Рис. 19
Вот некоторые из этих фигур. Возьмем квадрат со стороной 1, разделим его на 9 равных квадратиков и выкинем среднюю часть (оставив ее стороны). После этого разделим каждый из оставшихся квадратов снова на 9 равных квадратиков и снова удалим центральные квадратики. Еще один такой шаг приведет к фигуре, изображенной на рис. 19, где заштрихованы все выброшенные квадратики. Ясно, что эта фигура еще является поверхностью. Но мы не остановимся и будем бесконечно много раз делить квадратики на 9 равных частей, после чего выбрасывать среднюю часть. В конце концов у нас получится геометрическая фигура, которую называют ковром Серпинского по имени придумавшего ее польского ученого.
Эта фигура похожа на ткань, сотканную сумасшедшим ткачом. Вдоль и поперек идут нити основы и утка, сплетаясь в очень симметричные и красивые узоры. Но сама получившаяся ткань весьма дырява — ни одного целого куска в ней нет, каждый самый маленький квадратик подвергался вырезанию центральной части. И совсем неясно, чем является этот ковер — линией или поверхностью? Ведь, с одной стороны, он не содержит ни одной целой части, а потому вряд ли является поверхностью, а с другой — образующие его нити сплелись в настолько сложный узор, что вряд ли кто-нибудь без колебаний назовет ковер Серпинского линией. Во всяком случае, нарисовать эту "линию" было бы невозможно.
Рис. 20
А ковер Серпинского — не самая сложная из геометрических фигур. Вместо квадрата мы разделим кубик на 27 равных кубиков и выбросим центральный кубик вместе о шестью прилегающими к нему кубиками. После этого разделим каждый оставшийся кубик еще на 27 частей и продолжим операцию выбрасывания (на рис. 20 изображено тело, остающееся после двух выбрасываний). Проделаем эту операцию бесконечно много раз. Чем является оставшаяся после всех выбрасываний геометрическая фигура — линией, поверхностью или телом?
Евклид отказывает в помощи.
Когда перед математиками прежних времен вставал сложный геометрический вопрос, они в первую очередь отправлялись смотреть, что написано об этом у Евклида. Ведь на протяжении почти двух тысячелетий Евклид был эталоном математической строгости и энциклопедией геометрической мудрости. Не зря даже философы, стремясь обезопасить себя от упреков в нестрогости рассуждений, прибегали к языку Евклида и формулировали свои утверждения как аксиомы, леммы и теоремы.
Но как раз по интересующему нас вопросу у Евклида написано нечто совсем невнятное. Первые строки книги Евклида "Начала" гласят следующее:
1. Точка есть то, что не имеет частей.
2. Линия же — длина без ширины.
3. Оконечность же линии — точка.
4. Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину.
5. Оконечность же поверхности — линия.
6. Граница есть то, что является оконечностью чего-либо.
7. Фигура есть то,- что содержится внутри какой-нибудь или каких-нибудь границ.
Нет, как хотите, а это что угодно, но не строгие математические определения. Человек, не знающий, что такое точка, линия, поверхность, вряд ли почерпнет полезные для себя сведения из этих "определений", напоминающих ответ растерявшегося генерала ("Линия — это особь статья, а поверхность — особь статья"). И уж во всяком случае из этих определений не удастся узнать, что такое ковер Серпинского — линия или поверхность,; есть ли у него только длина без ширины или и длина, и ширина.
Но во времена Евклида таких сложных фигур, как ковер Серпинского, не знали, а для простых фигур определения были не слишком нужны: всякий и так мог увидеть, где на чертеже линия, а где поверхность. Впрочем, и сам Евклидг по-видимому, чувствовал, что с определениями основных понятий у него не все ладно. Во всяком случае, приведя эти определения в начале книги, он потом начисто о них забыл и ни разу на протяжении всего труда ими не воспользовался.
Нужны ли строгие определения?
На протяжении двух тысячелетий авторитет Евклида стоял совершенно незыблемо. Усомниться в каком-нибудь его положении означало окончательно и бесповоротно подорвать свою математическую репутацию. Один из величайших математиков XIX в. Карл Фридрих Гаусс, еще до Лобачевского пришедший к идеям неевклидовой геометрии, не решился опубликовать свои исследования, опасаясь, как он писал одному другу, крика беотийцев[71]. И только научный подвиг великого русского геометра Николая Ивановича Лобачевского, который опубликовал свои открытия, невзирая на насмешки не понимавших его ученых, сделал неевклидову геометрию всеобщим достоянием.
