Как будто намечен ясный путь проверки системы аксиом на «требование полноты».
О, если бы все было так просто, как я только что рассказывал! Математики были бы счастливы.
Позволим себе на мгновение роскошь говорить наивно.
Итак:
Система аксиом для данной группы основных (первичных) понятий полна, если для любого общего суждения А (любой теоремы), относящегося к данным первичным понятиям, мы на основе этих аксиом можем разрешить вопрос: «Истинно А или ложно?»
Теперь подумайте, что сейчас сказано. Для проверки полноты аксиом мы должны ни много ни мало как доказать или опровергнуть любую мыслимую теорему. Если это проделать, то любая математическая дисциплина будет исчерпана до конца. Исчерпана так же, как игра в «крестики-нолики».
Очевидно, наше требование нереально.
Даже в такой сравнительно простой системе, как шашки, мы не можем точно исследовать основную теорему и ответить на вопрос: каков должен быть результат партии при идеальной игре партнеров?
Тем более мы не знаем, как обстоит дело в шахматах.
И тем более мы не можем предусмотреть и проанализировать все теоремы геометрии, арифметики или вообще любой математической дисциплины.
Посему всю проблему полноты аксиом необходимо формулировать совершенно иначе.
Здесь мы не в состоянии погружаться в глубины высшей математической логики, и поэтому о проблеме полноты «во всей ее полноте» мы ничего не скажем.
Я могу лишь привести красивую и непонятную фразу: система аксиом полна, если любые две ее интерпретации, имеющие реальное содержание, изоморфны.
Причем в порядке рекламы можно добавить, что за красивыми звуками скрыт еще более красивый смысл.
Идея изоморфизма, введенная Гильбертом, одна из самых изящных находок начала XX столетия.
Но что-либо говорить об изоморфизме мы не будем.
Простой же пример, когда было ясно видно, что система аксиом неполна, уже был приведен, и вероятно, читатели без труда смогут придумать еще несколько аналогичных примеров.
Яснее на первый взгляд положение с требованием независимости (или непротиворечивости)[6].
Снова сформулируем требования независимости совершенно строго.
Пусть у нас есть какая-то группа аксиом — Σ (эта буква обычно используется для обозначения суммы).
Пусть есть какое-то утверждение А.
И противоположное утверждение Ā[7].
Тогда А независимо от группы аксиом Σ, если ни само А, ни противоположное утверждение Ā им не противоречит.
Иначе говоря, с группой аксиом Σ совместимо как суждение А, так и противоположное суждение Ā.
Все это очень элементарная логика. Но она, вероятно, непривычна. И потому может показаться очень сложной.
Поэтому поясним все на примере с пятым постулатом.
Мы хотим доказать его независимость от остальных аксиом геометрии Евклида («пятый постулат» сейчас — пример нашего суждения А). Мы высказываем утверждение, противоположное пятому постулату («суждение Ā»). Например, мы утверждаем: через данную точку к данной прямой можно провести по крайней мере две параллельные прямые. (Для «популярности» постулат, противоположный пятому, будем записывать вверх ногами «».)
Далее мы доказываем, что «» не противоречит остальным аксиомам геометрии.
Это значит, что как бы далеко и широко мы ни развили возможные следствия, мы никогда не придем к логическому противоречию.
Теперь — внимание! До сих пор все очень ясно.
Но, спрашивается, как убедиться, что мы никогда не сможем прийти к противоречию?
Пусть мы доказали двадцать непротиворечивых теорем.
Это не гарантирует нам, что противоречие не выскочит в двадцать первой.
Доказав сто, можно ожидать подвоха в сто первой…
Доказав тысячу… Короче: ясно, что на этом пути никакого строгого доказательства непротиворечивости получить нельзя. Получить же его необходимо. Без этого задача не решена. Но как будто это абсолютно безнадежная задача. Не видно даже других мыслимых путей, кроме того, что мы описывали. А наш путь заведомо и абсолютно безнадежен.
И здесь остановимся и еще раз потребуем внимания.
Во второй половине XIX века, примерно через 20 лет после смерти Лобачевского и Гаусса, был предложен строгий путь доказательства непротиворечивости неевклидовой геометрии. Путь неожиданный и невероятный.
Мы расскажем о нем позже.
Но ни Лобачевский, ни Гаусс не подозревали о возможностях такого сорта. Запомним: сама возможность принципиально новых идей, с помощью которых можно доказать непротиворечивость неевклидовой геометрии, в то время почти столь же невероятна, как возможность определения химического состава звезд.
Столь же немыслима, как опровержение механики Ньютона.
Столь же непредставляема, как термоядерная реакция.
Еще нет ясного представления об аксиоматике. Еще во всех определениях и аксиомах геометрии полный беспорядок, оставшийся в наследство от Евклида.
Почти все из того, что было написано выше, математики еще не сформулировали для себя.
