Утверждение, что доказательство Аппеля — Хакена, полученное при помощи компьютера, изменило саму природу понятия «доказательство», вызвало горячие философские споры. Я понимаю, к чему клонят философы, но на самом деле концепция доказательства, которой пользуются профессиональные математики, отличается от той, что преподают студентам в курсе математической логики. Но даже если взять эту, более формальную концепцию, то ничто в ней не требует, чтобы логику каждого шага непременно проверял человек. Уже несколько столетий математики используют для рутинных арифметических операций механизмы. Даже если человек пройдется по доказательству с карандашом, проверяя каждую его строчку, и не обнаружит ошибок, то кто гарантирует нам, что он ничего не пропустил? Совершенная и безупречная логика — это идеал, к которому мы стремимся. Люди несовершенны; они делают, что могут, но полностью исключить элемент неопределенности невозможно.
Робин Уилсон в книге «Четырех красок достаточно» (Four Colours Suffice) точно сформулировал ключевой социологический аспект реакции общества:
«Аудитория раскололась на два лагеря: тех, кому за 40, невозможно было убедить, что доказательство, проведенное компьютером, может быть верным, а тех, кому еще не исполнилось 40, невозможно было убедить, что верным может быть доказательство, содержащее 700 страниц вычислений вручную».
Если наши машины в чем-то превосходят нас, разумно их использовать. Могут измениться методики доказательства, но они и без компьютеров постоянно меняются: этот процесс и называется «исследованиями». При этом сама концепция доказательства не изменится радикально, если некоторые шаги вместо человека проделает компьютер. Доказательство — это рассказ; доказательство, полученное при помощи компьютера, — это рассказ, сюжет которого слишком длинен для подробного пересказа, и поэтому нам приходится довольствоваться кратким пересказом его основной линии и гигантским приложением в виде машинной распечатки.
После первой прорывной работы Аппеля и Хакена прошло уже немало времени, и математики привыкли к использованию компьютера. Они и сегодня предпочитают доказательства, основанные исключительно на человеческом разуме, но в большинстве своем уже не считают их единственно возможными. В 1990-е гг., правда, кое у кого еще были легкие оправданные сомнения в доказательстве Аппеля — Хакена, и некоторые математики решили повторить его целиком, воспользовавшись новыми теоретическими наработками и гораздо более мощными компьютерами. В 1994 г. Нил Робертсон, Дэниел Сандерс, Пол Сеймур и Робин Томас взяли из работы Аппеля — Хакена только базовую стратегию, отбросив все остальное, и повторили все с самого начала. За год им удалось найти неустранимый набор из 633 конфигураций, сводимость каждой из которых можно было доказать при помощи 32 правил разрядки. Результат оказался значительно проще, чем 1482 конфигурации и 487 правил разрядки Аппеля и Хакена. Сегодня компьютеры считают так быстро, что это доказательство можно целиком проверить на домашнем компьютере за несколько часов.
Все это, конечно, хорошо, но главным по-прежнему остается компьютер. Можно ли изменить ситуацию? В среде математиков зреет убеждение в том, что в данном случае это не исключено. Возможно, новые открытия, связанные с задачей о четырех красках, позволят когда-нибудь получить более простое доказательство. Для него не понадобится или почти не понадобится помощь компьютера, и математики смогут прочесть его, обдумать и сказать: «Да!» Пока такого доказательства нет, но что-то витает в воздухе…
Математики многое узнали о графах и сетях и узнают с каждым днем все больше. Топологи и геометры обнаруживают глубокие связи между сетями и совершенно далекими, казалось бы, от них областями математики, включая и некоторые разделы математической физики. Время от времени, скажем, всплывает концепция кривизны. Название ее говорит само за себя: кривизна пространства говорит о том, насколько это пространство изогнуто. Если оно плоское, как плоскость, его кривизна равна нулю. Если оно изогнуто в одну сторону — как холм во всех направлениях загибается вниз, — его кривизна положительна. Если пространство, как горный перевал, в некоторых направлениях загибается вниз, а в некоторых вверх, его кривизна отрицательна. Существуют геометрические теоремы (отдаленные потомки формулы Эйлера), связывающие построенные в пространстве сети с кривизной самого пространства. На это же намекает формула Хивуда для тора с g отверстиями. Сфера имеет положительную кривизну; тор, представленный в виде квадрата с тождественными противоположными сторонами (см. рис. 12 справа), имеет нулевую кривизну, а тор с двумя или более отверстиями — отрицательную. Так что между кривизной и раскрашиванием карт определенно существует какая-то связь.
За этой связью стоит одно полезное свойство кривизны: от нее очень сложно избавиться. Это похоже на кошку под ковром. Если ковер лежит на полу ровно, кошки под ним нет, но, если вы видите на ковре горб, значит, под ним кошка. Вы можете гонять эту кошку по всему ковру, но горб будет просто перемещаться с одного места на другое. Так же и кривизну можно сдвинуть, но невозможно убрать. Разве что кошка доберется до края ковра и выскочит наружу, унося кривизну с собой. Правила разрядки Хееша немного напоминают замаскированную кривизну. Они позволяют гонять электрический заряд с места на место, но не ликвидируют его. Не может ли существовать некое понятие кривизны для сети и хитрое правило разрядки, позволяющее, по существу, гонять по нему эту кривизну?
