Из указанных выше аксиом можно получить существование пустого множества, а также из каждого множества x получить новое множество {x}, единственным элементом которого является x. В систему аксиом Цермело — Френкеля входит, разумеется, аксиома выбора. Кроме того, в этой системе содержится аксиома о том, что образ множества при некотором отображении является множеством. Наконец, в этой системе есть аксиома бесконечности, которая по сути дела утверждает, что существует бесконечное множество натуральных чисел (хотя в ее формулировку это понятие и не входит).
Для любой системы аксиом критическими являются два вопроса: нельзя ли вывести из нее два противоречащих друг другу утверждения и можно ли с ее помощью доказать или опровергнуть любое утверждение, формулируемое в относящихся к ней терминах? Сторонники системы аксиом Цермело — Френкеля усматривают доказательство ее непротиворечивости в том, что до сих пор из нее не удалось вывести противоречивых утверждений (что, впрочем, не гарантирует того же в дальнейшем). В качестве же проверки силы этой системы аксиом был поставлен вопрос о возможности доказать или опровергнуть на ее основе континуум-гипотезу Кантора. Однако и в этом направлении исследования привели к совершенно удивительным результатам.
Началось с того, что в 1939 г. тот же Курт Гёдель доказал невозможность опровержения гипотезы континуума. Присоединив к системе аксиом теории множеств утверждение Кантора, он получил непротиворечивую систему аксиом (разумеется, эта непротиворечивость имела относительный характер при условии, что все остальные аксиомы этой системы не противоречили друг другу).
Но уже давно Лузин предвидел, что может возникнуть парадоксальная ситуация, когда аксиомам теории множеств не будут противоречить ни континуум-гипотеза, ни ее отрицание. В 1963 г. Поль Коэн[109] доказал, что дело обстоит именно так. Ему удалось доказать, что из системы аксиом Цермело — Френкеля нельзя вывести континуум-гипотезу. Кроме того, оказалось, что аксиома выбора не зависит от остальных аксиом Цермело — Френкеля подобно тому, как аксиома о параллельных не может быть ни доказана, ни опровергнута на основе остальных аксиом геометрии. При этом выяснилось, что к системе аксиом, полученной из системы Цермело — Френкеля заменой аксиомы выбора на ее отрицание, можно без противоречия присоединить и утверждение о невозможности полной упорядоченности континуума. Почти одновременно с Коэном близкие (и даже более сильные) результаты получил чешский математик П. Вопенка.
Положение в математике, создавшееся после работ Геделя, Коэна и Вопенки, отчасти напоминает ситуацию, сложившуюся в геометрии после работ Н. И. Лобачевского и Я. Больяи[110]. Но евклидова и неевклидова геометрии были разными математическими моделями реального мира, и выбор между ними касался физики, а не математики — основы математики не были затронуты этими открытиями. Теперь же дело идет именно об этих основах — ведь оказалось, что математик может по своему произволу решать, какая теория множеств ему больше нравится — та, в которой верны аксиома выбора и гипотеза континуума, или та, в которой аксиома выбора отвергается, а континуум нельзя даже вполне упорядочить. Ему предоставляются и иные возможности, например принять аксиому выбора и отвергнуть гипотезу континуума, хотя в этом случае он и обязан считать, что континуум имеет свое место на шкале трансфинитов, но где оно находится, неизвестно.
А если принять во внимание, что теория множеств претендует на роль основы всей математической науки, то получается, что существует не одна математика, а много различных наук, носящих это имя, и выбор между ними — дело исследователя. Разумеется, каждая из математик дает свою математическую модель реального мира, но различие между ними слишком глубоко и затрагивает самые фундаментальные вопросы теории познания. Можно полагать, что если бы Гильберт дожил до работ Коэна, он взял бы назад свои гордые слова: "Математика есть наука, в которой отсутствует гипотеза. Для ее обоснования я не нуждаюсь ни, как Кронекер, в господе-боге, ни, как Пуанкаре, в предположении об особой, построенной на принципе математической индукции, способности разума, ни, как Брауэр, в первоначальной интуиции, ни, наконец, как Рассел и Уайтхед[111], в аксиомах бесконечности, редукции и полноты, которые являются подлинными гипотезами содержательного характера и, сверх того, вовсе неправдоподобными".
Теперешнему математику ближе точка зрения, высказанная известным американским математиком и логиком Куайном[112]:
"С 1901 года появилось большое число теорий множеств, но ни одна из них не имела бесспорного преимущества перед другими. Даже вопрос о том, свободны ли они от собственных противоречий, является спорным в рамках такого рассмотрения, поскольку мы не можем больше доверять здравому смыслу при установлении правдоподобия тех или иных предложений. Теория множеств дискредитирована парадоксами, и в качестве основания математики она оказывается гораздо менее надежной, чем ее надстройка.
