Если чуть огрубить реальную историю, то можно сказать, что в основном пробовали доказывать две главные разновидности пятого постулата:
1. Перпендикуляр и наклонная пересекаются.
2. Сумма углов треугольника равна π.
На этих путях было найдено несколько очень наглядных эквивалентов пятого постулата. Иногда авторы понимали, что нашли эквивалент; иногда они, заблуждаясь, думали, что доказали пятый.
Вот несколько «эрзацев»[2].
1. «Геометрическое место точек, равноудаленных от данной прямой, есть прямая».
2. Расстояние между двумя непересекающимися прямыми остается ограниченным[3].
3. Существуют подобные фигуры.
4. Если расстояние между двумя прямыми сначала убывает при движении вдоль этих прямых в каком-то направлении, то оно не может начать увеличиваться до тех пор, пока прямые не пересекутся.
И так далее.
Всего насчитывают более 30 формулировок.
Для развлечения читателей я приведу несколько «доказательств» пятого постулата без каких-либо критических комментариев. Читатели могут (при желании, конечно) установить самостоятельно, какой постулат использовал тот или иной автор вместо пятого.
1. Доказательство Прокла. Одно из самых первых, одно из самых простых и самых остроумных.
Прокл берет за основу утверждение Аристотеля: При продолжении двух прямых от точки пересечения расстояние между ними неограниченно возрастает.
Он считает, что это аксиома.
На самом деле это теорема, причем теорема, совершенно независимая от пятого постулата. Так что этой теореме можно полностью доверять. Она принадлежит к «абсолютной геометрии» и, следовательно, как мы понимаем сегодня, справедлива и в геометрии Евклида и в геометрии Лобачевского. А постулат — эквивалент Прокла — другой.
Вот и доказательство. Точнее, его эскиз. (Ни здесь, ни в следующем доказательстве я не буду придерживаться строгой, формальной схемы.)
Проведем две заведомо параллельные прямые. То есть такие, что <A + <C1 = π.
Проведем третью прямую. Как? Видно на чертеже, она показана пунктиром.
Расстояние между пунктирной прямой и верхней (при движении влево) неограниченно возрастает.
Следовательно, оно когда-нибудь превысит расстояние между параллельными.
Ну, а тогда ясно, что пунктирная прямая пересечет нижнюю.
Предлагается сформулировать все вполне строго и указать, какой постулат неявно использовал Прокл.
2. Доказательство Валлиса.
Докажем, что перпендикуляр и наклонная к общей секущей пересекаются.
Опустим из точки В перпендикуляр на секущую. Получим Δ ABC. Возьмем подобный ему треугольник, такой, чтобы его сторона, соответствующая стороне АС, была равна отрезку AD.
Ввиду его значения выделим ему отдельный чертеж. Это Δ A1D1F1.
Наложим теперь этот пунктирный треугольник на наш Δ ABC так, чтобы сторона A1D1 легла на АС.
Тогда сторона A1F1 уляжется на нашу наклонную, а сторона D1F1 на наш перпендикуляр.
По существу, мы уже все доказали; осталось несколько формальностей. Я предоставляю их читателям.
Не будем особенно увлекаться примерами. Интереснее, пожалуй, вот что.
Десятки математиков, люди самых разных культур, люди, разделенные столетиями, часто, совершенно не зная друг о друге, мыслили почти идентично, почти дословно повторяли путь предшественников.
До XVIII столетия, доказывая пятый постулат от противного, не слишком далеко тянули цепь следствий, не слишком углублялись в анализ. В какой-то момент решали: ага, вот оно — противоречие. А на самом деле это противоречие, конечно, оказывалось эквивалентом пятого постулата.
Но поскольку шли не очень далеко, охотников оказывалось больше, чем зайцев. Математиков, работавших над пятым постулатом, было больше, чем различных путей для доказательства. Пятым постулатом занимались почти все виднейшие математики мира. Об одном из них я хочу рассказать особо. Не потому, что его исследования по теории параллельных как-то резко выделяются по своему классу. Нет. Наиболее интересные его результаты относятся к алгебре. В теории параллельных он не ушел существенно дальше других. В этом смысле мы подарим ему неоправданно большое внимание. Более того, мы, по существу, ничего не будем говорить о его доказательстве пятого постулата. Правда, доказательство его весьма остроумно. Правда, в дальнейших работах восточных математиков явно чувствуется его влияние. Наконец, технический прием, использованный им, очень удачен и опережает западных математиков лет на шестьсот. (Об этом чуть-чуть подробней будет сказано дальше.) Но в конце концов сам пятый постулат нас не так уж волнует в этой книге.
Интересен же этот человек тем, что на его примере хорошо видишь, сколь ничтожно малы различия между людьми всех наций и всех веков.
Итак, я хотел бы поговорить о математике, известном у нас под именем поэта Омара Хаййама.
Глава 5Гийас ад-Дин Абу-л-Фатх Омар ибн Ибрахим ал-Хаййам ан-Найсабури
Гийас ад-Дин Абу-л-Фатх Омар ибн Ибрахим ал-Хаййам ан-Найсабури.
