В заведомо параллельную прямую II, то есть прямую, удовлетворяющую «прямой теореме о параллельных». Докажите, что она пройдет так, как показало на чертеже.
Минуту подумайте теперь и снова, использовав постулат Лежандра, докажите, что прямая II пересечет прямую I.
Тем самым вы «доказали» постулат Евклида. Но не забудьте, что воспользовались эквивалентным постулатом.
Если вы были несколько смущены условием <А<π/2, убедитесь, что оно не ограничивает общности рассуждения.
Проверьте теперь, нет ли в рассуждении ошибок.
Приведенное доказательство имеет по меньшей мере две примечательные особенности.
Во-первых, мы попутно доказали, что стоит принять постулат Лежандра — эквивалент постулата Евклида, как нашелся треугольник, сумма углов которого равна π.
Во-вторых, я нигде не читал этого доказательства, а придумал его за несколько минут. Пишу это отнюдь не из честолюбивой надежды, что читатель будет восхищен моим математическим талантом.
Эквивалентность постулатов Лежандра и Евклида можно доказать и проще и изящней, буквально в две строчки. Нужно только взять пятый постулат в форме аксиомы Плейфера («Через данную точку к данной прямой можно провести лишь одну параллельную»).
Так что, вообще говоря, теорема наша и неуклюжа и ненужна. Ее появление оправдано лишь тем, что она подсказывает другую и уже действительно важную теорему: если сумма углов треугольника равна π, справедлив пятый постулат. Кроме того, она полезна и для «разминки». А самое основное, мне кажется, подобные «исследования» показывают, как самые первые, самые наивные шаги сразу приводят к все новым и новым эквивалентам пятого постулата. И конечно, нет сомнений, что наша нехитрая ниточка рассуждений была протянута не одним и не двумя комментаторами Евклида.
Но, убедившись, как несложно упрощать формулировки пятого постулата, мы невольно должны задуматься: почему же не сделал этого сам Евклид?
Автор не может удержаться. Обстановка требует риторических вопросов. Вот и они.
Неужели Евклид не пытался доказывать свою теорему?
Неужели ученый такого масштаба, такой тонкий аналитик не смог получить несколько элементарных следствий и выбрать за постулат наиболее естественное и очевидное?
Неужели он — последователь Аристотеля и Платона — мог упустить такую возможность?
Неужели он мог погубить всю гармонию геометрии, вызвав тем самым гнев бессмертных олимпийских богов?
Неужели любой из великого скопища комментаторов глубже и лучше разбирался в проблеме, чем он?
Читатели, конечно, отлично понимают, что все эти лицемерные восклицания автор позволяет себе с единственной целью — подчеркнуть абсурдность подобных предположений. Говоря же серьезно, наиболее правдоподобная версия такова.
Евклид, как и его предшественники, безусловно, пытался свести пятый постулат в ранг теоремы — доказать его, не привлекая дополнительных предположений.
Учитывая исключительное положение пятого постулата в «Началах», а также пресловутые 28 теорем, предшествующие ему, можно уверенно заключить, что эта проблема волновала Евклида, что уделял он ей особое внимание.
Вспомнив, что все методы элементарной геометрии были полностью разработаны уже в те времена, вспомнив, что, например, исследования по теории конических сечений неизмеримо сложнее большинства рассуждений, связанных с пятым постулатом…
Вспомнив (еще раз), что пятый постулат в той форме, как приводит его Евклид, — это граничащий с издевкой вызов всем требованиям Платона и Аристотеля…
Вспомнив, что Евклид был, судя по всему, их верным последователем…
Вспомнив, наконец, что Евклид был блестящий геометр…
Мы приходим к единственному выводу.
В процессе тщетных попыток доказать пятый постулат Евклид, по-видимому, нашел несколько эквивалентных формулировок. Простых. И очевидных. Но Евклид оказался на высоте.
С одной стороны, он ясно понимал, что, не используя какого-либо эквивалентного предположения, доказать постулат не удается. А с другой — ни одна из эквивалентных форм пятого постулата не удовлетворяла, на его вкус, требованию очевидности. Поэтому он пришел к выводу, что положение очень печально и задача не решена. И, как честный геометр, он решил особо подчеркнуть: пятый постулат — отверженный, презренный уродец в дружном семействе аксиом. А если так, то выбор самой сложной формы и целесообразен и полностью оправдан.
Евклид как бы нарочито подталкивает своих коллег. Не обольщайтесь, не ищите утешения в более приятных эквивалентах моего постулата, не пытайтесь скрыть изъян. Все равно вы не добьетесь той желанной самоочевидности, которая требуется от аксиом. Этот постулат не что иное, как «обратная теорема о параллельных». Его надо доказать при помощи остальных постулатов. Или будет разрушена красота и гармония геометрии. Я не смог разжаловать этот постулат в ранг теоремы. Попробуйте вы.
