Мы установили взаимно однозначное соответствие между точками квадрата и частью точек отрезка [0, 1]. Это показывает, что множество точек квадрата имеет не большую мощность, чем множество точек отрезка. Но его мощность и не меньше, а потому эти мощности совпадают.
Не только квадрат, но и куб имеет столько же точек, сколь и отрезок. Вообще любая геометрическая фигура, содержащая хоть одну линию, имеет столько же точек, сколько и отрезок. Такие множества называют множествами мощности континуума (от латинского continuum — непрерывный).
Существует ли множество самой большой мощности?
Пока что самой большой мощностью, которую мы знаем, является мощность множества точек на прямой, то есть мощность континуума. Ни множество точек квадрата, ни множество точек куба не имеют большей мощности. Не является ли мощность континуума самой большой? Оказывается, что нет. Более того, вообще нет множества самой большой мощности. Для любого множества A есть множество, мощность которого больше мощности A. Этим множеством является, например, множество В всех функций, заданных на множестве A и принимающих значения 0 и 1.
Покажем сначала, что мощность множества B не меньше, чем мощность множества A. Для этого каждой точке α множества A поставим в соответствие функцию fa(x), принимающую в этой точке значение 1, а в остальных точках значение 0. Ясно, что разным точкам соответствуют разные функции. Например, если множество A состоит из трех точек 1, 2, 3, то точке 1 соответствует функция, принимающая в этой точке значение 1, а точке 2 — функция, принимающая в точке 1 значение 0. Эти функции не равны друг другу.
Итак, мощность множества B не меньше мощности множества A. Покажем теперь, что эти мощности не равны друг другу, то есть что нет взаимно однозначного соответствия между элементами множеств A и B.
В самом деле, предположим, что такое соответствие существует. Обозначим тогда функцию, соответствующую элементу a из A, через fa(x). Напомним, что все функции fa(x) принимают только два значения: 0 и 1.
Составим новую функцию φ(x), заданную равенством
φ(x) = 1 — fx(x).
Таким образом, чтобы найти значение функции φ(x) в некоторой точке а из A, надо найти сначала соответствующую этой точке функцию fa(x) и вычесть из 1 значение этой функции x = a. Ясно, что функция φ (x) также задана на множестве A и принимает значения 0 и 1. Следовательно, φ (x) является элементом множества B. Но тогда, по предположению, φ (x) соответствует некоторой точке b из A, а значит,
φ(x) = fb (x).
Учитывая первое равенство для φ(x), получаем, что для всех x из A
1 — fx(x) = fb(x),
Положим в этом равенстве x = b. Мы найдем тогда, что
1 — fb(b) = fb(b),
и потому
Но это противоречит тому, что значения функции fb(x) равны 0 и 1. Полученное противоречие показывает, что взаимно однозначного соответствия между множествами A и B быть не может.
Итак, для любого множества A можно построить множество B большей мощности. Поэтому множества самой большой мощности не существует. Отправляясь от самой малой из бесконечных мощностей — мощности множества натуральных чисел, мы получим сначала мощность континуума, потом мощность множества всех функций, заданных на множестве действительных чисел, и будем без конца подниматься вверх по этой головокружительной лестнице все увеличивающихся бесконечных мощностей.
Арифметика бесконечности.
Арифметика натуральных чисел не сводится к простому счету "один, два, три..." Натуральные числа можно складывать и вычитать, умножать и возводить в степень. Эти операции тесно связаны с операциями над конечными множествами. Складывая натуральные числа m и n, мы подсчитываем число элементов в объединении двух множеств, одно из которых содержит m элементов, а другое — n элементов (при этом, конечно, нужно, чтобы объединяемые множества не имели общих элементов — иначе получится меньше элементов, чем нужно). А умножая m на n, мы подсчитываем число пар (a, b), первый элемент которых принадлежит множеству A, состоящему из m элементов, а второй — множеству B, содержащему n элементов. В математике множество таких пар называют декартовым произведением множеств A и B и обозначают A×B.
Обозначим объединение множеств A и B, не имеющих общих элементов, через A+B, а мощность множества A — через |A|. Тогда сказанное выше можно записать так:
|A + B| = |A| + |B|,
|A×B| = |A||B|.
