поставить в соответствие бесконечную телеграмму, заменив 0 на точку, а 2 — на тире. При этом разным числам будут соответствовать разные телеграммы. Мы знаем, что множество бесконечных телеграмм имеет мощность континуума. Поэтому и множество "мокрых" точек имеет ту же мощность.
Множество точек, которые мы назвали "мокрыми", впервые построил Кантор, и его называют канторовым множеством. Из построения палаток видно, что около каждой точки канторова множества есть бесконечно много максимумов и минимумов пилообразной линии.
Чертова лестница.
С тем же самым канторовым множеством связана еще одна интересная функция. Она строится следующим образом. Снова разделим отрезок [0, 1] на три равные части и положим, что во всех точках средней части наша функция равна 1/2. Потом левую и правую трети снова разделим на три равные части и положим, что от 1/9 до 2/9 функция равна 1/4, а от 7/9 до 8/9 она равна 3/4. Теперь у нас остались четыре отрезка, на которых функция еще не определена:
Разделим каждый из них на три равные части и на каждой из средних частей положим функцию равной соответственно
Продолжая этот процесс, мы получим функцию, которая определена во всех "сухих" точках, то есть во всех точках, не принадлежащих канторову множеству. Ее легко определить и в точках этого множества так, чтобы она стала после этого непрерывной и неубывающей. График получившейся функции приближенно изображен на рис. 14. Он имеет вид лестницы с бесконечным числом ступенек (на графике изображены не все ступени).
Рис. 14
Впрочем, после того как мы познакомились с линиями, имеющими бесконечно много максимумов и минимумов, лестницей с бесконечным числом ступенек вряд ли кого удивишь. Но удивительно другое. Подсчитаем общую длину всех ступенек нашей лестницы. Первая ступень имеет длину 1/3, две вторые — по 1/9, следующие четыре ступени имеют длину по 1/27 и т. д. Таким образом, сумма длин всех ступеней выражается бесконечной геометрической прогрессией
Сумма этой прогрессии равна 1:
Таким образом, общая длина всех ступеней равна 1.
Но на этих ступеньках функция совсем не поднимается вверх, весь ее подъем сосредоточен в точках канторова множества. А на долю этого множества осталось очень "мало" точек: хотя его мощность и равна континууму, но длина равна нулю! (Длина всего отрезка [0, 1] равна 1, и общая длина ступенек тоже равна 1, так что на долю канторова множества остается лишь нулевая длина.) Таким образом, наша функция умудряется подняться вверх на 1, хотя растет только на множестве нулевой длины и не делает нигде скачков! Не правда ли, удивительно?
Колючая линия.
На протяжении многих столетий математики имели дело лишь с линиями, почти в каждой точке которых можно было провести касательную. Если и встречались исключения, то только в нескольких точках. В этих точках линия как бы ломалась, и потому их называли точками излома. Линия, изображенная на рис. 15, а, имеет две точки излома, а линия, изображенная на рис" 15, б,- десять точек излома.
Рис. 15
Но линии, которые мы только что построили, имеют уже бесконечно много точек излома, например линия на рис. 13 ломается во всех точках канторова множества, а кроме того, в вершинах всех треугольников. Однако даже линия на рис. 13 имеет изломы на сравнительно "маленьком" множестве точек, длина которого равна нулю.
В течение долгого времени никто из математиков не верил, что может существовать непрерывная линия, целиком состоящая из зубцов, изломов и колючек. Велико было изумление, когда удалось пои строить такую линию, более того, функцию, график которой был такой колючей изгородью. Первым сделал это Больцано. Но его работа осталась неопубликованной, и впервые такой пример опубликовал Вейерштрасс. Однако пример Вейерштрасса очень трудно изложить — он основан на теории тригонометрических рядов. Пример же Больцано напоминает линии, которые мы строили раньше.
Вот этот пример с небольшими изменениями. Разделим отрезок [0, 1] на четыре равные части и над двумя средними частями построим равнобедренный прямоугольный треугольник (рис. 16, а). Получившаяся линия является графиком некоторой функции, которую обозначим через y = f1(x).
Рис. 16
Разделим теперь каждую из четырех частей еще на четыре равные части и в соответствии с этим построим еще четыре равнобедренных прямоугольных треугольника (рис. 16, б). Мы получим график второй функции y = f2(x). Если сложить эти две функции, то график суммы y = f1(x) + f2(x) будет иметь вид, изображенный на рис. 16, в. Видно, что получившаяся линия имеет уже больше изломов и эти изломы гуще расположены. На следующем шаге мы снова разделим каждую часть еще на четыре части, построим 16 равнобедренных прямоугольных треугольников и прибавим соответствующую функцию y = f3(x) к функции y = f1(x) + f2(x).