Лишь гениальный Бояи нащупывает правильный путь. Но, боюсь, даже Гаусс не воспринимает полностью его идей.
Есть только полуинтуитивное представление о понятиях независимости и непротиворечивости.
Но тогда…
Тогда ясно, что логически доказать «независимость пятого постулата» вообще невозможно. Как далеко ни протянется непротиворечивая цепочка теорем, полученных при помощи «», всегда останется возможность, что противоречие скрыто глубже. Останется ощущение, что мы не добрались до него.
Можно, конечно, «с отчаяния» прибегнуть к «чуждому» для математики пути — подглядеть, что дает эксперимент. Окажись, что во вселенной осуществляется «неевклидова геометрия», — вопрос о непротиворечивости отпал бы сам по себе.
Как помните, Гаусс пытался проверить, чему равна сумма углов треугольника. Независимо от него Лобачевский попросил провести подобные же измерения. У Лобачевского объект был выбран даже более удачно. По его просьбе в Казанской обсерватория измерили углы треугольника, вершинами которого были взяты три звезды. Но в обоих случаях сумма углов оказалась равной π в пределах ошибок эксперимента.
Этот результат ничего не опровергал потому, что даже если евклидова геометрия не осуществлялась в нашем мире, отклонение от π могло быть очень мало.
Но уж тем более он ничего не доказывал.
Итак? Итак, рассуждая строго логически, оставалось одно. Заключить, что вопрос открыт. И вероятно, останется таким навечно. В этом духе и высказался однажды Гаусс. (Разумеется, снова в частном письме.) «Я все более склоняюсь к убеждению, что необходимость нашей геометрии не может быть строго доказана. По крайней мере человеческим умом для человеческого ума».
Эту фразу можно прочесть и так. Я не представляю никакой мыслимой возможности доказать, что постулат, обратный пятому («»), не противоречит прочим аксиомам геометрии. И хотя интуиция, конечно, подсказывает Гауссу правильный ответ: неевклидова геометрия столь же непротиворечива, как евклидова, но доказательства нет.
Задача не решена.
Но если так, то совершенно в духе Гаусса не публиковать своих результатов. Он не может рисковать своей репутацией и печатать работу, в которой он не уверен на сто процентов. А идеи, позволяющей рассечь узел, идеи, решающей все, — такой идеи у него нет. А дальше? Дальше вступают в игру факторы, не связанные с чистой наукой непосредственно.
То один, то другой корреспондент (Швейкарт, Тауринус, Бояи) присылает ему письма, в которых более или менее явно высказывает предположение: доказать пятый постулат нельзя и противоположный постулат не противоречит остальным аксиомам Евклида.
При этом по крайней мере для Швейкарта и Тауринуса эта идея куда более смутна, куда более неуклюже оформлена, чем видит все он — Карл Фридрих Гаусс.
Представьте себя на секунду Гауссом. Не так уж просто ответить совершенно прямо и честно. Не так просто подарить свои идеи какому-то Швейкарту, полностью отказаться от затаенной надежды решить когда-нибудь эту проклятую задачу до конца, объяснить положение, посоветовать — развивайте ваши соображения как можно тщательней, как можно полней, чем больше самых разнообразных следствий и теорем вы получите, опираясь на «», тем крепче будет внутренняя вера в его непротиворечивость. Рассмотрите неевклидову тригонометрию, попробуйте вычислять длины кривых в неевклидовой геометрии. Получите, например, выражение для длины окружности.
Гаусс-то знал, какова будет длина окружности в неевклидовой геометрии. Он приводит эту формулу в одном из своих писем.
Но наш «идеальный Гаусс», конечно, не напишет об этом своему корреспонденту.
Он вообще промолчит о своих собственных результатах. Он наметит обширную программу необходимых исследований, поддержит и ободрит младшего коллегу и заключит:
«Мне самому эта идея кажется очень привлекательной. Но, увы, сколько бы вы ни развивали ваши теоремы, в конечном счете вопрос о непротиворечивости неевклидовой геометрии — это вопрос веры. Строгое доказательство получить невозможно. Можно лишь довериться интуиции.
Вероятность ошибки всегда останется. Вы молоды. Ваше имя не канонизировано, вы можете позволить себе печатать глупости. Я настоятельно рекомендую вам посвятить все свои силы этой проблеме. Жду ваших писем».
Не правда ли, мы требуем довольно много от Гаусса?
Много. Но не слишком.
В науке были и подобные люди и подобные случаи. И фраза: «Вы достаточно молоды, чтобы позволить себе печатать глупости» — не придумана. Именно эти слова сказал замечательный человек, педагог и физик Эренфест двум молодым ребятам — Уленбеку и Гаудсмиту, когда те хотели забрать из журнала свою работу. Впоследствии эта работа и оказалась главным, что они сделали в науке. Кстати, им же совершенно бескорыстно отдал важнейшие соображения Эйнштейн, не очень заботясь о своем приоритете.