Па протяжении веков много раз менялось отношение к апориям Зенона. Иногда казалось, что они полностью опровергнуты, но внимательный анализ показывал, что на каждом уровне знаний всегда остается что-то невыясненное, какой-то зародыш новых трудностей, новых противоречий и нового знания. Известный специалист по теории бесконечных множеств и основаниям математики А. Френкель[11] писал по этому поводу:
"Преодоление пропасти между областью дискретного и областью непрерывного, или между арифметикой и геометрией, есть одна из главных,- пожалуй, даже самая главная проблема оснований математики... Характер рассуждений теперь, конечно, изменился, но трудности, как и прежде, возникли в связи с пропастью между дискретным и непрерывным — этим неизменным камнем преткновения, играющим в то же время чрезвычайно важную роль в математике, философии и даже физике".
Позднее мы познакомимся с другими парадоксами бесконечного , по сравнению с которыми апории Зенона могут показаться весьма наивными. Но известный советский философ Г. И. Наан[12] заметил, что, возможно, человечество никогда не сможет опровергнуть элейского философа на все сто процентов, поскольку бесконечность неисчерпаема, а Зенону удалось схватить в наивной, но гениальной форме три вечные проблемы, тесно связанные друг с другом и с проблемой бесконечности: проблему ничто, проблему непрерывности и проблему существования. Не случайно Аристотель называл Зенона "основателем диалектики", а Гегель видел в нем родоначальника диалектики в современном смысле слова.
Не обошлось, конечно, и без попыток использовать апории Зенона на пользу идеализма. Один видный немецкий философ-идеалист сказал даже, что в этих апориях бесконечность выступает как растворитель действительности.
Мы не будем сейчас подробнее останавливаться на роли апорий Зенона в физике и философии.
Для математики их роль состояла в том, что они вскрыли противоречивость дискретного и непрерывного, показали недопустимость легкомысленного обращения с бесконечностью. После Зенона нельзя уже было по примеру софиста Антифонта[13] считать круг многоугольником с бесконечным числом сторон и таким путем вычислять его площадь. Началась эпоха изгнания бесконечного из математики.
Одну из отчаянных попыток избежать бесконечных процессов в геометрии предпринял Демокрит. Он попробовал построить геометрию на основе своего учения об атомах. Если бы эта попытка удалась, геометрия приняла бы совсем иной вид. Но еще до появления на свет Демокрита в школе Пифагора было доказано, что сторона квадрата несоизмерима с его диагональю. А этого никак не могло случиться, если бы и сторона квадрата и его диагональ состояли из конечного числа неделимых частей. Кроме того, хотя Демокрит и сумел своим методом вычислить объем пирамиды, он не мог понять, равны ли соседние сечения пирамиды — если они равны, то пирамида не может сужаться к вершине, а если они различны, то пирамида шершава. Поэтому его учебник геометрии был вытеснен знаменитыми "Началами" Евклида, основанными на идее безграничной делимости пространства, а философам пришлось искать иные пути для опровержения апорий Зенона.
На зыбкой почве.
Много размышлял о бесконечности и ее свойствах один из величайших философов древности Аристотель. Говоря в своих сочинениях об этом предмете, он предупреждает, что здесь приходится ходить по очень зыбкой почве. Слишком много противоречий накопилось вокруг этого понятия со времен Зенона и Демокрита. Поэтому Аристотель признавал, что "много невозможного следует и за отрицанием существования бесконечного, и за признанием". Он указывал на пять оснований, приводящих к мысли о существовании бесконечности. Четырьмя из них были: бесконечность времени, бесконечное разделение величин, используемое в математике, необходимость бесконечности, чтобы не иссякли возникновение и уничтожение, и то, что конечное всегда граничит с чем-нибудь, а потому не может быть предела конечному. Самым же важным основанием Аристотель считал пятое, а именно что мышление ни на чем не останавливается: и число кажется бесконечным, и математические величины, и то, что лежит за небом. А если лежащее за небом бесконечно, говорил он, то существует множество миров.
И все же, несмотря на такие веские доводы, Философ (так обычно называли в древности Аристотеля) отказался принять идею о существовании бесконечного мира, сказав, что в вопросе о бесконечном доверять мышлению нельзя. Мы не будем следовать за всеми тонкостями рассуждений Аристотеля, в которых он анализирует различные следствия из предположения о существовании бесконечности.
