Для случая, показанного на верхнем рисунке на странице 205, довольно очевидно, как будет расположена касательная плоскость. Но иногда касательная плоскость располагается более хитро относительно поверхности (см. рис. на стр. 202).
Теперь строго определим понятие нормали. Нормаль — прямая, перпендикулярная к касательной плоскости.
После этого можно приступить к определению понятия главных радиусов кривизны. Проведем через нормаль какую-либо плоскость.
Ясно, что их можно провести бесконечное число. Но мы выберем для начала любую. При пересечении плоскости и поверхности образуется плоская кривая.
Всегда можно подобрать такую окружность, которая очень хорошо прилегает к этой кривой вблизи точки P. Точный смысл этих слов объяснять не будем, понадеявшись, что интуиция подскажет нужный образ.
Радиус этой прилегающей (соприкасающейся) окружности R называется радиусом кривизны плоской кривой. Так как через нормаль можно провести бесчисленное множество плоскостей, то мы получим бесчисленное число радиусов кривизны. Среди них есть наибольший и наименьший по абсолютной величине. Можно доказать, что плоские кривые, которым соответствуют наименьший и наибольший радиусы, взаимно перпендикулярны в точке P. Эти два радиуса, R1 и R2, и называются главными радиусами кривизны нашей поверхности в точке P.
Можно также доказать, что центры окружностей всегда расположены на нормали.
Если центры кривизны лежат по одну сторону от поверхности, точка P называется эллиптической. Если по разные — гиперболической. В этом случае один из главных радиусов следует считать отрицательным.
Наконец, есть еще и параболические точки. Это точки, где один из главных радиусов кривизны равен бесконечности. Гауссова кривизна в любой точке поверхности определяется так:
K = 1/R1R2.
Теперь можно составить табличку:
В эллиптической точке K > 0
В гиперболической точке K < 0
В параболической точке K = 0
Посмотрим, какими свойствами может обладать поверхность в целом. Представим какую-нибудь поверхность и попробуем покрыть ее плотно прилегающим куском материи.
Условия игры таковы. Нашу материю (естественно, первоначально это был плоский кусок) нельзя:
а) разрезать,
б) растягивать,
в) она должна покрывать поверхность без складок.
Если бы какая-нибудь дама предъявила подобные требования своему портному, он, вероятно, выгнал бы ее без дальнейших разговоров. И был бы прав.
А прежде чем идти дальше, я призываю читателей на секунду прервать чтение и самостоятельно представить, какими свойствами должна обладать фигура нашей гипотетической модницы, чтобы можно было удовлетворить ее требование.
После тех сведений о гауссовой кривизне, что мы имеем, ответ довольно прост.
Первоначально кусок был плоским. Это значит, что кривизна его в каждой точке была равна нулю. При изгибании без растяжения кривизна не меняется. Значит, плоский кусок материи можно изогнуть только на такую поверхность, кривизна которой в каждой точке строго равна нулю.
Например, на цилиндр. Легко можно сообразить, что на боковой поверхности цилиндра гауссова кривизна строго равна нулю. Или, иначе, каждая точка поверхности параболическая. Если вы усвоили понятие кривизны, то легко убедитесь, что второй пример подходящей поверхности конус.
Но вот на шар невозможно изогнуть плоскость так, как мы этого требуем.
Кривизна шара постоянна и положительна. Именно это обстоятельство и вызывает все мучения картографов.
Несколько запоздало надо добавить, что и раньше и позже мы все время будем иметь в виду «хорошие» поверхности. Строго объяснять, что это значит, я не буду, а грубо говоря, «хорошими» мы будем считать поверхности без острых ребер и остриев. Вершина конуса, например, «нехорошая» точка.
Далее надо иметь в виду, что когда мы говорим об изгибании одной поверхности на другую, то, строго говоря, мы всегда подразумеваем возможность изгибания достаточно большого куска, а не всей замкнутой поверхности. Например, целиком развернуть боковую поверхность конуса на плоскость можно, только проделав хотя бы один разрез по образующей. Теперь последнее необходимое нам понятие — понятие геодезической линии. Геодезическая — это такая кривая линия, проведенная на поверхности между двумя точками, что любая другая кривая окажется длиннее. Вообще-то это определение из числа «почти строгих», но я утешаюсь тем, что те, кто достаточно хорошо знает математику, вообще не будут читать эту главу, и уличить меня, таким образом, некому.
Воображаемые двумерные существа, живущие на данной поверхности, скажут, что геодезическая — кратчайшее расстояние между двумя точками. Впрочем, то же самое скажут и трехмерные существа, если поставить им условие не покидать поверхность.
