Тут было над чем поразмыслить, и Чит хотел продолжать, но Ари спросила: уж не собирается ли он перепробовать все 24 перестановки?
— Почём ты знаешь, что их 24? — подозрительно спросил он.
— Потому что в этом предложении четыре слова. А вычислить число перестановок, или, как это называется, факториáл четырёх, — сущие пустяки. Надо перемножить натуральные числа от единицы до четвёрки. Факториал, кстати, обозначается восклицательным знаком. И выглядит это так: 4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24.
— А если в предложении десять слов?
— Тогда надо найти факториал десяти, то есть перемножить все числа от единицы до десяти. Причём получится… — Ари пошевелила губами, — получится три миллиона шестьсот двадцать восемь тысяч восемьсот перестановок.
После этого становиться писателем Читу вдруг расхотелось. Лучше уж быть математиком! Как-никак перемножить числа от единицы до десяти легче, чем отобрать один вариант предложения из трёх с половиной миллионов…
— Математиком так математиком, — согласилась Ари. — Но тогда надо тебе знать, что перестановки, так же как и сочетания, с которыми ты уже знаком, — один из видов соединений, которыми ведает комбинаторика. Только, в отличие от сочетаний, в каждой перестановке участвуют все элементы разом — будь то числа, предметы или слова. И обязательно в новом, ином порядке.
Чит подумал было, что перестановки используются главным образом в писательском деле. Но Ари лишь посмеялась. По её словам, перестановки играют не последнюю роль в теории вероятностей: ведь её с комбинаторикой водой не разольёшь! Но здесь, пожалуй, самое время поговорить о шифре.
— Наконец-то! — ликовал Чит. — Сейчас пойдут шпионские истории.
Но Ари сказала, что шпионских историй он, поди, и так слышал больше, чем следует. Наверняка знает он и о том, что шифр — условный, чаще всего цифровой язык, которым пользуются тогда, когда хотят что-нибудь основательно засекретить. О том, что придумать шифр всё-таки легче, чем расшифровать, можно тоже не упоминать…
— Зачем тогда вообще было приходить на эту станцию, если про шифр я и так всё знаю? — вскипел Чит.
— Только затем, что поиски ключа к шифру нередко связаны с перестановками, — спокойно объяснила Ари и подвела его к двери, на которой было шесть клавиш с цифрами от единицы до шестёрки.
Дверь, как выяснилось, ведёт на следующую остановку и откроется лишь в том случае, если Чит нажмёт все шесть клавиш в определённом, зашифрованном порядке. Конечно же, ничего из этого не вышло: Чит быстренько вычислил факториал шести (6! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 = 720) и, узнав, что ему предстоит сделать 720 перестановок, сдался без боя.
Но тут ему пришла в голову гениальная идея. Теперь он знает, что сделает, если Галка Трёпикова снова вздумает клянчить у него номер телефона. Назовёт ей семь цифр своего номера, да не в том порядке. Пусть ищет правильный!
— Но ведь это же 5040 перестановок и 35 280 поворотов диска! — ужаснулась Ари.
— Тем лучше, — сказал Чит непреклонно. — По крайней мере отучится трещать по телефону часами.
Как и надо было ожидать, дверь на следующую остановку открылась и без вмешательства Чита — недаром тут была Ари! Но ничего интересного за ней не оказалось, если не считать классной доски. Впрочем, для решения задач, отложенных до «Щ», больше ничего и не требовалось!
— Начнём с начала, — сказала Ари и напомнила условие первой задачи. — По плану на остановке «Дробные числа» мы должны были пробыть полчаса, а пробыли 5/6 этого времени. Сколько времени осталось у тебя на решение этой задачи?
— Не знаю, — хмуро пробурчал Чит.
— Зато я знаю, почему ты этого не знаешь. Потому что обращаться с дробями ещё не умеешь, а способ решения выбрал как раз такой, где без этого не обойтись. Ты искал 5/6 от 1/2. Верно?
— Угу, — кивнул он.
— Но для этого надо 1/2 сперва разделить на 6, а потом умножить на 5. Куда проще перевести полчаса в минуты, что составляет 30 минут, а потом найти 1/6 от тридцати, что, само собой, равно пяти.
— В общем, на решение у меня было 5 минут, — сказал Чит.
— Ровно в пять раз больше, чем требовалось, — съязвила Ари.
Но Чит сделал вид, что не слышит: он уже расшифровывал запись 568 в десятичной и шестидесятеричной системах счисления. Трудился он, надо сказать, с удовольствием и долго любовался потом своими каракулями:
«1) 568 в дес. сист. сч: 5 × 102 + 6 × 101 + 8 × 100 = 568
2) 568 в шест. сист. сч: 5 × 602 + 6 × 601 + 8 × 600 = 5 × 3600 + 6 × 60 + 8 = 18 368».
Потом он вспомнил о двоичной системе и расшифровал запись 11001:
11001 = 1 × 24 + 1 × 23 + 0 × 22 + 0 × 21 + 1 × 20 = 1 × 16 + 1 × 8 + 0 × 4 + 0 × 2 + 1 × 1 = 25.
Будь его воля, он расшифровывал бы до утра, но Ари напомнила ему про магический квадрат и вычертила первую читову расстановку.