Если так, то нельзя исключить вариант, при котором вам удастся уговорить сеть раскраситься самостоятельно. Присвоить точкам (а может быть, и линиям тоже) кривизну, а затем позволить сети перераспределить ее более равномерно. Возможно, если мы все правильно подготовим, то «равномерность» будет означать как раз достаточность четырех красок. Это всего лишь идея, причем не моя, и я объяснил ее недостаточно подробно, чтобы что-нибудь понять. Но эта идея порождена интуицией какого-то математика и вселяет надежду на то, что в будущем, возможно, будет найдено более концептуальное доказательство теоремы о четырех красках — это будет потрясающая повесть, а не краткий пересказ с приложением в виде миллиарда телефонных справочников. В главе 10 мы столкнемся с аналогичной идеей в гораздо более хитроумном контексте, где она помогла решить еще более великую топологическую задачу.
5. Сферическая симметрия. Гипотеза Кеплера
Все началось со снежинки.
Снег обладает странной красотой. Он падает с небес пушистыми белыми хлопьями; он летит по ветру и образует мягкие холмы и гребни, покрывающие все вокруг; он сам по себе обретает неземные странные формы. Он холодный. По нему можно кататься на лыжах, на санках, можно лепить из него снежки и снеговиков… А если не повезет, можно оказаться погребенным под тысячетонной снежной лавиной. Исчезая, он не возвращается на небо — по крайней мере непосредственно в виде белых хлопьев. Он превращается в обычную воду, которая, конечно, может испариться и вернуться на небо, но может и течь ручьями и реками вниз, к морю, а потом долго-долго обитать в океане. Снег — форма льда, а лед — это замороженная вода.
Все сказанное не ново. Вероятно, это знали еще неандертальцы.
Снежинки ни в коем случае нельзя назвать бесформенными комками. В первозданном виде (до того, как начинается процесс таяния) многие из них представляют собой крохотные затейливые звездочки — плоские, шестигранные и симметричные. Есть и просто шестиугольники. Некоторые снежинки не настолько симметричны, некоторые отличаются заметной толщиной (т. е. имеют третье измерение), но снежинки с шестилучевой симметрией очень типичны и встречаются часто. Снежинки — кристаллы льда. Это тоже не новость, ведь невозможно, увидев кристалл, не узнать его. Но снежинки — не обычные кристаллы с плоскими гранями в виде многоугольников. Самое загадочное свойство снежинок добавляет в картину легкий штрих хаоса: несмотря на одинаковую симметрию, точная структура каждой снежинки уникальна. Говорят, не существует двух одинаковых снежинок. Я часто недоумевал: откуда они могут это знать? Но если достаточно педантично разобраться в том, что считать одинаковым, то выяснится, что цифры говорят в пользу такой позиции.
Почему для снежинок характерна шестилучевая симметрия? Этим вопросом 400 лет назад задался один из великих математиков и астрономов XVII в. — и после некоторых размышлений нашел на него ответ. Поразительно верный ответ, тем более что ученый при этом не проводил никаких особых экспериментов. Он просто свел воедино несколько простых общеизвестных мыслей. К примеру, о том, как располагаются зернышки в гранате.
Этого человека звали Иоганн Кеплер, и у него был очень хороший повод задуматься о снежинках. Жизнь и работа ученого в те времена часто зависели от богатого покровителя, и для Кеплера таковым был Иоганн Вакер фон Вакенфельс. В то время Кеплер служил придворным математиком императора Священной Римской империи Рудольфа II, а Вакер, дипломат, был советником императора. Кеплер хотел сделать своему покровителю новогодний подарок. В идеале он должен был быть недорогим, необычным и занимательным — и приоткрыть перед Вакером дверь в мир замечательных открытий, которые стали возможны благодаря его деньгам. Так что Кеплер собрал свои мысли о снежинках в небольшую книгу, которая и должна была стать подарком. Называлась она «О шестиугольных снежинках» (De Nive Sexangula). Шел 1611 г. В этой книге содержалось короткое замечание (один из основных шагов в рассуждениях Кеплера), и сформулированную в нем математическую загадку никому не удавалось решить на протяжении 387 лет.
Кеплер имел огромный опыт поиска закономерностей. Его важнейшая научная работа — открытие трех фундаментальных законов движения планет. Первый и самый известный из них гласит, что орбиты планет представляют собой эллипсы. Кроме того, Кеплер был мистиком и приверженцем учения пифагорейцев о том, что Вселенная основана на числах, закономерностях и математических формах. Помимо астрономии, он занимался астрологией: математики в те времена нередко выдавали себя за астрологов, поскольку обладали необходимой квалификацией и могли рассчитать, когда асцендент находится в Водолее. Богатые покровители и короли заказывали им составление гороскопов.