Таблица 1. «Период полураспада идей»
Пример 10. Нашествия кочевников. Насколько можно судить, крупные вторжения кочевых племен из степей и пустынь происходили довольно регулярно (см. табл. 2), за исключением 100 года н. э. Возможно, это как-то связано с глобальным климатическим циклом. Численность племен резко возрастала в урожайные столетия, а потом, когда климат портился, им приходилось отправляться на поиски новых земель.
Таблица 2. Нашествие кочевников
Пример 11. Рост и упадок цивилизаций. На рис. 9 представлены три временные шкалы. Первые две соответствуют китайской и античной цивилизациям и сопоставлены в соответствии с общими процессами образования и упадка единых государств. Удивительно, но интервалы времени между близкими по смыслу событиями в этих совершенно различных мирах практически совпадают! Это говорит о существовании сходных систем факторов, определяющих ход основных процессов. Однако интерес представляют и различия, связанные со специальными и местными факторами. Наложив на первые две шкалы историю современного Запада (третья шкала), можно сделать попытку грубо предсказать события, которые нас ожидают. Разумеется, Европейский союз нисколько не напоминает империи Августа или Цинь Ши-Хуанди, но кто знает, не предстоит ли нам еще кровавая война за сохранение единства Европы? Разумеется, «продолжение» третьей шкалы – не более чем шутка.
Как показывают вышеприведенные примеры, в историко-культурных процессах безусловно присутствуют определенные закономерности. Главная проблема – суметь их сформулировать!
Поскольку история принадлежит к биологическим наукам, она рано или поздно должна приобрести математическое выражение.
Колин Мак-Иведи
Математические модели. Один из возможных подходов состоит в том, чтобы написать математические уравнения, связывающие основные факторы системы, а потом попробовать доказать их правильность, «предсказав» какие-нибудь события прошлого. К примеру, социолог Роберт Джекман разработал модель, описывающую государственные перевороты, которая на 92 % соответствует реальной истории африканских государств. Модель основана на учете структурных факторов, характерных для каждой страны, таких как грамотность населения и доля населения, не занятого в сельском хозяйстве. Компьютерная модель американской экономики, разработанная Джеем Форрестером, воспроизводит реальный 50-летний цикл, хотя Форрестер и его команда не знали о существовании такого цикла и получили его из уравнений, учитывающих взаимодействие, обратную связь и запаздывание в экономической системе. Математическое моделирование позволяет понять, как «работает» история, отвлекаясь от отдельных событий и обращая внимание на глубинные процессы. Один из ранних примеров такого моделирования – это модель гонки вооружений, разработанная Льюисом Ричардсоном.
Пусть X и Y – количественные показатели, характеризующие агрессивное поведение двух враждебных коалиций. Агрессивность X увеличивается в ответ на агрессивность Y, и наоборот, но при этом «гасится» за счет экономических и других внутренних факторов, вызванных самим повышением агрессивности. В математическом выражении скорость изменения агрессивности описывается системой двух дифференциальных уравнений:
dX/dt = axY – bxX + cx,
dY/dt = ayX – byY + cy.
Взяв в качестве начального приближения для величин X и Y сумму трат на вооружения, Ричардсон получил результаты, весьма близкие к реальным показателям гонки вооружений перед Первой и Второй мировыми войнами. Точка стабильности в такой системе, если она существует, соответствует значениям dX/dt = dY/dt = 0, то есть стационарному состоянию, однако такое состояние не может быть навязано системе при любых значениях X и Y. Оно может возникнуть лишь естественным путем, а точки возможного равновесия определяются параметрами a, b и c.
В своей книге «Взгляд на историю через призму математики» пионер клиологии Николас Рашевски продемонстрировал, каким образом математический аппарат точных наук может быть использован для анализа таких исторических процессов, как образование поселений и общественных классов в рамках так называемой «кинематики социального поведения». Книга «Преобразования: математическое описание культурных изменений», изданная археологом Колином Ренфру и математиком Кеннетом Куком, содержит множество интересных примеров, включающих использование топологической теории катастроф.
