Платон утверждал, что все это «губит и разрушает благо геометрии, так как при этом она уходит от бестелесных и умопостигаемых вещей к чувственным и пользуется телами, нуждающимися в применении орудий пошлого ремесла».
Очевидно, такая отповедь устрашила беднягу Евклида, а его работа «О конических сечениях» бесследно исчезла для нас.
В «Началах» ему как будто принадлежит нечто в учении о правильных многогранниках. В XIII книге доказывается, что существует всего пять различных типов таких тел. Это блестящий, неожиданный, знаменитый… короче — классический результат.
Вообще-то в «Началах» рассказывается не только о геометрии. В них есть и элементы теории чисел и геометрическая теория иррациональных величин. Три последние книги посвящены стереометрии. И каждому разделу предшествуют аксиомы и постулаты.
Собственно, планиметрии отведено шесть первых книг. И самая первая начинается с аксиом и постулатов.
Историки математики до сих пор не могут окончательно договориться, как именно Евклид различал аксиомы и постулаты.
В общем у Евклида аксиомы (он сам называет их «общие достояния нашего ума») — истины, относящиеся к любым (а не только к геометрическим) объектам. Например, если А равно С и В равно C, то А равно В. Здесь А и В могут быть числа, отрезки, веса тел, треугольники…
Постулаты же — чисто геометрические аксиомы. Например, первый постулат Евклида: «От каждой точки ко всякой другой точке можно провести прямую линию».
Есть у Евклида и Основные Понятия.
Приводить всю его систему аксиом вряд ли стоит, потому что — мы уже раз десять говорили это — она совершенно неудовлетворительна. Собственно, аксиом планиметрии у Евклида шесть, и мы их опустим. Но постулаты процитируем. Вот первые четыре.
«Нужно потребовать:
I. Чтобы от каждой точки ко всякой другой точке можно было провести прямую линию.
II. Чтобы каждую ограниченную прямую можно было продолжить неограниченно.
III. Чтобы из любого центра можно было описать окружность любым радиусом.
IV. Чтобы все прямые углы были равны между собой».
Не будем пока подчеркивать плохое в этих постулатах. Простим на время Евклиду и «Началам» все «первобытные недостатки» их, как выразился однажды Николай Иванович Лобачевский. Сейчас нам важно, что все четыре постулата очень элементарны по содержанию. Евклид постулирует здесь абсолютно естественные, понятные, неотъемлемые от нашего сознания, нашей интуиции истины. Все хорошо. И…
Следует пятый постулат.
Глава 3Пятый постулат
Вот он, постулат V.
Если при пересечении двух прямых, лежащих в одной плоскости, третьей сумма внутренних односторонних углов меньше 2d (180°), то эти прямые при достаточном продолжении пересекаются, и притом с той стороны, с которой эта сумма меньше 2d.
Чего стоит одна формулировка! Во-первых, масса слов. Во-вторых, сколько геометрических понятий! Человек, незнакомый с основами геометрии, вообще ничего не поймет. Постулат совершенно не похож на предыдущие. Он звучит как теорема. И не слишком простая. Он явно выглядит странно. И прежде чем мы пойдем дальше, позвольте преклониться перед Евклидом.
Хотя у меня, естественно, нет доказательств, я убежден: пятый постулат сознательно сформулирован в столь нехорошей форме. И в этом таится великая мудрость «творца «Начал».
Из всех возможных формулировок пятого постулата Евклид выбрал наисложнейшую, наинеуклюжейшую. Почему? Чтобы ответить, посмотрим, как он строит геометрию.
После аксиом и постулатов Евклид, естественно, доказывает теоремы. И 28 первых теорем он доказывает, игнорируя пятый постулат. Для этих теорем он не нужен. Они — эти «28» — безразличны к пятому постулату. Они, как говорят, относятся к абсолютной геометрии.
Среди «28» есть и теорема о внешнем угле треугольника. У Евклида она идет за № 16. Заключают список, как, вероятно, догадались проницательные читатели, теоремы № 27 и № 28. Эти теоремы содержат так называемую «прямую теорию» параллельных линий. Докажем их, объединив в одну.
