Но и для конечных множеств метод пересчета не всегда удобен. Мы на танцплощадке. Как узнать, поровну ли здесь юношей и девушек? Конечно, можно попросить юношей отойти в одну сторону, а девушек в другую и заняться подсчетом как тех, так и других. Но, во-первых, мы получим при этом избыточную информацию, нас не интересует, сколько здесь юношей и девушек, а интересует лишь, поровну ли их. Во-вторых, не для того собралась молодежь на танцплощадке, чтобы стоять и ждать конца пересчета, а для того, чтобы потанцевать. Удовлетворим их желание и попросим оркестр сыграть какой-нибудь танец, который все умеют танцевать. Тогда юноши пригласят девушек на танец и наша задача будет решена. Ведь если окажется, что все юноши и все девушки танцуют, то есть если вся молод ежь разбилась на танцующие пары, то ясно, что на площадке ровно столько же юношей, сколько и девушек.
Совершенно тем же способом можно узнать, что число зрителей в театре равно числу театральных кресел. Если во время спектакля все места заняты, причем никто из зрителей не стоит в проходах и на каждом месте сидит один зритель, то можно быть уверенным, что зрителей ровно столько же, сколько и театральных кресел.
На каждый прилив — по отливу.
Мы познакомились с тем, как узнать, что два конечных множества имеют поровну элементов, не прибегая к пересчету этих множеств. Этот способ можно применить и для бесконечных множеств. Только здесь уж не удастся прибегнуть к помощи "оркестра", а придется самим располагать элементы двух сравниваемых множеств в "танцующие пары".
Итак, пусть у нас даны два множества А и В. Говорят, что между ними установлено взаимно однозначное соответствие, если элементы этих множеств объединены в пары (a, b) так, что:
1. элемент a принадлежит множеству A, а элемент b — множеству B;
2. каждый элемент обоих множеств попал в одну и только одну пару.
Например, если множество A состоит из юношей на танцплощадке, а множество B — из девушек на той же площадке, то пары (a, b) образуются из танцующих друг с другом юноши и девушки. Если множество A состоит из зрителей, а множество B — из театральных кресел, то пара (a, b) образуется из зрителя и кресла, на котором он сидит. Читатель сам легко придумает разнообразные примеры таких соответствий между множествами равной численности.
Разумеется, не всякое соответствие между множествами является взаимно однозначным. Если множество A состоит из всех деревьев на Земле, а множество B — из растущих на них плодов, то между этими множествами можно установить соответствие: каждому плоду сопоставить дерево, на котором он растет. Но это соответствие не будет взаимно однозначным: на некоторых деревьях растет помногу плодов, а другие сейчас не плодоносят. Поэтому одни элементы a (деревья) будут участвовать во многих парах, а другие элементы a не войдут ни в одну пару.
Существование взаимно однозначного соответствия для конечных множеств равносильно тому, что у них поровну элементов. Важнейшим поворотным пунктом в теории множества был момент, когда Кантор решил применить идею взаимно однозначного соответствия для сравнения бесконечных множеств.
Иными словами, по Кантору, два (быть может, и бесконечных) множества A и B имеют поровну элементов, если между элементами этих множеств можно установить взаимно однозначное соответствие.
Обычно математики не говорят, что "множества A и B имеют поровну элементов", а говорят, что "A и B имеют одинаковую мощность" или "множества A и B эквивалентны".
Таким образом, для бесконечных множеств слово мощность значит то же самое, что для конечных множеств "число элементов".
Еще до Кантора к понятию взаимно однозначного соответствия пришел чешский ученый Б. Больцано. Но он отступил перед трудностями, к которым вело это понятие. Как мы вскоре увидим, после принятия принципа сравнения бесконечных множеств с помощью взаимно однозначного соответствия пришлось расстаться со многими догмами.
Равна ли часть целому?
Основной догмой, которую пришлось отбросить, было положение, установленное на самой заре развития математики: часть меньше целого. Это положение безусловно верно для конечных множеств, но для бесконечных множеств оно уже теряет силу. Вспомните, как расселил директор необыкновенной гостиницы космозоологов по четным номерам. При этом расселении жилец из № n переезжал в № 2n. Иными словами, расселение шло по следующей схеме:
Но эта схема устанавливает взаимно однозначное соответствие между множеством натуральных чисел
1, 2, 3, ..., n, ...
и его частью — множеством четных чисел
2, 4, 6, ..., 2n, ...
