не назовёшь! Хотя занимались Ферма и Паскаль именно наукой о случайностях…
— Теорией вероятностей? — вспомнил Чит.
— Да, той самой, с которой ты познакомился на остановке «Жребий».
— А сочетания при чём?
— Видишь ли, сочетаниями занимается комбинаторика — есть такой важный раздел математики. А комбинаторика в тесной дружбе с теорией вероятностей. Ведь если разобраться, чего добивались тренеры в нынешнем матче? Искали наиболее, удачное сочетание нападающих и защитников. А для чего? Чтобы повысить вероятность выигрыша. Следовательно, вероятность удачи зависит от того, насколько удачно скомбинированы игроки. Улавливаешь связь?
Чит важно кивнул. Он чувствовал себя необыкновенно образованным! Теперь ему ничего не стоит вычислить любое число сочетаний… Но Ари — ох уж эта Ари! — неожиданно объявила, что всё уже вычислено заранее, и достала из кармана листок с числами, выстроенными треугольником.
— Видишь этот числовой треугольник? Так вот, любое число в нём есть какое-нибудь число сочетаний.
— Но ведь в этом треугольнике всего десять строк, — сказал Чит, взглянув на номер нижней строки.
— Одиннадцать, — поправила Ари. — Первая строчка нулевая, так же как и первый слева наклонный ряд единиц.
— Пусть нулевая, — упрямо боднул головой Чит. — Но самое большое число здесь 252. А если мне понадобится большее?
— Подумаешь! Возьмёшь да продолжишь треугольник на столько строк, сколько потребуется. Это совсем не трудно: каждое число в строке равно сумме двух чисел предыдущей строки, между которыми оно расположено. Так, число 21 в строке № 7 равно сумме чисел 6 и 15 из строки № 6. Ясно?
— Ясно. Но ты не сказала, как искать нужное число сочетаний в этом треугольнике.
— Спасибо, что напомнил. Возьмём, к примеру, всё то же число сочетаний из восьми пó три. Чтобы найти его, достаточно заглянуть в строку № 8 и отсчитать четвёртое число слева (помня, что первое число слева нулевое). А это, как видишь, и есть 56.
— Любопытно.
— Это что! В треугольнике Паскаля любопытных свойств много. А я познакомила тебя только с одним, хотя и самым главным…
— А почему ты называешь этот треугольник именем Паскаля?
— Потому что именно Блез Паскаль исследовал его свойства. Но на подробное знакомство с ними в первом маршруте, к сожалению, времени не отпущено. Так что потерпи до другого раза.
так называлась следующая остановка, и Чит всё гадал, что там уравнивают? Паркет? Асфальт? Или песок на дорожках? Но то, что здесь тянут канат, ему и в голову не приходило.
На ярко-зелёном газоне собрались две стайки чисел — одни в белых, другие в пёстрых, полосатых майках, за что Чит немедленно окрестил их белопузиками и полосатиками. Тут же околачивалось несколько Плюсов и двое судей: знак Равенства и знак Больше-Меньше, очень, кстати, похожий на рогатку без ручки.
Сперва мерялись силами белопузики Тройка и Пятёрка и полосатики Двойка и Семёрка. Перетянули полосатики, после чего участники состязания выстроились в ряд и вместе с Плюсами и судьёй Больше-Меньше образовали такое выражение: 2 + 7 > 3 + 5.
Потом тянули кота… то есть канат за хвост целая куча белопузиков — Единица, Двойка, Тройка, Четвёрка, Пятёрка и Шестёрка и один-единственный полосатик Двадцать Пять, который тем не менее пересилил. На сей раз Больше-Меньше услужливо поворотил свою рогатку вправо, раструбом к победителю; и Чит, подсчитав сумму белопузиков, с удовольствием отметил, что судья честен и справедлив: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 < 25.
Следующий результат был ничейным, потому что сумма белопузиков и сумма полосатиков оказались одинаковыми. Наверное, поэтому игру судил не Больше-Меньше, а знак Равенства, который весьма убедительно доказал, что 3 + 7 + 5 = 6 + 9.