— Помнится, поначалу ты расставил числа именно так, но увидел, что ошибся, и сразу перешёл к новому варианту. А жаль! Не мешало бы посмотреть, нет ли здесь хоть одного столбца, строки или диагонали, где сумма чисел правильная: 15.
— Тогда я ещё не знал, какая сумма правильная, — огрызнулся он.
— Но теперь-то знаешь! Вот и взгляни ещё разок.
Оказалось, сумма 15 есть и в обеих диагоналях: 7 + 5 + 3 и 1 + 5 + 9, и в среднем столбце: 2 + 5 + 8, и в средней строке: 4 + 5 + 6, и Ари сказала, что разъединять эти числа ни в коем случае не следует.
— Но ведь два столбца и две строки всё равно остались неулаженными. Как же быть? — недоумевал Чит.
— Давай передвинем числа по ходу часовой стрелки. Хотя бы на одну клетку. Что получим?
— Ничего хорошего, — вздохнул он, взглянув на новый чертёж.
— Но и ничего плохого, — возразила Ари. — Сумма 15 осталась нетронутой и по диагоналям, и в среднем столбце, и в средней строке. Значит, числа в них по-прежнему разъединять негоже. Но что мешает нам поменять некоторые из них местами? Вот хоть крайние числа каждой диагонали. Двойку с восьмёркой и шестёрку с четвёркой.
— Смотри-ка! — обрадовался Чит. — Теперь и вправду всё уладилось. Слушай, а если поменять местами крайние числа среднего столбца и средней строки? Семёрку с тройкой и единицу с девяткой?
Он вычертил новый квадрат, и всё опять сошлось! Тогда ему загорелось повозиться с магическим квадратом из шестнадцати клеток. Но Ари сказала, что этим пусть займётся дома, а здесь за ним ещё один должок числится, хотя и пустяковый: возвести в пятую степень число 4 и извлечь корень третьей степени из ста двадцати пяти.
Ну, с возведением он справился довольно быстро и тогда только оценил доброту Ари: не отложи она решение до «Щ», лезть бы ему на тысяча двадцать четвёртую перекладину: 45 = 1024. Хуже обстояло дело с извлечением корня. Чит никак не мог догадаться, какое число надо возвести в третью степень, чтобы получить 125, но Ари подсказала ему верную примету: когда подкоренное число оканчивается пятёркой, то пятёркой же оканчивается и его корень. Если только корень — число рациональное. Оставалось перебрать числа с окончанием на 5. Впрочем, долго перебирать не пришлось, потому что подошла первая же пятёрка: .
Больше на «Щ» делать было нечего, но напоследок Чит сыскал-таки себе ещё одно дельце и написал на доске: «Ща — остановка щастливая!»
— Безусловно, — ухмыльнулась Ари, прочитав надпись, — но не для тех, кто пишет «счастье» через «щ»…
Название остановки сулило ещё одну экскурсию в Древнюю Грецию: как-никак Эратосфéн — древнегреческий учёный! Чит вычитал это в папиной энциклопедии, которую иногда перелистывал. Перелистывал он, надо сказать, замечательно: аккуратно, а главное — быстро. Правда, много таким способом не начитаешь, и об Эратосфене Чит знал только то, что жил он в III веке до нашей эры.
Но недостаток знаний не так уж плох, как думают некоторые. Когда знаешь мало, всегда услышишь что-нибудь новенькое. Хотя бы то, что Эратосфен Кирéнский был необычайно разносторонним человеком. Он известен не только как одарённый математик, но и механик, географ, историк, мыслитель, филолог, даже поэт. В каждой из этих областей Эратосфен сказал своё веское слово. И пусть нельзя назвать его самым гениальным учёным того времени, зато самым знающим — наверняка.
Научное наследство Эратосфена велико и разнообразно. Но перелистывать его на манер Чита Ари наотрез отказалась. В самом деле, стоит ли пытаться объять необъятное? Не лучше ли поговорить о чём-нибудь одном, притом связанном с числами? Допустим, об Эратосфене и о простых числах!
— А что их связывает? — сейчас же прилип Чит.
— То, что Эратосфен нашёл способ отделять простые числа от сложных, составных.
После этого Читу пришлось срочно выяснять, какая разница между числами простыми и составными. Оказывается, простые делятся без остатка только на себя самих да на единицу, в то время как составные — ещё и на другие натуральные числа. 17 — простое число: оно ни на что, кроме себя и единицы, не делится. А 18, кроме того, делится и на 2, и на 3, и на 6, и на 9. Значит, это число составное. Но каким всё-таки образом Эратосфен их отделял?
— Просеивал, — сказала Ари. — Сквозь решето.
Ну и дела! Числа просеивают?! Как муку? Но Ари пояснила, что «решето Эратосфена» — выражение образное, иносказательное. Хотя поначалу способ этот походил на решето и в прямом смысле. Написав на покрытой воском дощечке ряд натуральных чисел, Эратосфен протыкал острой палочкой составные, и вскоре дощечка покрывалась проколами, хотя и не сквозными.
Тут Ари нажала какую-то кнопку, и Чит, который всё время ждал, когда появится Древняя Греция, увидел вполне современный дом, но такой высокий, что верхушка его терялась где-то в небе. В каждом этаже у него насчитывалось по десяти окон. Все они были перенумерованы, начиная с нижнего этажа, и ярко освещены. Только на первом этаже вместо крайнего левого окна было гладкое место, и первое окно значилось сразу под номером 2.