Из недавнего резюме выпускника явствует, что арифметика считалась не менее важной для образования в Вавилонии, чем чтение и письмо. Более внимательный взгляд на то, как искусство работы с цифрами преподавали и изучали, рассказывает нам многое о том, каким являлся подход в Вавилонии ко всем формам знаний.
Для начала мы должны признать, что способность манипулировать цифрами была более развита в те древние времена, чем в эпоху европейской истории. В своей книге «За пределами способности к количественному мышлению» математик Джон Аллен Паулос рассказывает анекдот о средневековом немецком торговце, который спросил, куда ему следует отправить учиться своего сына, чтобы тот получил математическое образование. «Если вы хотите, чтобы он овладел сложением и вычитанием, – был ответ, – подойдет местный университет. Но если вы хотите, чтобы он также умел выполнять умножение и деление, вам придется отправить его учиться в Италию». Такие ограничения не относились к вавилонским школам. Но у них было преимущество. Их способ написания чисел намного превосходил римские цифры, которыми европейцам приходилось пользоваться до начала нашего времени. Здесь была самая древняя известная форма «позиционной нотации» – сотни, десятки и единицы, которые мы узнаем в детстве. Эта система отличалась от нашей современной лишь тем, что, используя так называемые арабские цифры, мы делаем каждую позицию слева в 10 раз больше, в то время как вавилоняне – в 60 раз. То, что они писали как (ТТТТ(ии)), нашими цифрами означало 216 000 + 3600 + 60 + 1, то есть 219 661. Как хорошо известно, мы по-прежнему сохраняем вавилонскую систему чисел, основанную на числах кратных 60, когда мы говорим, что 95 652 секунды – это 26 часов, 34 минуты и 12 секунд, или когда мы пишем величину угла как 26°34′12″. Для вавилонян это число выглядело так:.
Двумя символами, которых у вавилонян не существовало, были ноль и десятичная запятая. Имея возможность вместо ноля оставлять пробел в числе, как правило, они этого не делали. В результате только по контексту можно было отличить 26, 206, 2006, 260 или 2600. Пройдет еще не одна тысяча лет, прежде чем арабы распространят у себя взятое у индийцев понятие о том, что пустое место в ряду цифр можно обозначить, как и любое другое число (для его обозначения арабы использовали точку; наш ноль на самом деле пришел к нам из книги раввина Авраама ибн Эзры Sefer ha-Mispar – «Книги чисел», которая дала самое первое объяснение индо-арабских чисел; она была написана на древнееврейском языке и опубликована в Европе в Вероне в 1146 г.). На самом деле жители Месопотамии в конечном счете придумали способ обозначения пробела в числе, но гораздо позже, возможно не раньше 700 г. до н. э. И не для того, чтобы его использовать в конце числа. Числа в Вавилонии всегда были верны «плавающей десятичной запятой»: 26, 260, 2600, равно как и 2,6; 0,26 и 0,026 всегда изображались одинаково.
Производить действия в системе счисления, основанной на 60, а не 10, как у нас сегодня, оказывалось камнем преткновения для школьников, пытавшихся запомнить таблицу умножения. До десяти легко выучить наизусть, можно и чуть дальше. До перехода на десятичную систему исчисления британской денежной системы ученикам приходилось волей-неволей запоминать таблицы умножения до двенадцати, так как в шиллинге было 12 пенсов. Дюжины также по-прежнему оставались в широком ходу, и каждый школьник знал, что дюжина дюжин – это гросс. В начале компьютерной эры было полезно писать числа кратные 16, известные как шестнадцатеричная система счисления; приходилось вводить шесть дополнительных цифровых знаков: за цифрами от 1 до 9 следовали буквы от А до F. Многие компьютерные энтузиасты знали наизусть таблицы умножения до 16. Но держать в голове таблицы умножения для каждого числа до 60 – это уж слишком. Так что, проходя мимо вавилонской школы, мы, вероятно, не услышали бы знакомый хор детских голосов: «Дважды один – два, дважды два – четыре». А если бы и услышали, то уж точно не «тридцать один умножить на пятьдесят три – тысяча шестьсот сорок три». Вместо этого вавилонянам приходилось прибегать к таблицам умножения, написанным на глиняных табличках.
Использование таких таблиц, чтобы выполнить умножение даже очень больших чисел, было относительно простым, однако деление представляло собой проблему. Вавилоняне решали ее способом аналогичным тому, который признают большинство людей, которые ходили в школу до последней трети XX в. В тех случаях, когда мы сверялись с таблицами десятичных логарифмов, что давало возможность выполнять большие вычисления с применением только сложения и вычитания, они использовали таблицы обратных величин: единица, поделенная на соответствующее число (например, величина обратная двум – это одна вторая, или 0,5, обратная четырем – одна четвертая, или 0,25, обратная пяти – одна пятая, или 0,2). С таблицами обратных величин под рукой они могли превращать деление в умножение, потому что деление на какое-то число – это то же самое, что умножение на обратную ему величину: 12 разделить на 4 – это то же самое, что 12 умножить на 0,25.
Часто использовали и другие таблицы – квадратов и кубов, равно как и корней квадратных и кубических. С ними вавилонские ученики справлялись с по-настоящему сложными математическими задачами. Они умели решать линейные уравнения – метод, схожий, как отмечают современные математики, с методом исключения Гаусса – квадратные и кубические уравнения, вычислять гипотенузу прямоугольного треугольника (теорема Пифагора) и площадь многоугольников, работать с окружностями и хордами окружностей – они называли их тетивой. Вычисленное ими приближенное значение пи составляло 31/8 или 3,125, что не сильно отличается от величины, которую используем мы, – 3,14159; по крайней мере, она ближе, чем значение 3, установленное в Библии приблизительно тысячелетием позднее.
Если все вышесказанное выглядит пугающе, то лишь потому, что оно выражено абстрактным языком современной математики. Вавилонские преподаватели придавали таким задачам более доступную форму. Как в школьных учебниках Викторианской эпохи, они помещали их в совершенно конкретные, практические ситуации. Как наши предки в XIX в. решали задачи типа «Если 8 человек за 14 дней могут скосить траву со 112 акров земли, то сколько нужно человек, чтобы за десять дней скосить траву с 2 тысяч акров?», так и вавилонские школьники бились над задачей: «С объемом земли равным 90 я захвачу город, враждебный Мардуку. С подножия земляной насыпи я прошел вперед 32 длины. Высота земляной насыпи – 36. Какое расстояние я должен пройти, чтобы захватить город?»
Выражение математики в форме практических задач распространялось даже на сложную алгебру. Если в наши дни мы можем попросить студента найти величину х в квадратном уравнении 11х2 + 7х = 6,25, то текст, относящийся приблизительно к 1800 г. до н. э., гласит: «Я прибавил семь раз сторону моего квадрата к его площади, увеличенной в 11 раз, и получил 6,15». В вавилонской шестидесятеричной системе счисления 6 и 15/60 представляют наше число 6,25, или шесть с четвертью[2]. Задача сводилась к тому, чтобы найти длину стороны квадрата (она была сформулирована в терминах воображаемой геометрии, в которой можно складывать длину и площадь). Там, где современный математик использует общую квадратичную формулу, вавилоняне получали решение таким образом: «Берешь 7 и 11. Умножаешь 11 на 6;15 и получаешь 1,8;45. Делишь 7 пополам и получаешь 3;30. Умножаешь 3;30 на 3;30. Прибавляешь результат 12;15 к 1,8;45, и результат 1;21 дает 9 в качестве квадратного корня. Вычитаешь 3;30, которое ты умножал само на себя, из 9 и получаешь 5;30. Величина обратная 11 не делится. Что я должен умножить на 11, чтобы получить в результате 5;30? Множителем является 0;30. Сторона квадрата равна 0;30».
Что характерно для Вавилонии, процедура нахождения решения подробно описана, но никогда не объясняется и не сводится к принципу. Один современный математик предположил, что такой подход знаком любому, кто помнит, как «подвергался обучению старомодной алгебре в высшей школе, когда учился решать, скажем, квадратные уравнения, решая большое количество задач с различными коэффициентами вместо формулировки и доказательства теоремы, показывающей раз и навсегда, как решать любое квадратное уравнение, какое может встретиться».
Так ли это – я должен убедиться
Предпочтение конкретного абстрактному, практики – теории, конкретных примеров – общим законам распространялось на все области учения, мышления и интеллектуальной жизни в Вавилонии. Оно стало самой значительной характеристикой этой высшей точки месопотамской цивилизации, а также до и длительное время после нее, что, возможно, являлось одной из причин, по которой грекам, поддерживавшим противоположный подход, всегда приписывали изобретение и открытие большего из того, что на самом деле было унаследовано ими от Месопотамии. Например, вавилонская теория музыки опередила Пифагора и Платона более чем на тысячу лет, но ее идеи были выражены в форме практических инструкций для настройки струн музыкальных инструментов.
Основы наук заложили задолго до Аристотеля. У истоков реальных знаний стоят наблюдение и классификация: систематика должна предшествовать зоологии – правильное изложение того, как организован живой мир, должно предшествовать теории эволюции. До каждого Чарльза Дарвина должен быть сначала Карл Линней.
После изобретения клинописи обучение грамотности основывалось на таблицах слов, так называемых лексических списках. Это были длинные серии названий растений и животных, скал и камней, предметов материальной культуры (различные материалы, выражения и грамматические формы). Писцы учились узнавать и воспроизводить многочисленные символы клинописи, переписывая эти списки – сначала простые значки, состоящие из нескольких клинышков, а позже приходил черед более сложных написаний. Естественно, если ученики должны были стать полностью грамотными, списки являлись всесторонними. Как следствие, большинство всех мыслимых черт жизни в Месопотамии и ее окрестностях в конечном счете свели в таблицы. Внесенные в списки слова были расставлены согласно расположению их значков-клинышков, сходству звучания или классифицированы по функции, форме, размеру или вещественному составу.