— Ну и что же? Отдалённость и отвлечённость — понятия разные. Что звёзды, что планеты — в том числе и наша Земля — всё это природа, всё тела естественные. И, стало быть, астрономия — наука главным образом естественная. А в том, что она одновременно и точная, это уж моя заслуга. — Ари перевела дух и продолжала: — Между прочим, знаешь ли ты, что самые древние на земле числа появились как раз потому, что людям понадобилось сосчитать созданное природой: плоды, деревья, домашних животных, звериные шкуры… Не спроста числа эти называют натуральными, то есть природными.
— Натуральные числа… Да ведь я о них знаю! — обрадовался Чит. — Это 1, 2, 3, 4, 5, 6 и так далее, без конца…
— Именно, без конца! — подхватила Ари. — В натуральном ряду чисел каждое последующее число больше предыдущего на единицу. А какое огромное число ни возьми, его всегда можно сделать на единицу больше, так ведь? Вот и получается, что натуральный ряд бесконечен.
— Любопытно! Начало есть…
— А конца нет! Но о бесконечности поговорим на следующей остановке —
И сразу в лицо им ударил свет, да такой ослепительный, что Чит ахнул и зажмурился. А когда открыл глаза, ахнул снова — от изумления.
То, что он увидел, очень напоминало муравейник. Но, не в пример обычному, это был муравейник огромный, прямо-таки гигантский, сделанный к тому же из очень чистого, очень прозрачного стекла, так что всё его сложное, запутанное нутро просматривалось насквозь. Да, муравейник просматривался насквозь, и всё-таки нельзя было сказать, что видишь его целиком: он был для этого слишком необъятен. Разбегались во все стороны несметные вереницы стеклянных комнат, растворялись где-то в белёсой дали нескончаемые ручейки-коридоры. Но откуда они текут? Где иссякают? Разобраться в этом не было никакой возможности.
— Так вот как выглядит бесконечность! — зачарованно выдохнул Чит.
— Да, похоже, — согласилась Ари. — Ни конца, ни начала. Правда, то, что ты видишь, — это всего-навсего общий вид лабиринта чисел. И всё-таки наиболее наглядное представление о бесконечности ты получишь именно здесь. Ведь числам тоже нет конца!
— Зато у них есть начало, — неожиданно возразил Чит. — А ты сама только что сказала, что у бесконечности его нет.
— Поймал меня на слове? Молодец. В натуральном ряду чисел начало и впрямь имеется: единица.
— Ты говоришь так, будто есть ещё какие-то другие ряды, ненатуральные, — съязвил он.
Но Ари спокойно подтвердила, что другие ряды, безусловно, найдутся. В том числе и такие, где нет не только конца, но и начала.
— Хотел бы я на них посмотреть! — недоверчиво усмехнулся Чит.
— Нет ничего проще. Возьмём единицу и умножим её на два. Получим 2. Двойку снова умножим на два…
— Получим 4.
— Четыре, в свою очередь, удвоим опять. И так будем удваивать каждое вновь полученное число. Вот тебе и другой, не натуральный, но тоже бесконечный ряд чисел, где каждое последующее число вдвое больше предыдущего: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64…
— Хорошо, — согласился Чит, — пусть ряд не натуральный. Но ведь начало у него всё равно есть: единица.
— Пока что начало есть, но сейчас оно исчезнет, — весело пообещала Ари. — Итак, мы получили бесконечно возрастающий ряд чисел, где каждое последующее число вдвое больше предыдущего. Теперь подумай: можем мы перевернуть это определение и сказать, что каждое предыдущее число этого ряда вдвое меньше последующего?
— Ну, можем, — милостиво разрешил Чит. — Что в лоб, что по лбу.
— Вот и пройдёмся по этому ряду в обратном направлении. Начнём, скажем, с четырёх. Четыре вдвое меньше восьми, двойка вдвое меньше четырёх, единица вдвое меньше двух…
— Стоп! — крикнул Чит. — Дальше единицы ехать некуда.
— С чего ты взял? Разве нельзя и единицу разделить на два? А половину её опять на два? А новую половину снова на два… И так опять-таки до бесконечности. Вот мы и получили числовой ряд без конца и без начала. Ведь как нет такого БОЛЬШОГО числа, которое нельзя увеличить вдвое, так нет и такого МАЛОГО, которое нельзя вдвое уменьшить.
— Твоя взяла! — сдался Чит. — Этот ряд и впрямь без конца и без начала. Но уж середина у него есть наверняка: единица.
— Почему ты решил?
— Потому что по обе стороны единицы расположено одинаково бесконечное количество чисел.
— Допустим. Но разве нельзя сказать, что одинаково бесконечное количество чисел расположено по обе стороны двойки? Или восьмёрки?
— Постой, Ари, — вышел из себя Чит, — что ты говоришь? По-твоему, получается, что середина у этого бесконечного ряда везде?
— Вот именно везде. Или нигде. Как тебе заблагорассудится. То, что не имеет ни конца, ни начала, вполне может не иметь и середины.
Ари взглянула на Чита и невольно улыбнулась: он был такой сердитый, такой взъерошенный…
— Что, брат, сложно? Ничего не поделаешь — бесконечность! Когда-нибудь познакомишься с ней получше и поймёшь, что в бесконечности свои законы, свои правила вычислений. Но всё это будет когда-нибудь. А пока нам с тобой пора на следующую остановку —
— Всевозможные нумерррации! Всевозможные нумерррации! — картаво и раскатисто повторил кто-то, и Чит оказался нос к носу с большим почтенным попугаем.
