1x2), g12(x1x2) и g22(x1x2), естественно, меняются при переходе от одной точки поверхности к другой. Мы писали в скобках x1 и x2, чтобы показать: все выражения g11, g12 и g22 зависят от места на поверхности.
Нам существен сейчас один результат Гаусса. Он показал, что кривизна поверхности полностью определяется числами g11(x1x2), g12(x1x2), g22(x1x2). Но этого мало. Он доказал, что какую бы ни выбрать систему координат, кривизна не изменится. Это совсем не очевидно. Действительно, все числа g11, g12, g22, вообще говоря, изменятся при выборе новой координатной сетки. Но гауссова кривизна так комбинируется из этих чисел, что останется неизменна. То есть гауссова кривизна совершенно не зависит от способа описания.
Она — внутреннее свойство поверхности. Итак, для плоских поверхностей вся геометрия определяется одним только соотношением — основной метрической формой. Эта форма зависела от двух переменных. И, зная коэффициенты, мы могли вычислить в любой точке гауссову кривизну поверхности.
Идею Римана можно передать буквально в двух словах. Давайте чисто формально рассматривать подобные выражения от трех, четырех и n-переменных. И скажем, что эти метрические формы определяют геометрию трех-, четырех-, n-мерного мира. Формально мы сможем вычислить гауссову кривизну для таких миров. Сможем сказать о том, какая именно геометрия будет в них осуществляться.
Если кривизна отлична от нуля, мы скажем, что такой мир искривлен. И заметим это, не выходя из одной точки. Нам достаточно узнать кривизну в этой точке.
Геометрия «мира» может быть любой. Какой именно, даже не очень важно сейчас. Теория Римана предусматривает все мыслимые случаи.
Вот и все, грубо говоря.
Просто обобщение гауссовой теории поверхностей на случай многих переменных. А в начале XX столетия оказалось, что для описания нашего реального мира нужно использовать геометрию Римана. Причем не для трех, а для четырех измерений. Четвертым оказалось время.
На этом расстанемся с Риманом.
Сейчас основная моя задача — воздерживаться по мере сил от восторженных восклицаний.
Действительно, вряд ли во всей математике отыщешь еще десяток идей, равных по своей красоте доказательству непротиворечивости геометрии Лобачевского.
Все построено на том, что математику совершенно безразлично, что именно скрывается под его Основными Понятиями. Лишь бы удовлетворялись аксиомы.
До поры до времени геометрия не более чем логическая игра. «Прямая», «точка», «плоскость», «движение» — фигурки в этой игре; и единственное, что знает о них математик, — это его аксиомы — правила игры с этими фигурами.
На этом этапе геометрия, вообще говоря, столь же бесполезна для физика, как шахматы или домино. Лишь тогда, когда он — физик — экспериментально установит, что его реальные прямые, точки и т. д. очень точно описываются математическими абстракциями, лишь тогда, когда он увидит, что аксиомы математики действительно описывают поведение его вполне реальных прямых, точек, плоскостей… Лишь тогда геометрия превращается в одну из глав физики — науки, исследующей окружающий нас мир. До этого момента геометрия — логическая игра.
Но как раз такая неожиданная позиция дает возможность доказать непротиворечивость геометрии Лобачевского.
Задача выглядит так.
Есть две игры: геометрия Евклида и геометрия Лобачевского.
Попробуем доказать, что если в правилах одной из них скрыто внутреннее противоречие, то оно непременно есть и в правилах другой.
Правила игры — напомним еще раз — это список аксиом.
Как видите, мы несколько изменили постановку вопроса.
Мы понимаем, что прямо, в лоб, строго решить проблему непротиворечивости — задача безнадежная.
Сколько бы сотен миллионов теорем мы ни доказали, не может быть уверенности, что в следующей теореме мы не наткнемся на противоречие.
А теперь мы хотим доказать: если противоречива геометрия Лобачевского, то непременно противоречива и геометрия Евклида.
Однако на первый взгляд и здесь не видно ясного пути.
Правила игры (аксиомы) различны. Правда, отличаются геометрии лишь одной аксиомой — аксиомой о параллельных, но в принципе дела это не меняет.
Игры разные. И совершенно неясно, как вообще можно перекинуть связующий мост между ними.
Тем не менее это оказалось возможно.
Боюсь, что различные аналогии, призванные пояснять, лишь затуманят суть, и потому прямо перейду к доказательству. Автор его — один из крупнейших математиков XIX века Феликс Клейн. О нем, конечно, стоило бы рассказать. Был он интересный и сложный человек, но, к сожалению, нам невозможно слишком увлекаться историей. Я хочу только привести один поразивший меня в свое время факт.