После появления трудов Н. И. Лобачевского стало ясно, что существуют две геометрии, одинаково безупречные логически, но приводящие к совершенно различным теоремам. Но если это так, то всякие ссылки на "геометрическую очевидность" полностью потеряли цену. Каждое геометрическое утверждение надо было основывать на строгих определениях, безупречных логических утверждениях. И уж во всяком случае основным геометрическим понятиям — линии, фигуре, телу — надо было дать точные определения, ничем не напоминающие определения типа "это — особь статья, а то — особь статья".
Стремление к строгим определениям характеризовало не только геометрию, но и математический анализ XIX в.
С помощью дифференциального и интегрального исчислений, созданных трудами Ньютона, Лейбница, Эйлера, Лагранжа[72] и других великих математиков XVII и XVIII вв., удалось решить самые разнообразные задачи — от расчета траектории артиллерийского снаряда до предсказания движений планет и комет. Но основные понятия, с помощью которых достигались эти замечательные результаты, были определены крайне нестрого. Основа тогдашнего математического анализа — понятие бесконечно малой величины казалось чем-то стоящим на грани бытия и небытия, чем-то вроде нуля, но не совсем нуля. И математики XVIII в. были вынуждены ободрять своих сомневающихся учеников словами: "Работайте, и вера к вам придет".
Но ведь математика не религия, строить ее на вере нельзя. А самое главное — методы, дававшие столь замечательные результаты в руках великих мастеров, стали приводить к ошибкам и парадоксам, когда ими стали пользоваться менее талантливые ученики. Мастеров оберегала от ошибок их абсолютная математическая интуиция, то подсознательное чувство, которое часто приводит к правильному ответу скорее, чем длинные логические рассуждения. Ученики же такой интуицией не обладали, и конец XVIII в. ознаменовался неслыханным скандалом в математике — наплывом формул, стоивших меньше, чем бумага, на которой они были напечатаны, и сомнительных теорем, область приложимости которых была совершенно неясна.
И, подобно детям, ломающим красивую игрушку, чтобы посмотреть, как она устроена, математики XIX в. подвергли жестокой критике все применявшиеся до того понятия, стали перестраивать математику на базе строгих определений. Ссылки на наглядность отвергались, вместо нее требовали строжайшей логики. Но требованиям логики не удовлетворяли самые простые фразы из курса математического анализа, например такие, как:
"Рассмотрим область G1 ограниченную замкнутой линией Г".
Что такое замкнутая линия? Почему она является границей области? На сколько частей замкнутая линия разбивает плоскость и какую из этих частей рассматривают?
На все эти вопросы математики XVIII в. не давали ответа. Они просто рисовали овал и думали, то этим все сказано. А в XIX в. рисункам уже не верили. Для аналитиков вопрос "что такое линия?" тоже стал одним из самых жгучих.
Однако прошло много времени, прежде чем удалось дать на него исчерпывающий ответ.
Линия — след движущейся точки.
Для того чтобы дать строгое определение линии, надо было исходить из тех наглядных образов, которые привели к созданию этого математического понятия: длинных и тонких нитей, лучей света, длинных и узких дорог. Во всех этих случаях длина настолько больше ширины, что шириной можно пренебречь. В результате математической идеализации мы и приходим к понятию линии, не имеющей ширины.
Первым попытался дать строгое определение того, что такое линия, Камилл Жордан[73]. Линией он называл траекторию движущейся точки. При этом точка должна была двигаться непрерывно, не делая скачков.
Более точно определение Жордана звучало следующим образом. Для того чтобы задать положение движущейся точки, надо задать ее координаты в каждый момент движения. Так как движение продолжается какой-то конечный промежуток времени, то, не теряя общности, можно считать, что этим промежутком является [0, 1]. Иными словами, точка начинает двигаться в некоторый момент времени, принимаемый за начало отсчета, и кончает движение по истечении некоторой единицы времени (одной секунды, минуты, года и т. д.). В каждый момент времени t в течение этого промежутка задаются координаты движущейся точки. Таким образом, координаты точки зависят от момента времени t, являются его функциями. Обозначим эти функции (для случая, когда движение точки происходит в одной плоскости) через f(t) и g(t): x = f(t), y = g(t). Условие, что точка движется непрерывно, означает, что функции f(t) и g(t) непрерывны в каждой точке отрезка [0, 1]. Грубо говоря, при малом изменении t функции f(t) и g(t) должны мало изменяться.
Определение Жордана оказалось довольно удачным. Дуги всех линий, с которыми имели дело математики того времени, оказались кривыми в смысле Жордана, или, как говорят, жордановыми кривыми. Даже линии, составленные из дуг различных кривых, относятся к этому классу.
Теорема очевидна, доказательство — нет.
Жордану удалось, используя введенное им понятие кривой, уточнить смысл той самой фразы из учебников математического анализа, о которой мы уже говорили: "Пусть замкнутая линия Г ограничивает область G". Замкнутая жорданова