Но левые части этих равенств имеют смысл и для бесконечных множеств. Это позволяет определить операции сложения и умножения для бесконечных мощностей. С их помощью установленные ранее утверждения о мощностях можно записать в виде формул, где через N обозначено множество натуральных чисел, а через Δ — множество точек отрезка [0; 1]:
n + |N| = |N|, |N| + |N| = |N|, |N| = |N|, |N| + |Δ| = |Δ|, |N||Δ| = |Δ|, |Δ||Δ| = |Δ|
и т. д. Например, равенство |N||N| = |N| означает, что счетное множество счетных множеств счетно, а равенство |Δ||Δ| = |Δ|,- что квадрат имеет столько же точек, что и отрезок.
Для бесконечных мощностей можно определить и операцию возведения в степень с бесконечным же показателем. Несложно доказать, что число отображений множества A в множество B равно |B||A|. Поэтому и для бесконечных мощностей смысл записи |B||A| определяется аналогичным образом. Например, равенство 2|N| = |Δ| означает, что множество бесконечных последовательностей, составленных из нулей и единиц, имеет мощность континуума.
Далеко не все законы обычной арифметики переносятся в область арифметики натуральных чисел. Кантор говорил, что законы арифметики бесконечности коренным образом отличаются от зависимостей, царящих в области конечного.
Трансфинитные числа.
Натуральные числа применяют не только для ответа на вопрос "сколько?", но и для ответа на вопрос "какой по счету?" Иными словами, их используют не только как количественные, но и как порядковые числа. Мощности можно использовать лишь как количественные числа. Для описания порядка нужны иные понятия. Даже самое простое из бесконечных множеств — множество N натуральных чисел — можно упорядочить бесчисленной совокупностью возможностей. Кроме стандартного расположения 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... можно поступить и так: сначала взять все нечетные числа (с их обычным порядком), а потом все четные: 1, 3, 5, ..., 2, 4, 6, ... Но при попытке перенумеровать числа в таком порядке нас постигнет неудача — все номера окажутся затраченными на нечетные числа, а на долю четных чисел ничего не останется. Поэтому кроме обычных номеров понадобятся символы новой природы. Кантор предложил при таком порядке расположения чисел нумеровать число 2 символом ω, число 4 — символ ω+1 и т. д.
Еще больше символов понадобится, если сначала выписать все числа, делящиеся на 3, потом дающие при делении на 3 остаток 1, и, наконец, числа, дающие при таком делении остаток 2:3,6, 9,..., 1,4,7,..., 2,5,8,... Здесь для нумерации числа 2 понадобится символ ω*2, число 5 будет занумеровано символом ω*2+1 и т. д. А если выписать сначала все простые числа, потом числа, разлагающиеся в произведение двух простых множителей, трех простых множителей и т. д., а в самом конце записать число 1, которое не относится ни к простым, ни к составным числам, то для обозначения последнего элемента придется применить совсем новый символ ωω.
Кантор придумал еще много различных расположений множества натуральных чисел, причем все они (как и разобранные выше) обладали следующим свойством: каждая часть множества натуральных чисел имела в таком расположении наименьший элемент. Он назвал множества, элементы которых расположены в одном из этих порядков, вполне упорядоченными (термин применяется и для несчетных множеств), а символы, введенные им для нумерации элементов вполне упорядоченных множеств,- трансфинитными числами (от латинских слов trans — за и finitae — конечный). Изучая свойства трансфинитных чисел, Кантор пришел к следующей проблеме: какую мощность имеет множество всех счетных трансфинитов? Легко показать, что она несчетна, но не превосходит мощности континуума. А вот равна ли она этой мощности или меньше ее, на этот вопрос не смогли дать ответ ни сам Кантор, ни его многочисленные ученики и последователи. О современном состоянии указанной проблемы, называемой проблемой континуума, будет рассказано в главе 4.
В начале XX в. теория бесконечных множеств превратилась в модную область математической науки. Некоторые специалисты придавали очень большое значение исследованиям в этой области. Например, А. Френкель писал: "Завоевание актуальной бесконечности методами теории множеств можно рассматривать как расширение нашего научного кругозора, не меньшее по значению, чем коперникова система в астрономии и теория относительности и даже квантовая теория в физике".
Но самый строгий судья научных теорий — время ставит в конце концов все на свои места. Постепенно все реже и реже стали появляться работы, в которых бы использовались трансфинитные числа, исследовались мощности, отличные от счетной или континуальной. Множества с такими мощностями можно получить, рассматривая, например, все части плоскости или все функции на отрезке [0; 1]. Но дело в том, что и в теоретических исследованиях, и для решения практических проблем, нужны не любые части плоскости и не любые функции, а лишь получаемые с помощью фиксированных процессов из некоторых простейших. А множества таких "хороших" частей или функций имеют мощность континуума.
И хотя, по словам П. С. Александрова