А мы договорились считать, что множества, между которыми можно установить взаимно однозначное соответствие, содержат поровну элементов. Значит, множество натуральных чисел содержит столько же элементов, сколько и его часть — множество четных чисел.
Точно так же можно установить взаимно однозначное соответствие между множеством натуральных чисел и множеством чисел вида
10, 100, 1000, 10 000, ...
Для этого надо сопоставить каждому натуральному числу n число 10n:
n→10n.
Этим желаемое взаимно однозначное соответствие и устанавливается. Аналогично устанавливается взаимно однозначное соответствие между множеством натуральных чисел и множеством всех квадратов натуральных чисел:
n→n2
или множеством всех кубов натуральных чисел:
n→n3
и т. д.
Вообще между множеством всех натуральных чисел и любой его бесконечной частью всегда можно установить взаимно однозначное соответствие. Для этого достаточно перенумеровать по порядку числа из этой части.
Впрочем, пе зря говорят, что ничто не ново под лупой, а новое — это только хорошо забытое старое. Еще в начале XVII в. Галилей размышлял о противоречиях бесконечного и обнаружил возможность взаимно однозначного соответствия между множеством натуральных чисел и множеством их квадратов. В его книге "Беседы и математические доказательства, относящиеся к механике по местному движению" (1638 г.) приведен диалог, в котором Сальвиати, выражающий мысли самого Галилея, говорит:
"Сказанное нами относится к числу затруднений, происходящих вследствие того, что, рассуждая нашим ограниченным разумом о бесконечном, мы приписываем последнему свойства, известные нам по вещам конечным и ограниченным. Между тем это неправильно, так как такие свойства, как большая и меньшая величина и равенство, неприменимы к бесконечному, относительно которого нельзя сказать, что одна бесконечность больше или меньше другой или равна ей".
В подтверждение своей мысли Сальвиати отмечает, что, с одной стороны, "квадратов столько же, сколько существует корней, так как каждый квадрат имеет свой корень и каждый корень — свой квадрат; ни один квадрат не может иметь более одного корня, и ни один корень — более одного квадрата...[47] При этом число корней равно количеству всех чисел вообще, потому что нет ни одного числа, которое не могло бы быть корнем какого-нибудь квадрата; установив это, приходится сказать, что число квадратов равно общему количеству всех чисел..."
С другой стороны, Сальвиати отмечает, что "количество всех чисел вместе — квадратов и неквадратов — больше, нежели одних только квадратов", причем "числа квадратов непрерывно и в весьма большой пропорции убывают по мере того, как мы переходим к большим числам". В качестве единственного выхода из обнаруженного противоречия Сальвиати предлагает следующее:
"Я не вижу возможности никакого другого решения, как признать, что бесконечно количество чисел вообще, бесконечно число квадратов, бесконечно и число корней. Нельзя сказать, что число квадратов меньше количества всех чисел, а последнее больше: в конечном выводе свойства равенства, а также большей и меньшей величины не имеют места там, где дело идет о бесконечности, и применимы только к конечным количествам".
Мы видим, что Галилей, по сути дела, владел идеей взаимно однозначного соответствия и видел, что такое соответствие можно установить между множеством всех натуральных чисел и множеством квадратов, а потому эти множества можно считать имеющими одинаковое количество элементов. Понимал он и то, что для бесконечных множеств часть может быть равной целому. Но отсюда он сделал неверный вывод, что все бесконечности одинаковы: он имел дело лишь с бесконечными подмножествами натурального ряда, а их можно перенумеровать.
Галилей не мог себе представить, что множество всех точек отрезка перенумеровать нельзя (это вскоре будет показано). Подобно атомистам древности, он полагал, что отрезок складывается из поддающейся пересчету бесконечной совокупности атомов.
Счетные множества.
Все множества, которые имеют столько же элементов, сколько имеет множество натуральных чисел, называют счетными. Иными словами, множество называется счетным, если оно бесконечно, но его элементы можно перенумеровать натуральными номерами. Например, множество четных чисел, множество нечетных чисел, множество простых чисел, да и вообще любая бесконечная часть множества натуральных чисел являются счетными множествами.
Иногда, для того чтобы установить счетиость того или иного множества, надо проявить изобретательность. Возьмем, например, множество всех целых чисел (как положительных, так и отрицательных):
..., -n, ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ..., n, ...
Если мы попробуем нумеровать его по порядку, начиная с какого-нибудь места, то никогда эту нумерацию не закончим. Поэтому все числа до выбранного места останутся незанумерованными. Чтобы не пропустить при нумерации ни одного числа, надо записать это множество в виде двух строк