1. Экозоны. Историк Колин Мак-Иведи предложил графический метод определения так называемых экозон, т. е. географических областей, привлекательных для определенных типов культур. К примеру, «прибрежная экозона» была предпочтительна для греков, карфагенян, венецианцев и византийцев. Концепция экозон помогает объяснить географическое распределение культур и обычаев даже при отсутствии между ними очевидных географических барьеров. Например, культура банту в начале нашей эры распространилась далеко на юг Африки, вытеснив пигмеев и бушменов, однако ее продвижение резко остановилось, достигнув экозоны средиземноморского типа, где привычные сельскохозяйственные приемы, сложившиеся в условиях тропических джунглей, уже не приносили результатов. Распределение по Европе монастырей, основанных ирландскими монахами, почти точно повторяет картину распространения древнекельтской культуры. Сравните границы арабского халифата, персидской империи Ахеменидов и сферы влияния древнего Карфагена. Что это – совпадение или общая экозона?
2. Образование поселений. Существуют ли общие закономерности в процессе образования человеческих поселений? Если да, то знание их может оказаться полезным для проектирования лунных или орбитальных колоний. Эту проблему проанализировал Роберт Розен. Взяв абстрактный ландшафт и введя функцию, описывающую плотность населения в каждой его точке, он учел действие двух основных «сил», участвующих в процессе: стремления занимать участки с низкой населенностью и тяготения к неким «позитивным» факторам (это может быть, к примеру, плодородная почва, бродвейские мюзиклы или межпространственные туннели). Два одновременных процесса – «растекание» населения по территории и «собирание» его вокруг центров притяжения – описываются, как оказывается, тем же самым уравнением, что и диффузионная химическая реакция.
3. Топологические сети. Человеческие поселения, образующиеся в результате описанного процесса, формируют узлы некой топологической сети. Те из них, что имеют наибольшее число связей с соседями, оказываются наиболее вероятными кандидатами на превращение в столицу. Географ Форрест Питтс исследовал степень связности средневековых русских городов, находившихся в речной экозоне. По этому показателю Москва была лишь второй, уступая соседней Коломне. Более древняя столица, Владимир, также находится в этом районе. В то же время Петербург оказался совершенно неестественным, «нерусским» образованием. Аналогичным образом исторические столицы древней Месопотамии – Киш, Аккад, Вавилон, Ктесифон, Селевкия, Багдад – все находятся внутри одной небольшой области. Топологический анализ внутренних транспортных путей индийского субконтинента дает поразительный результат: существует не одна, а четыре или даже пять Индий! Районы с высокой плотностью населения и развитой промышленностью отделены друг от друга обширными областями с натуральным сельским хозяйством и представляют собой, возможно, зародыши будущих независимых государств.
Гомеостатические системы. Система, которая «ищет» равновесия, называется гомеостатической. С математической точки зрения такая система описывается потенциальной функцией. Стремление человеческих сообществ к равновесию настолько сильно, что даже при наличии серьезных возмущающих факторов они, как правило, возвращаются на прежнюю «траекторию», как только возмущение перестает действовать. Набор возможных точек равновесия, к которым система может испытывать «тяготение», называется аттрактором системы. Некоторые аттракторы представляют собой отдельные точки, как, например, обычное среднее положение, относительно которого происходят флюктуации, другие имеют вид орбиты вроде циклов деловой активности. В особо сложных системах встречаются так называемые странные аттракторы, подобные «катастрофическим» поверхностям Рене Тома, топология которых не так проста. К примеру, климат есть не что иное, как странный аттрактор погоды.
Рашевски разработал специальную математическую модель, которая описывает «кинематику социального поведения» и основана на психологической теории стимулов и реакций (вот где полностью применим термин «психоистория»!). Модель предсказывает количество, положение и уровень стабильности точек равновесия, позволяя рассчитать долю населения, которое в конечном счете будет вести себя определенным образом. Когда мы видим, слышим или читаем о каком-то новом типе поведения, то, как правило, испытываем воздействие тех или иных стимулов. Сила воздействия при этом определяется тремя факторами: числом положительных примеров («Мама, посмотри, ведь это уже все купили!»), наличием и силой прямого убеждения («Давай, ты что, боишься?»), а также внутренней готовностью подражать. В зависимости от характера и состояния сообщества оно может «притягиваться» к различным аттракторам в, казалось бы, одинаковых ситуациях.
На основании данных о числе сторонников того или иного кандидата и его возможностей привлекать и убеждать новых сторонников модель Рашевски способна предсказать исход выборов. При этом, однако, необходимо, чтобы выборы были свободными и проводились после того, как равновесие установилось. К сожалению, последнее не всегда имеет место. Более того, само положение равновесия может измениться после того, как система его достигнет. Это положение определяется параметрами системы, но и параметры – тоже переменные.