— Так это и есть уравнение? — спросил Чит.
— Пока что только равенство, — возразила Ари.
— Можно подумать, равенство и уравнение — не одно и то же!
— Уж конечно. Всякое уравнение — равенство, да не всякое равенство — уравнение. В уравнении непременно есть какое-нибудь неизвестное, которое надо сделать известным. Это и значит решить уравнение…
— Погоди, Ари, — возбуждённо перебил Чит, указывая на новую группу соревнующихся, — что тут делает буква «ха»?
Но оказалось, что никакое это не «ха», а латинское «икс» — одна из тех букв, которыми принято обозначать неизвестное число в уравнении.
«Эге! Стало быть, уравнение не за горами», — подумал Чит.
Теперь за канат ухватились с одной стороны белопузики Икс и Пятёрка, с другой — солидное полосатое Двенадцать. Тянули они, надо сказать, на совесть, даже покраснели от натуги. Только зря: партия всё равно окончилась вничью. Но с этой минуты всё пошло не так, как прежде. Кто-то из полосатиков крикнул:
— Пятёрку с поля долой!
— Долой, долой! — подхватили остальные полосатики.
Но белопузики заявили, что уберут Пятёрку только в том случае, если и полосатики выставят бойца на пять единиц меньше.
После недолгого совещания судьи решили вопрос в пользу белопузиков. И вот один конец каната держит Икс, а другой — Семёрка. Канат, впрочем, с места не сдвинулся, и все поняли, что x = 7.
Чит хлопал так, что чуть ладони не отбил. Очень уж ему понравилось, как просто решаются уравнения. Но Ари сказала, что в этом вопросе не мешает разобраться получше, и отвела его в сторонку. Потом она вынула блокнот, написала «x + 5 = 12» и приступила к объяснениям.
— Перед нами уравнение с одним неизвестным. Как его решить? Прежде всего, оставим икс в одиночестве или, как говорят математики, уединим его по одну сторону равенства. В нашем уравнении для этого достаточно уменьшить обе части равенства на 5, отчего равенство, естественно, не нарушится. Итак, что же у нас получится? x + 5 – 5 = 12 – 5. Но пять минус пять, как известно, равно нулю. Таким образом, в левой части равенства остаётся только икс, а в правой — двенадцать минус пять, что равно семи. Теперь ясно, что вычитать одно и то же число из обеих частей равенства вовсе ни к чему. Достаточно перенести пятёрку из левой части в правую, но с обратным знаком: x + 5 = 12; x = 12 – 5. Вот так и решаются уравнения первой степени.
— А есть и второй?
— И второй, и выше. Но говорить о них пока рано.
— Вечная история! — надулся Чит. — А о том, что такое вообще уравнение, говорить не рано?
— В самый раз. Уравнение — математическая запись любой словесной задачи, в которой надо вычислить неизвестное.
— Выходит, прежде чем решать уравнение, надо его ещё и составить?
— Непременно. Иначе нечего будет решать. Возьмём такую задачу. Команда белопузиков вдвое больше команды полосатиков. Если число белопузиков уменьшить на десять, а число полосатиков увеличить на пять, численность обеих команд станет одинаковой. Сколько участников в каждой команде?
Ари взглянула на Чита, но так как никаких сообщений от него, судя по всему, не ожидалось, продолжала:
— Прежде всего что примем за икс? Какое из двух неизвестных: число белопузиков или полосатиков? Удобнее, пожалуй, полосатиков — их меньше. Тогда белопузиков — 2x: ведь их вдвое больше! Чтобы уравнять обе команды, по условию следует от 2x отнять 10, а к иксу прибавить 5. Вот тебе и уравнение: 2x – 10 = x + 5. Остаётся решить его. Для этого…
— Нет, нет, я сам! — расхрабрился Чит. — Прежде всего уединим иксы. Для этого икс из правой части перенесём в левую с обратным знаком, то есть с минусом, а минус 10 из левой части в правую со знаком плюс. Выходит,