Таким образом, теорию множеств, очевидно, не следует рассматривать как основание математики, надеясь на то, что она избавит нас от опасений за прочность классической математики. При разработке всевозможных систем мы пытаемся лишь найти схему, которая воспроизводила бы при соответствующей надстройке принятые законы классической математики. На данном этапе мы рассматриваем теорию множеств как удобный краткий словарь математических терминов, используемый для формулирования общей системы аксиом классической математики".
Приведем еще мнение по этому вопросу академика А. Н. Колмогорова:
"Выяснение вопроса о том, в какой мере и при каких условиях при изучении бесконечных множеств законно абстрагирование от процесса их образования, еще нельзя считать законченным".
Проигранное пари.
Нам осталось рассказать об одной попытке вывести теорию множеств, а с нею и всю математическую науку из затянувшегося состояния кризиса. Ее предпринял в 1907 г. Брауэр, который в значительной степени опирался на мнения, неоднократно высказывавшиеся Кронекером и Пуанкаре. По мнению Брауэра и его последователей, начиная с XVII столетия в математическом анализе и геометрии совершенно игнорировался особый характер понятия бесконечности. Поэтому они считали, что слывшие строгими методы теории действительных чисел и математического анализа, введенные в математику учеными XIX в., не только не достигали поставленных перед ними целей, но привели к созданию разработанной системы, основанной на совершенно ошибочной тенденции обращаться с бесконечностью с помощью средств, выработанных для конечных совокупностей. Тем самым отвергалась в целом вся концепция математики, шедшая от Коши, Вейерштрасса и Кантора.
Брауэр и его школа полагали, что эта концепция действительного числа и функции лишь маскирует опасности, таящиеся в понятии бесконечности, изобилует порочными кругами в рассуждениях и претендует на чрезмерную общность, что неизбежно приводит к противоречиям. Тем самым полностью отвергался прогресс в деле укрепления основ классической математики, достигнутый в XIX в., а канторовская теория множеств рассматривалась как "любопытный патологический казус" в истории математики, от которого грядущие поколения, вероятно, придут в ужас. Особенно интересно во всем этом то, что сам Брауэр имел значительные достижения в области теоретико-множественной математики.
Чтобы поставить математику на правильный, по их мнению, путь, надо было опираться на интуицию — отсюда идет и название этого направления в науке — интуиционизм. Интуиционисты отказывались рассматривать континуум как множество, состоящее из точек, поскольку считали понятие континуума более первичным, чем понятие точки. Они говорили, что континуум — это среда свободного становления точек, а не множество точек.
Придирчивой критике интуиционисты подвергли самую логику, которой пользовались все математики XIX в., да и предшествующих столетий. В частности, они категорически отвергли один из основных законов аристотелевой логики, а именно закон исключенного третьего, который состоит в том, что любое высказывание является либо истинным, либо ложным. По мнению интуиционистов, этот закон был выведен из наблюдений над конечными совокупностями предметов и имеет место лишь для утверждений, касающихся таких совокупностей. Например, чтобы убедиться в истинности высказывания: "Среди людей, проживавших на земном шаре 1 января 1983 г., не было двухсотлетних", достаточно проверить возраст каждого человека, жившего в этот день. Но такой метод проверки не годится для выяснения свойств элементов бесконечных множеств — эти элементы не построишь в ряд и не устроишь поголовную проверку документов.
Таким образом, из арсенала интуиционистов выпало столь сильное средство доказательства, как доказательство от противного. Они отвергали "чистые доказательства существования" и требовали каждый раз предъявления конкретного примера объекта, обладающего данным свойством. Иными словами, в качестве доказательства существования чего-либо они принимали лишь описание конструкции соответствующего объекта. Германн Вейль, примкнувший к движению интуиционистов, сравнивал конкретные утверждения с сокровищами, а теоремы существования — с бумагами, содержащими указания, где надо искать сокровища. Доведение теоремы существования до конструкции завершало поиск сокровища.
Иными словами, интуиционисты требовали от утверждений вида "существуют четные числа" переходить к утверждениям "число 2 — четное".
В одном из докладов об интуиционизме Брауэр привел в качестве примера утверждения, которое нельзя ни доказать, ни опровергнуть, следующее: "В десятичном разложении числа я идут десять цифр 9 подряд". В те времена было известно лишь 707 десятичных знаков для я (да и то большая часть из них оказалась неверной). Сейчас с помощью ЭВМ найдено неизмеримо больше десятичных знаков для π, так что среди них уже есть, быть может, идущие подряд 10 девяток. Но если заменить число 10 на 10