Пусть две прямые пересекаются третьей в точках Р и Р1.
Утверждается: если <А =
Доказываем от противного. Допустим сначала, что прямые пересеклись в точке C. Тогда возник Δ РР1С, у которого внешний <A1 равен внутреннему, не смежному с ним <А. Но это невозможно. Теорема — «Внешний угол треугольника всегда больше любого внутреннего угла, не смежного с ним» — не допускает этого! Следовательно, прямые не могут пересечься при продолжении направо.
Есть вторая возможность. Прямые пересеклись в точке C1. Тогда возникает Δ РР1С1. Для него — <B внешний, а <B1 — внутренний, не смежный с <B.
Но <B = <A; <B1 = <A1 как вертикальные.
Однако <A = <A1 — это дано в условии; значит, <B = <B1.
И по существу, все закончено.
Для гипотетического треугольника РР1С1<В внешний, а <B1 — внутренний, не смежный с ним. И они равны. Но этого не может быть. Значит, Δ РР1С1 существовать не может. И значит, прямые не пересекаются и в точке С1.
Теорема доказана полностью.
Конечно, читателям ясно, что В и В1 были введены, чтобы для гипотетического Δ РР1С1 полностью скопировать ситуацию, которая сразу возникла для Δ РР1С (для первого треугольника).
Теперь, чтобы полностью повторить Евклида, введем в наш рисунок еще четыре угла. Какие — видно на чертеже.
Из равенства <A = <A1 немедленно следует целое семейство равенств.
1. <B = <A1; <C = <D1 — эти углы называются «внешними накрест лежащими».
2. <А = <B1; <D = <С1 — это «внутренние накрест лежащие».
3. <D = <D1; <C = <С1; <B = <B1; и, само собой, <A = <A1. Все эти углы называются соответственными.
<D + <B1 = π;
<А + <С1 = π;
<С + <А1 = π;
<B + <D1 = π.
Здесь выступают внутренние и внешние односторонние углы.
Подчиняясь общепринятому порядку, я привел все эти двенадцать равенств и несколько сожалею об этом. Обилие равенств может затуманить ясный вопрос. А вообще достаточно любого соотношения. Любого — на выбор. Одиннадцать остальных сразу получаются, если справедливо хоть одно. Мы «танцевали» от равенства <A = <A1. Можно было идти от любого другого.
Мы доказали, что, если выполняется любое из наших двенадцати равенств, прямые параллельны. Это и есть две теоремы Евклида: № 27 и № 28.
Кстати, теперь уместно вспомнить, что теорема о параллельности двух перпендикуляров к общей прямой — первая теорема, доказанная в этой книге, — есть частный случай нашей теоремы о параллельных.
Доказав теорему, геометр всегда исследует обратную теорему. В обратной теореме данным считается то, что доказывалось в прямой, а доказывается, естественно, то, что в прямой считалось данным.
С прямыми и обратными теоремами связана одна из самых распространенных логических ошибок начинающих. Часто невольно полагают, что из прямой теоремы автоматически следует обратная.
Как опровергающий пример я могу привести известное рассуждение капитана Врунгеля, которое бережно берег в памяти много лет на этот случай.
Всякая селедка — рыба.
Всякая рыба — селедка.
В некоторых традициях популярной литературы следовало бы еще добавить, что этот пример имеет шутливый характер. Но от этого я все же воздержусь.
Примеры из геометрии (евклидовой):
I. Если в треугольниках АВС и A1B1C1 стороны АВ = А1В1; АС = А1С1 и <А = <А1, то Δ АВС = Δ А1В1С1.
I. Если Δ АВС = Δ А1В1С1, то стороны АВ = А1В1, АС = А1С1 и <А = <А1.
II. Два перпендикуляра к общей прямой параллельны.
II. Если две параллельные прямые пересекаются третьей, то они перпендикулярны к ней.
III. Если Δ АВС подобен Δ А1В1С1, то АВ/А1В1 = АС/А1С1.
III. Если для треугольников ABC и А1В1С1 справедлива пропорция АВ/А1В1 = АС/А1С1 то треугольники подобны.