Продолжая этот процесс, мы будем получать все более и более изломанные линии. В пределе получится линия, у которой излом в каждой точке и ни в одной точке к ней нельзя провести касательную.
Рис. 17
Похожий пример линии, нигде не имеющей касательной, построил голландский ученый Ван-дер-Варден[66]. Он взял равносторонний треугольник,разделил каждую его сторону на три равные части и на средних частях построил новые равносторонние треугольники, смотрящие наружу. У него получилась звезда. Теперь каждую из двенадцати сторон этой звезды он разделил еще на три части и снова на каждой из средних частей построил правильный треугольник. Получилась еще более колючая линия, изображенная на рис. 17. После бесконечного числа делений и построений правильных треугольников получилась линия, в каждой точке которой есть излом, колючка.
Математики построили много непрерывных функций, графики которых не имели касательной ни в одной точке, и начали изучать их свойства. Эти свойства совсем не походили на свойства "добропорядочных" гладких функций, с которыми они до тех пор имели дело. Поэтому математики, воспитанные в классических традициях, с изумлением смотрели на новые функции. Более того, виднейший представитель классического математического анализа Шарль Эрмит[67] так писал своему другу, голландскому математику Стилтьесу[68]. "Я с ужасом отворачиваюсь от этой достойной сожаления язвы непрерывных функций, не имеющих производной ни в одной точке" (то есть, как мы их называли, всюду колючих линий).
Рис. 18
В физике встречаются линии, очень напоминающие колючие линии Ван-дер-Вардена и других. Это — траектории частиц, совершающих под ударами молекул броуновское движение. Французский ученый Ж. Перрен[69] сделал; зарисовки движения таких частиц. Он наблюдал их положения через каждые полминуты и соединял полученные точки прямолинейными отрезками. В результате у него получились запутанные ломаные, вроде изображенных на рис. 18. Но не следует думать, что в действительности между отдельными наблюдениями частица двигалась по прямой. Если бы Перрен наблюдал ее не через полминуты, а через полсекунды, то каждый прямолинейный отрезок пришлось бы заменить ломаной, столь же сложной, как и ломаные на рис. 18. И чем меньше были бы промежутки между наблюдениями, тем сложнее и "колючее" становилась бы ломаная. Американский математик Н. Винер[70] показал, что движение броуновской частицы, настолько малой, что ее инерцией можно пренебречь, совершается по линии, нигде не имеющей касательной.
Замкнутая линия бесконечной длины.
С линиями бесконечной длины мы встречаемся часто — бесконечную длину имеют прямая линия, парабола, гипербола и т. д. Все эти линии уходят в бесконечность, а потому и неудивительно, что их длина бесконечна. Впрочем, нетрудно построить и линию, целиком лежащую в конечной части плоскости, но имеющую бесконечную длину. Для этого надо взять окружность и намотать на нее спираль с бесконечным числом оборотов. Так как число оборотов бесконечно, а длина каждого витка больше длины окружности, то длина всей спирали бесконечна.
Но может ли существовать замкнутая линия бесконечной длины? Обычные замкнутые линии: окружность, эллипс, кардиоида — имеют конечную длину. Длина же колючей линии Ван-дер-Вардена бесконечна.
В самом деле, легко подсчитать, что после n-го шага получается линия, имеющая периметр 3*(4/3n). Но при возрастании n это выражение стремится к бесконечности. Отсюда и вытекает, что длина линии Ван-дер-Вардена бесконечна.
Математический ковер.
Рассказывают, что Екатерина II однажды спросила какого-то генерала, в чем разница между мортирой и гаубицей. Растерявшийся генерал ответил: "А видишь ли, государыня-матушка, мортира-то она особь статья, а гаубица — особь статья". Примерно столь же содержательный ответ можно получить, если спросить далекого от математики человека, в чем разница между линией, поверхностью и телом. Более того, он удивится, как можно спрашивать о столь очевидных вещах. Ведь всякому ясно, что линия, поверхность и тело — совсем разные вещи, и никто не назовет окружность поверхностью или сферу линией.
Но один остроумный шахматный гроссмейстер сказал, что разница между мастером и начинающим шахматистом состоит в том, что начинающему все ясно в позиции, где для мастера все полно тайны. Так же обстоит дело и с нашим вопросом. Конечно, относительно таких геометрических фигур, как квадрат или окружность, ни у кого не возникает сомнений, линии они или поверхности. Но в ходе развития науки после открытий Кантора появилось много самых причудливых геометрических фигур, относительно которых не только школьник, но и умудренный знаниями профессор математики не сразу ответит, что это такое — линия, поверхность или тело.