Наиболее важно для нас проведенное им различение двух видов бесконечности: актуальной и потенциальной, то есть, иначе говоря, существующей и становящейся. Примером актуальной бесконечности может служить совокупность частей отрезка, подвергнутого разбиению по Зенону, а примером потенциальной бесконечности — развивающийся во времени процесс деления этого отрезка. Кроме того, Аристотель различал виды бесконечности, называемые сейчас экстенсивной и интенсивной. Первая из них возникает при последовательном и безграничном добавлении новых предметов, а вторая — при безграничном углублении в строение изучаемого объекта.
Аристотель признавал существование лишь потенциальной бесконечности и говорил: "Бесконечность не существует актуально, как бесконечное тело или величина, воспринимаемая чувствами... Бесконечное существует потенциально, бесконечное есть движение...".
Аргументы же Зенона он отвергал, говоря, что движущееся движется, не считая. Разумеется, отвергал Аристотель и предположения о бесконечности Вселенной, считая ее ограниченной крайней сферой, за которой уже нет ни тела, ни места. В то же время в отличие от Платона, думавшего, что мир создан неким демиургом (творцом), Аристотель утверждал несотворимость и вечность мира (впоследствии это навлекло на него упреки многих богословов).
После Аристотеля было признано, что "наука истинна лишь постольку, поскольку основывается на предположении, что непрерывное не состоит из неделимого".
Пришлось и математикам отказаться от использовании понятия бесконечности в своей науке. Например, в "Началах" Евклида оно не используется даже там, где было бы вполне естественно. Евклид не говорит даже, что простых чисел бесконечно много, а утверждает лишь, что их больше, чем любое заранее заданное натуральное число. Он никогда не пользуется движениями бесконечной плоскости, а передвигает лишь треугольники и другие конечные фигуры, да и этими движениями старается пользоваться поменьше — после Зенона понятие движения считалось логически ненадежным.
Чтобы избежать использования бесконечности, предшественник Евклида греческий математик Евдокс[14] выдвинул особую аксиому, которая по сути дела означала, что не существует ни бесконечно малых, ни бесконечно больших величин: любая величина, повторенная достаточно много раз, может превзойти любую другую величину. Эта аксиома и лежала в основе метода исчерпывания, с помощью которого Евклид и Архимед доказывали теоремы о площадях и объемах.
Возрождение бесконечности.
Последние столетия античной цивилизации характеризуются упадком науки, распространением суеверий, веры в чудеса и знамения. Постепенно утрачивается устная традиция, позволявшая понимать сложные умозаключения великих ученых периода расцвета, падает авторитет науки и возрастает доверие к различного рода магам, чудодеям и пророкам. Торжество христианского вероучения завершило этот процесс медленного умирания античной философии и науки. В 415 г. н. э. толпа озверевших христианских фанатиков, натравленная александрийским епископом Кириллом, растерзала последнюю представительницу античной культуры Гипатию[15] и сожгла Александрийскую библиотеку, хранившую сокровища древней культуры.
С тех пор на долгие столетия философия становится служанкой богословия, возрождаются древние суеверия о том, что плоская Земля стоит на трех китах. Лозунгом времени становятся слова богослова Тертуллиана: "Верю, потому что абсурдно". Вопрос о бесконечности тоже переходит в плоскость теологии — она становится атрибутом бога.
Но постепенно вновь распространяются идеи Платона и Аристотеля, начинается сложная работа по приведению в соответствие богословских догм с учениями древних философов. И хотя наиболее ревностные богословы отвергают учения философов-язычников, все большее число ученых переходит на точку зрения, высказанную Альбертом Великим[16]: "Мне нет дела до чудес бога, когда я рассуждаю о естественных вещах, следуя естественной логике". Уже в XIV в. отдельные схоласты начинают признавать вечность мира и даже смертность человеческой души.
В спорах богословов и философов возникают новые идеи, подрывающие как религиозные догмы, так и миросозерцание последователей Аристотеля. В 1277 г. парижский епископ Этьен Тампье обрушивается на учение Философа о вечности и несотворенности Космоса и в то же время допускает идею о возможной множественности миров. Более того, он выдвигает мысль, что небесные сферы могут иметь не только круговое, но и прямолинейное движение. Но ведь это значило, что за последней сферой есть пространство! И хотя в учении Тампье нет ни слова о бесконечности космоса, первый шаг был сделан.
А Фома Брадвардин[17] в XIV в. приходит даже к мысли, что может существовать пустота без материи. Более того, нашлись схоласты, которые отвергали положение Аристотеля о несуществовании актуальной бесконечности. Так называемые инфинитисты утверждали, что понятие актуальной бесконечности не содержит в себе никакого противоречия и потому такая бесконечность может существовать. Джон Баконтроп