Попугай перебирал лапками, вращая надетый на ось барабан, из которого время от времени выскакивали разноцветные бумажки, и выкрикивал заученные слова:
— Всевозможные нумерррации! Миррровой аттррракцион! Безденежно-цифровая и числовая лотерея! Приобретайте билетики! Всевозможные нумерррации! Миррровой аттррракцион…
— Сколько можно повторять одно и то же! — не выдержал Чит. — Неужели эта глупая птица не знает ничего другого?
— Ничего дррругого?! — переспросил попугай и хрипло расхохотался, — Какое неспррраведливое подозрение! Мудрый Ара — старейший коллекционеррр мира. У мудрого Ары обширррнейший репертуаррр! В этом барррабане собраны все нумерррации, какими когда-либо пользовались на земном шаре…
Чит хотел спросить, что такое нумерация, но с ужасом обнаружил, что Ари исчезла, а вместе с ней и стеклянный муравейник.
— Ари! — отчаянно завопил он. — Ари, где ты?
— Не кричите понапрррасну, мой юный дррруг, — остановил его попугай. — Ари скоро вернётся. Да и на что вам Ари, когда к вашим услугам Ара? Старый мудрый Ара охотно ответит на ваши вопррросы. Кажется, вы собирались выяснить, что такое нумерррация? Прррошу! Нумерация, или, как говорят иначе, система счисления, — это способ записывать числа. И, смею вас уверить, за долгую историю человечества таких способов поднабралось порядочно.
— Не так уж, наверное, много, если все они умещаются в одном барабанчике, — усомнился Чит.
— Но вполне достаточно, чтобы вас ошарррашить, — с достоинством возразил Ара. — С какого способа ррразрешите начать?
Чит пожелал начать с самого удобного, и попугай сказал, что у него губа не дуррра. Но самая удобная нумерация — современная, а с ней Чит наверняка уже знаком. Поэтому старый мудрый Ара рискнёт предложить ему что-нибудь постарррше. Он покрутил свой барабанчик, оттуда повыскакивало несколько бумажек. На первой бумажке была нарисована колода с зарубками, камешки, кучки бобов и завязанные узлами верёвки.
— Это я уже видел, — сказал Чит пренебрежительно.
— Ничего, взгляните ещё разок. Так вам легче будет оценить замечательное открытие, сделанное около пяти тысяч лет назад в нескольких странах одновременно. Удивляетесь? Напрррасно. Древний Вавилон, Древний Египет, Древний Китай — всё это, по тем временам, государства высокой экономики, техники и культуры. Стало быть, там уже имели дело с большими числами, которых зарубками и камешками не запишешь. Ведь что такое зарубка? Попросту единица. А попробуйте-ка записать единицами тысячу или, того хуже, десять тысяч! И вот люди надумали группировать числа по разрядам…
— Вот так новость! — довольно невежливо перебил Чит. — У нас числа тоже делятся на разряды: единицы, десятки, сотни, тысячи… В числе 156, например, 1 сотня, 5 десятков и 6 единиц.
— Прекрррасно усвоено! — умилился Ара. — Многие древние народы действительно считали так же, как и мы: десятками. То есть каждый следующий разряд был у них больше предыдущего в 10 раз. Десятками считали египтяне. Десятками считали китайцы. Но кое-где пользовались и другими системами счисления. Шестидесятеричной, например. В такой системе каждый последующий разряд больше предыдущего в 60 раз. Те же китайцы в более отдалённые времена считали пятками. А индейцы племени майя — народ своеобррразнейшей культуры! — считали двадцатками. И каждый последующий разряд был у них больше предыдущего в 20 раз.
— Да, это вам не зарубки! — уважительно сказал Чит.
— Что и говорить, прррогресс громадный, — отозвался Ара. — И всё-таки запись больших чисел в древних нумерациях была не слишком-то удобной. Взгляните на билетик с египетской нумерацией. Записанное там число 1754 состоит из семнадцати знаков, а нам с вами достаточно четырёх. А уж как замысловато выглядели числа в Древнем Китае! Насколько я помню, у вас там изображено число 1492, но иному школьнику понадобится столько же дней, чтобы научиться такой записи. Не лучше обстояло дело и у древних римлян, хотя, на первый взгляд, их нумерация весьма экономна. Они обходились всего семью цифрами… Да, давно собираюсь спросить, хорошо ли вы знаете, что такое цифры?
— Странный вопрос, — растерялся Чит. — Цифры — это цифры…
— Великолепно! — неожиданно восхитился Ара. — Цифры — это цифры, а числа — это числа. К сожалению, некоторые люди постоянно путают эти понятия. Вечно от них слышишь: большие цифры, астрономические цифры… Они никак не желают понять, что цифры — всего лишь значки для записи чисел, так же как буквы — значки для записи слов. Между прочим, буквы — то есть письменность — появились прежде, чем цифры. Неудивительно, что люди, придумывая цифры, исходили из привычной для них формы письма. В Древнем Египте и Древнем Китае писали иероглифами — значками вроде картинок. Каждая такая картинка означала не букву, а целое понятие. И очень может быть, что именно поэтому специальные значки там были только для обозначения числовых разрядов: единиц, десятков, сотен, тысяч и так далее. У римлян иероглифов не было — они уже пользовались алфавитной, буквенной письменностью. И цифрами там служили заглавные буквы латинского алфавита — приём весьма распространённый в древности; с ним вы встретитесь в нумерациях многих восточных народов. И всё-таки римская запись больших чисел не многим лучше египетской. Число 338 631 — взгляните на билетик! — изображается там с помощью семнадцати знаков, считая маленькое латинское m — первая буква слова «mille» — «тысяча», которая ставилась после числа тысяч.