Клейн прожил долгую жизнь. И если взять только те его работы, что были им выполнены после 30–35 лет, то по любым меркам — перед нами великолепный разносторонний ученый. Активный, тонкий, плодовитый математик, блестящий знаток прошлого своей науки, один из лучших педагогов за всю историю математики.
Сам он жестко и безапелляционно написал, что после 30 лет в результате нервного переутомления, вызванного исследованием одной математической проблемы он никогда больше не был способен к творческой деятельности. Он не кокетничал. Он действительно думал именно так. И признаюсь, меня подкупают люди такого склада. Другой вопрос — облегчает ли им жизнь такая беспощадность к себе?
Итак, доказательство.
Сначала мы «играем» в евклидову геометрию. Рассмотрим обычный круг. Проведем в нем хорду. Возьмем какую-нибудь точку, не лежащую на этой хорде. Ясно, что через эту точку можно провести бесчисленное число других хорд, не пересекающих нашу. Это все хорды, уместившиеся между двумя пересекающими нашу в ее крайних точках; там, где она пересекается с окружностью.
Пока все до наивности ясно. Неясно только, какое отношение этот круг может иметь к геометрии Лобачевского.
И сейчас произойдет удивительное.
Идея Клейна в том, что он превращает этот тривиальный круг в модель плоскости Лобачевского.
Вот как это происходит.
Повторим старое заклинание.
Математику все равно, что такое его Основные Понятия. Лишь бы удовлетворялись аксиомы.
И начинается двойная игра.
Мы называем:
круг — плоскостью Лобачевского;
любую хорду в круге — прямой Лобачевского;
точку — точкой Лобачевского.
Естественно, мы должны добавить новые понятия: «соотношения», «лежать между», «принадлежать» и «движение».
Добавим их. А после этого попробуем сыграть с этими евклидовыми элементами в «геометрию Лобачевского».
Чтобы проделать это, надо будет обратиться к списку аксиом и проверить, удовлетворяют ли наши элементы аксиомам геометрии Лобачевского.
Сравнительно легко можно убедиться, что с большинством аксиом все в порядке.
Все великолепно и с аксиомой о параллельных — единственной, отличающей геометрию Лобачевского от геометрии Евклида: «Через данную точку к данной «прямой» можно провести бесчисленное множество непересекающих ее «прямых».
Пока из чувства перестраховки я ставлю кавычки у слова «прямая». Но стоит доказать, что для наших понятий выполняются все аксиомы геометрии Лобачевского, — и кавычки можно будет смело убрать.
Не забывайте только — идет двойная игра. Мы все время должны «переводить» с языка евклидовой геометрии на язык геометрии Лобачевского. И наоборот.
С понятиями «принадлежать» и «лежать между» все хорошо. На обоих языках они одинаковы. Трудности начинаются, когда мы переходим к движению.
Понятие «движение» должно удовлетворить всей группе аксиом движения.
Мы заявили, что наш круг — плоскость Лобачевского. Очень хорошо. Мы можем определить движение в этой плоскости Лобачевского. Это движение обязано удовлетворять всем положенным ему аксиомам. (Их стоит сейчас посмотреть в приложении к третьей главе.)
Тоже хорошо. Но неясно, можно ли сформулировать это понятие движения неевклидовой плоскости на языке евклидовой геометрии.
Неевклидова плоскость в нашем случае на евклидовом языке — круг. Движение, вспоминаем мы, — это взаимно однозначное преобразование плоскости самой в себя. Значит, на евклидовом языке мы должны найти какое-то преобразование круга самого в себя.
Один класс таких преобразований сразу назойливо напрашивается. Это простые повороты круга относительно его центра. Однако легко убедиться, что эти преобразования не годятся как кандидаты в «неевклидово движение».
При поворотах невозможно перевести любую заданную точку круга в любую другую заданную заранее точку. Ну, например, центр круга. При таких преобразованиях он всегда неподвижная точка. Он переходит сам в себя. А аксиомы, определяющие движение, требуют, чтобы при движении любую данную точку можно было перевести в любую другую. Поэтому повороты не могут нас удовлетворить.
Однако необходимые нам преобразования круга есть. Есть!
И это центральный и радостный момент в схеме Клейна.
Он указал бесчисленное множество таких преобразований круга (их называют проективные преобразования), которые переводят круг в точно такой же «новый круг». Любую внутреннюю точку «старого круга» во внутреннюю точку «нового круга». Любую точку контура «старого круга» оставляют на контуре «нового круга».
А хорды «старого круга» переходят в хорды «нового круга».
Эти преобразования круга (на евклидовом языке — проективные преобразования) на неевклидовом языке удовлетворяют всем аксиомам движения.
Например, преобразование хорд на неевклидовом языке означает, что прямые переходят в прямые и т. д.