Короче говоря, я полагаю, что Евклид разобрался в сути лучше и глубже, чем подавляющее большинство его комментаторов. Они либо попадали под гипноз собственных анализов и убеждали себя, что постулат доказан, либо пытались сформулировать какой-либо эквивалентный, «более естественный» постулат. Евклид же, очевидно, ясно понимал, что первой задачи ему решить не удалось, а искать «очевидные» формулировки — означает загонять болезнь вглубь.
Во всей этой довольно стройной версии есть, конечно, слабое место. Если были какие-то исследования, то непонятно, почему Евклид их не опубликовал. Это неясно и автору. Возможно, он считал неудобным публиковать теоремы, не приводящие к каким-то результатам. Может быть, он, как и многие крупные ученые, не любил публиковать незавершенных работ. Не напечатал же Гаусс свои исследования по неевклидовой геометрии! А быть может, какая-то рукопись и существовала.
Как видите, у меня есть очень удобная отговорка. Действительно, сведения наши очень скудны.
Практически наиболее солидный древний источник по истории пятого постулата — это комментарий Прокла к Евклиду. А это, как должен помнить читатель, уже V век нашей эры.
Здесь мы прощаемся с Евклидом. И, расставаясь, скажем ему несколько теплых слов.
Он был хороший, более того — блестящий математик. И великий педагог. Невольно хочется верить, что он был столь же хороший человек, что прожил он долгую и счастливую жизнь в своей солнечной Александрии, распивая с друзьями в минуты отдыха сладкое хиосское либо терпкое кипрское — разбавленное, разумеется: пьянство — порок скифов, но не эллинов, — посмеиваясь над Птолемеем, поучая учеников, читая Гомера и непрестанно работая до конца дней. И будем верить, что каждодневно он возносил хвалу олимпийским богам за то, что они сделали его геометром.
Приятно думать так. И раз уж никто, за отсутствием данных, не сможет нас опровергнуть, так и будем считать.
На этом… Евклиду, сыну Наукрата, прощальный привет.
Задача поставлена.
Посмотрим, что происходило дальше.
Рассматривается шесть Основных Понятий. А именно. Три Основных Образа (объекта): точка, прямая, плоскость. Три Основных Соотношения: принадлежности (инцидентности), «лежать между» (для точек), движения или совмещения.
I. Аксиомы соединения (сочетания).
1. Через две точки проходит одна, и только одна, прямая.
2. Всякая прямая содержит по крайней мере две точки.
3. Существуют по крайней мере три точки, не расположенные на одной прямой.
II. Аксиомы порядка.
1. Из трех точек, лежащих на одной прямой, одна, и только одна, лежит между двумя другими.
2. Если А и В — различные точки прямой, то существует по крайней мере одна точка С, лежащая между А и В.
3. Если прямая пересекает одну сторону треугольника (то есть содержит точку, расположенную между двумя вершинами), то она либо проходит через вершину противоположного угла, либо пересекает еще одну сторону треугольника.
Используя аксиомы порядка, можно определить очень важные для дальнейшего понятия. А именно: понятия: «отрезок» «полупрямая» (луч), «угол».
III. Аксиомы движения.
Движение у математиков — понятие основное (первичное). Свойства этого математического движения и определяются аксиомами.
1. При заданном преобразовании движения, обозначим его Д, любая точка А преобразуемой плоскости переходит в одну определенную точку А′.
2. При заданном преобразовании движения Д — в любую точку А′ нашей плоскости переходит некоторая ее точка А.
3. При заданном преобразовании движения Д — различные точки А и В переходят в различные точки А′ и В′.
Эти три аксиомы и показывают, что движение — взаимно однозначное преобразование плоскости в самое себя.
4. Последовательное выполнение двух любых преобразований движения Д1 и Д2 также есть преобразование движения. Мы будем обозначать его Д2 · Д1.
5. Всякое движение Д имеет обратное себе движение Д–1, такое, что произведение Д–1 · Д есть движение, оставляющее все точки плоскости на месте, то есть так называемое тождественное преобразование.
Ввиду аксиомы 4 очевидно, что тождественное преобразование (покой) следует рассматривать как частный случай преобразования движения.
Далее идут аксиомы, показывающие, что при движении не происходит «деформации» плоскости.
6. Если движение преобразует концы отрезка АВ в концы отрезка А′В′ то всякая внутренняя точка отрезка АВ переходит при этом во внутреннюю точку отрезка А′В′.
Теперь следует важнейшая аксиома. Без нее невозможно установить понятие равенства фигур.
7. Если А, В и С — три точки некоторой фигуры, не лежащие на одной прямой, то эту фигуру можно переместить так, что: