Если все они квадратные, то результат будет 2 × 2 × … × 2, т. е. степень двойки. Поэтому, если построение существует, n − 1 должно быть степенью двойки. Однако этого условия не всегда достаточно. Если n = 9, n − 1 = 8, а это степень двойки. Но Гаусс выяснил, что для правильного девятиугольника построения не существует, поскольку 9 — не простое число{12}. А как насчет следующего шага, на котором мы решаем систему из четырех квадратных уравнений? Степень n − 1 соответствующего объединенного уравнения равна 2 × 2 × 2 × 2 = 16. Тогда n = 17, а это простое число.
К этому моменту Гаусс, вероятно, уже понял, что наткнулся на что-то интересное, но оставался еще один технический момент, который вполне мог все испортить. Гаусс убедился, что для существования построения правильного многоугольника с простым числом сторон это простое число должно равняться степени двойки плюс 1. Получалось, что это условие необходимо для существования построения: если оно не выполняется, такого построения не существует. Однако вполне могло оказаться, что этого условия недостаточно; в самом деле, существует множество уравнений 16-й степени, которые не сводятся к системе из четырех квадратных уравнений.
Однако был и повод для оптимизма — греческие построения. Какие простые числа там фигурировали? Только три из них: 2, 3 и 5. Все они на единицу больше какой-либо степени двойки, а именно 20 + 1,21 + 1 и 22 + 1. Алгебра, связанная с пятиугольником, дает дополнительную пищу для размышлений. Обдумывая все это, Гаусс доказал, что многочлен 16-й степени, соответствующий правильному 17-угольнику, действительно может быть сведен к системе квадратных уравнений. Поэтому построение правильного 17-угольника при помощи линейки и циркуля обязательно должно существовать. Аналогичным методом удалось доказать, что то же верно для любого случая, когда количество сторон является простым числом, на 1 превосходящим некоторую степень двойки. Вообще, эта идея наглядно свидетельствует, насколько хорошо Гаусс понимал математические закономерности. В основе их лежат некоторые общие теоремы теории чисел, в которые я сейчас не буду вдаваться; замечу только, что все это не случайно и у этих закономерностей существуют серьезные структурные причины. Просто надо быть Гауссом, чтобы их заметить.
Гаусс не составил полного алгоритма такого построения, но вывел формулу для решений уравнения 16-й степени. А имея формулу, можно при большом желании придумать и построение{13}. Публикуя свои идеи в «Арифметических исследованиях», он опустил несколько подробностей, но заявил, что обладает полным доказательством. Это грандиозное открытие убедило Гаусса в том, что лучше посвятить жизнь математике, а не языкам. Герцог по-прежнему не оставлял Гаусса без финансовой поддержки, но молодому человеку хотелось чего-то более стабильного. Когда астроном Джузеппе Пиацци открыл первый астероид — Цереру, — ученым удалось провести всего несколько наблюдений, прежде чем новооткрытый мир скрылся в сиянии Солнца. Астрономы тревожились, что не смогут вновь найти его. Проявив чудеса изобретательности и использовав новую методику расчета орбит, Гаусс предсказал, где новооткрытое небесное тело появится вновь, и оказался прав. В результате он получил место профессора астрономии и директора Геттингенской обсерватории и оставался на этом посту до конца своих дней.
Оказалось, что 17 — не единственное новое число такого типа. На сегодня известны еще два подобных числа: 28 + 1 = 257 и 216 + 1 = 65 537. (Еще немного алгебры — и можно показать, что степень двойки, фигурирующая в этом выражении, сама должна быть степенью двойки; в противном случае результат не будет простым.) Однако на 16 эта закономерность прекращается, и 232 + 1 = 4 294 967 297, что равно 641 × 6 700 417, а значит, не является простым числом. Известно, что так называемые числа Ферма 22n + 1 не являются простыми для n = 5, 6, 7, … и так до 32. Известно также, что многие более крупные числа Ферма тоже не простые. Вообще, больше простых чисел Ферма пока не найдено, но вполне возможно, что они все же существуют. Известно построение для правильного 257-угольника. Один математик посвятил много лет поиску построения для 65 537-угольника — правда, эта задача представляется несколько бессмысленной, и, кроме того, в его результатах есть ошибки{14}.
Итак, основной вывод из проведенного Гауссом анализа состоит в том, что правильный многоугольник может быть построен при помощи линейки и циркуля в том и только том случае, когда число его сторон представляет собой произведение степени двойки и различных нечетных простых чисел Ферма. В частности, правильный девятиугольник так построить нельзя. Из этого сразу следует, что по крайней мере один угол невозможно разделить натрое построением: ведь угол равностороннего треугольника равен 60°, а одна треть такого угла — это 20°. Но, имея такой угол, несложно построить правильный девятиугольник. Следовательно, это невозможно, и общего метода трисекции угла при помощи геометрического построения не существует.
Гаусс, записывая доказательства, опустил немало подробностей, и математики не могли просто так поверить ему на слово. В 1837 г. французский математик Пьер Ванцель опубликовал полное доказательство гауссовой характеризации пригодных для геометрического построения правильных многоугольников и сделал вывод о невозможности трисекции произвольного угла при помощи линейки и циркуля. Он доказал также невозможность построения куба объемом вдвое больше данного (т. е. доказал неразрешимость еще одной древнегреческой задачи, известной как «задача об удвоении куба»).
Причина того, что задачи трисекции угла и удвоения куба оказались неразрешимыми, заключается в том, что задействованные в них длины фигурируют в неприводимых кубических уравнениях — уравнениях третьей степени. Раз 3 не является степенью двойки, это все решает. Однако этот метод, на первый взгляд, не работает для квадратуры круга, причем по достаточно интересным причинам. Круг единичного радиуса имеет площадь π, а сторона квадрата той же площади равна √π. Геометрические построения для квадратного корня существуют, как и построения для квадратов, так что квадратура круга, по существу, сводится к тому, чтобы взять отрезок длиной 1 и построить отрезок длиной π. Конечно, если π является решением неприводимого кубического уравнения — или любого другого неприводимого уравнения, чья степень не является степенью двойки, — то метод Ванцеля доказал бы, что квадратура круга невозможна.
Однако никто не слышал ни об одном алгебраическом уравнении, решением которого было бы в точности π, не говоря уж об уравнении степени, не являющейся степенью двойки. Приближенное значение 22/7 удовлетворяет уравнению 7x − 22 = 0, но на самом деле эта дробь немного больше π, так что это никак нам не поможет. Если бы можно было доказать, что такого уравнения не существует, — а многие подозревали, что так оно и есть, поскольку если бы уравнение существовало, то его бы нашли, — то из этого следовала бы и невозможность решения задачи квадратуры круга. К несчастью, никто не мог доказать, что такого уравнения не существует. Алгебраический статус π пребывал в состоянии неопределенности. В конце концов этот вопрос все же удалось решить, но при помощи методов, далеко выходящих за пределы не только геометрии, но и алгебры.
Чтобы разобраться в существе дела, нам придется начать с более простой концепции. В математике существует важное различие между числами, которые можно точно выразить при помощи дроби p/q, где p и q — целые числа, и числами, которые невозможно выразить таким образом. Первые называются рациональными (поскольку представляют собой отношение, т. е. ratio, целых чисел), а последние — иррациональными. Так, приближенное значение π(22/7) рационально. Существуют и более точные приближения; знаменитое 355/113 соответствует π до шестого знака после запятой. Однако известно, что никакая дробь не может выразить π точно; число π иррационально. Это свойство, о котором математики давно догадывались, первым доказал швейцарский математик Иоганн Генрих Ламберт в 1768 г. Его доказательство основано на хитрой формуле для функции тангенса в тригонометрии, где тангенс выражается в виде цепной (непрерывной) дроби — бесконечного множества обычных дробей{15}. В 1873 г. Шарль Эрмит нашел более простое доказательство, основанное на аналитических формулах, которое доказало иррациональность не только π, но и π². Так что π помимо всего прочего не является корнем квадратным из какого-то рационального числа.
Ламберт выдвинул и более серьезные гипотезы. В той же статье, где доказывалась иррациональность π, он предположил, что число π трансцендентно, т. е. не является решением никакого полиномиального уравнения с целыми коэффициентами. Оно выходит за рамки алгебраического выражения. Более поздние исследования доказали правоту Ламберта. Сделано это было в два этапа. Разработанный Эрмитом новый метод доказательства иррациональности подготовил площадку, намекнув, что удачной стратегией здесь может оказаться исчисление, а точнее, его более строгая версия — анализ. Но Эрмит развил эту идею дальше и нашел чудесное доказательство трансцендентности другого знаменитого и очень любопытного числа e — основания натуральных логарифмов. Численно e приблизительно равно 2,71828, и, пожалуй, оно еще важнее, чем π. Эрмитово доказательство трансцендентности волшебно, как кролик, с помпой извлекаемый фокусником из цилиндра математического анализа. Сам кролик — это сложная формула, связанная с гипотетическим алгебраическим уравнением, корнем которого, согласно первоначальному предположению, является e. При помощи алгебраических методов Эрмит доказывает, что эта формула эквивалентна некоему ненулевому целому числу. При помощи математического анализа он доказывает, что число это должно лежать между −1/2 и 1/2. Поскольку единственным целым числом в этом интервале является 0, получаем противоречие. Следовательно, предположение о том, что e является решением некоего алгебраического уравнения, неверно, а значит, e трансцендентно.