Для нас, жителей сферы, кратчайшие расстояния между двумя точками Земли дуги большого круга. И именно по дуге большого круга должен направлять штурман свой корабль, чтобы возможно быстрее прибыть из одного порта в другой. А теперь обсудим весьма любопытный вопрос. Мы договорились, что плоскость можно изогнуть на поверхность, кривизна которой постоянна и равна нулю. Или — что то же самое — такую поверхность можно развернуть на плоскость. Любая фигура, нарисованная на плоскости, превратится в аналогичную фигуру на нашей поверхности. Углы между линиями при изгибании не меняются. Кратчайшие линии на плоскости — прямые линии — перейдут в геодезические линии на поверхности. Поэтому для цилиндрического треугольника, например (его стороны, понятно, образованы кривыми линиями), сумма углов останется той же, что была у плоского треугольника. В том же духе можно рассуждать и далее. Каждому геометрическому понятию на плоскости можно сопоставить соответственный образ на поверхности.
И довольно легко представить, что все теоремы, имевшие место на плоскости, переносятся без изменений на поверхность.
Надо только помнить, что теперь эти теоремы справедливы для «образов». Если на плоскости осуществлялась евклидова геометрия, то она будет осуществляться и для «образов» на цилиндре.
По существу, мы сейчас соприкоснулись с одной из самых замечательных и красивых сторон математики. Пока мы не интересуемся практическим приложением, нам совершенно все равно, о чем именно говорят наши теоремы. Лишь бы они удовлетворяли требованиям логики. Более того, мы даже не знаем, о чем мы, собственно, говорим. Только физику необходимо знать, что происходит «на самом деле». Каков его мир.
Для физики прямая — это луч света. Для математики это одно из основных неопределяемых понятий. Прямые на евклидовой плоскости и геодезические линии на поверхности цилиндра невозможно различить, если сравнивать их только с точки зрения аксиоматики.
Представим себе некую фантастическую картину. Два двумерных мира. Один плоский. Другой на поверхности цилиндра. В обоих живут разумные существа. Допустим, они каким-то образом наладили связь.
Двумерный «плоский» и двумерный «цилиндрический» математики с удовольствием бы констатировали, что у них одна геометрия.
Окажись система аксиом противоречивой на евклидовой плоскости, мы сразу бы знали: она противоречива и на цилиндре.
Один мог бы объяснять другому теоремы, которые он доказал, и второй принимал бы их без всяких изменений. Они могли бы работать вместе без малейших разногласий. Вот у «плоского» и «цилиндрического» физиков такого тесного контакта не было бы. Они с самого начала заявили бы, что в их мирах законы природы различны.
Впрочем, если бы в «цилиндрическом» мире луч света распространялся по геодезической линии, они тоже не сразу бы обнаружили отличия.
Читатели понимают, конечно, что сейчас мы находимся где-то очень близко от проблемы непротиворечивости неевклидовой геометрии. Если бы в обычном евклидовом пространстве удалось найти также поверхности, на которых осуществляется геометрия Лобачевского… Если бы эти поверхности можно было сделать такими, что на них отображалась бы вся плоскость Лобачевского… Тогда задача была бы решена.
Первое «Если…» удовлетворяется. Такие поверхности (псевдосферы) существуют. Это поверхности с постоянной отрицательной кривизной. Но вот второе условие нас губит. Вся поверхность псевдосферы соответствует лишь кусочку плоскости Лобачевского. Забудем на время непротиворечивость и хоть и вскользь, но скажем о Римане. Этот болезненно застенчивый юноша в 1854 году открывает математикам новые перспективы. Сейчас нам придется снова вернуться к гауссовой кривизне, но теперь уж на совсем математическом языке. Рассмотрим два произвольных семейства кривых на поверхности. Семейства, повторим, могут быть совершено произвольны. Эти два семейства образуют координатную сетку. Пусть теперь мы хотим найти расстояние между двумя очень близкими, а в остальном совершенно произвольно выбранными точками x1 и x2.
Гаусс рассмотрел следующее выражение:
ΔS12 = g11(x1x2)Δx12 + 2g12(x1x2)Δx1Δx2 + g22(x1x2)Δx22.
Его называют основной метрической формой. Для тех, кто не очень знаком с математикой, эта формула, естественно, довольно неприятно выглядит. Но мы и не будет особенно ею пользоваться. Сделаем лишь два замечания.
1. «Физический» смысл этого выражения очень прост. Это квадрат расстояния между точками x1 и x2.
2. g11(x