Или — более привычное для слуха европейца — Омар Хаййам.
Восток, как всем известно, есть Восток. В отличие от Запада, который есть Запад.
Восток в сознании многих — это стандартный набор: гаремы, султаны, ислам, шальвары, халифы, кальяны, муэдзины, эмиры, гурии, минареты, шахи, палящее солнце, фонтаны, баядерки, Чингисхан и тень чинар. И лень, безмятежная, сонная лень в этой тени.
Во всяком случае, таков Восток в прошлом. Таким его представляют.
Действительно, все было на Востоке: и султаны, и шахи, и халифы, и эмиры, и прочее. Более того, в значительной части Востока сохранилось и сейчас.
Тем не менее Востока не было никогда.
Было и есть несколько десятков стран и более миллиарда людей. Более миллиарда. И я смею предполагать, что это довольно разные люди.
Можно думать также, что их внутренний мир тот же, что и у «жителей Запада».
Кстати, сам Киплинг — автор знаменитой формулы о Востоке и Западе — думал именно так. Эта мысль и защищается в его знаменитой балладе, из которой обычно (увы, это удел даже блестящих поэтов) помнят лишь первую строку.
Раз уж в этой главе мы непрестанно будем находиться в «атмосфере поэзии», стоит процитировать и Киплинга. Тем более стихи прекрасны.
О, Запад есть Запад, Восток есть Восток, и с мест они не сойдут,
Пока не предстанет Небо с Землей на Страшный господень суд.
Но нет Востока и Запада нет, что — племя, родина, род,
Если сильный с сильным лицом к лицу у края земли встает.
Дальше можно не цитировать, ибо все последующее до обидного плохо. Стихи великолепны по-прежнему, но сам сюжет и его решение пародийно напоминают рядовой голливудский «вестерн».
Редьярд Киплинг ограничился гимном в честь духовного единства воинов. Героев, сильных телом и духом. Воины эти, если судить непредвзято, — некоторый прообраз облагороженных голливудских бандитов. Но если отвлечься от выбора героев, с Киплингом можно согласиться безоговорочно. Гангстеры всего мира довольно легко находят общий язык, ничуть не хуже ученых-гуманистов.
К сожалению, Киплинг воспел первых. И отдал на это весь свой поразительный талант поэта.
Все эти рассуждения, может быть, не совсем излишни, если вспомнить, что сейчас наш герой — Гийас ад-Дин Абу-л-Фатх Омар ибн Ибрахим ал-Хаййам ан-Найсабури.
Гийас ад-Дин означает: «помощь веры», и есть традиционный титул всех ученых, поскольку в те времена иерархическая лестница научных званий была, видимо, разработана слабовато. Абу-л-Фатх — отец Фатха.
Ан-Найсабури — показывает, что Хаййам был родом из Нишапура, одного из главных городов славного Хорасана.
Хаййам — то, что мы приняли за фамилию, — означает «палаточный мастер». Вероятно, отец его либо дед промышляли этим достойным занятием.
Ибн Ибрахим — сын Ибрахима. В русифицированном варианте: Ибрахимович.
Наконец, Омар — имя, данное ему при рождении.
Итак, коротко — Омар Хаййам.
Он завоевал Запад в XIX веке, и завоевал его как поэт.
Впервые он был переведен на английский и переиздан в прошлом веке 25 раз. В Англии и Америке повальное увлечение Хаййамом приняло характер эпидемии, его цитировали, восхваляли и создавали клубы его имени. Волей-неволей нам придется заниматься литературоведением, и поэтому я хотел бы сразу сообщить, что хотя стихи Хаййама прекрасны, но столь исключительная его популярность связана, возможно, с некоторым «удивительным откровением». Оказалось, что тысячу лет назад где-то в Турции, не то в Индии человеку были доступны те же мысли и сомнения, что волнуют людей и в наш просвещенный век (то есть XIX). Мало того, он сформулировал эти сомнения в великолепных стихах, а это было уже совершенно поразительно.
В родных краях, впрочем, как поэта Хаййама почти не знали.
Так возникло два Хаййама.
На Западе — поэт.
На Востоке — математик, астроном, философ. О, Запад есть Запад, и Восток есть Восток.
Позволим себе риторический вопрос и воскликнем в недоумении: кто же он был?
Поскольку автор больше симпатизирует «восточной версии», начнем спокойный и медлительный рассказ, оживляя его по мере скромных наших сил традиционным колоритом о досточтимом мудреце и имаме Гийас ад-Дине Омаре ал-Хаййаме ан-Найсабури, да освятит аллах его драгоценную душу.
«Во имя аллаха милостивого, милосердного. Хвала аллаху, господину миров, и благословение всем его пророкам».
Так, скованный суровой и жестокой традиционной формой, начинает Хаййам свой замечательный труд: «Трактат о доказательствах задач алгебры и алмукабалы» — работу, в которой математика Запада была опережена примерно лет на пятьсот.