x², то результат может быть выражен, используя функцию синус. Точнее, нам нужна функция, обратная синусу: угол, синус которого равен интересующему нас числу{23}.
Интеграл возникает, когда мы пытаемся вывести формулу длины дуги окружности методами математического анализа, а геометрия окружности дает простое, но очень важное следствие для этого результата. Длина единичной окружности равна 2π, поэтому пройдя расстояние 2π вдоль окружности, вы окажетесь в точности на том же месте. То же можно сказать о любом расстоянии, кратном 2π: по стандартному математическому соглашению положительные целые числа соответствуют направлению против часовой стрелки, а отрицательные — по часовой стрелке. Следовательно, синус и косинус числа остаются неизменными при добавлении к аргументу величины 2π, взятой целое число раз. Мы говорим, что эти функции периодические с периодом 2π.
Аналитики XVIII и XIX вв. обобщили эту интегральную формулу и нашли целую группу интересных новых функций, аналогичных знакомым тригонометрическим. Эти новые функции выглядели загадочно; они были периодическими, как синус и косинус, но хитроумно периодическими. Вместо одного периода, к примеру 2π (или кратных ему), они имели два независимых периода. Если вы попытаетесь проделать такое с действительными функциями, то получите всего лишь константы, но для комплексных чисел здесь открываются широкие возможности.
Начало исследованиям в этой области положили итальянский математик Джулио ди Фаньяно и плодовитый Эйлер. Фаньяно пытался при помощи интегрального исчисления найти длину дуги эллипса, но не сумел вывести формулу в явном виде. Сегодня это уже не удивительно, ведь мы знаем, что такой формулы не существует. Однако он заметил, что длины различных особых дуг эллипса находятся между собой в определенных отношениях. Результаты своих исследований Фаньяно опубликовал в 1750 г. Эйлер в аналогичной ситуации заметил те же отношения и представил их в виде формального отношения интегралов. Они похожи на интеграл, связанный с функцией синуса, но квадратичное выражение под знаком квадратного корня сменяется кубическим многочленом или многочленом четвертой степени, к примеру, таким: (1 − x²) (1 − 4x²).
В 1811 г. Адриен Мари Лежандр опубликовал первую книгу объемного трехтомного трактата об этих интегралах, известных как эллиптические благодаря своей связи с длиной дуги сегмента эллипса. Однако он умудрился пройти мимо самого важного их свойства: существования новых функций, аналогичных синусу и косинусу, обратные функции к которым достаточно просто выражают величину интеграла{24}. Гаусс, Нильс Хенрик Абель и Карл Якоби быстро заметили упущение. Гаусс оставил свои мысли при себе, что для него вполне типично. Абель в 1826 г. представил во Французскую академию собственную работу, но Коши, президент Академии, потерял рукопись, и опубликована она была только в 1841 г., через 12 лет после трагической ранней кончины Абеля от чахотки. Однако в 1827 г. вышла другая статья Абеля на ту же тему. Якоби положил новые «эллиптические функции» в основу громадного тома, опубликованного в 1829 г., и этот труд направил исследования в области комплексного анализа по совершенно новому пути.
В результате был выявлен целый комплекс взаимосвязанных свойств, аналогичных свойствам тригонометрических функций. Оказалось, что соотношение, замеченное Фаньяно и Эйлером, можно интерпретировать иначе, в виде простого списка формул, связывающих эллиптические функции суммы двух чисел с эллиптическими функциями самих чисел. Но самая интересная черта эллиптических функций оставляет тригонометрические функции далеко позади. Эллиптические функции не просто периодические; для них характерна двойная периодичность. Линия одномерна, поэтому и рисунок ее может повторяться только в одном направлении, вдоль линии. Комплексная плоскость двумерна, так что рисунок на ней может повторяться, как на обоях: вдоль бумажной полосы и одновременно поперек — вдоль стены, на соседние полосы. С каждой эллиптической функцией связаны два независимых комплексных числа (ее периоды), прибавление любого из которых к переменной не меняет значение функции.
Повторяя этот процесс, мы приходим к выводу, что значение функции не меняется при добавлении к переменной любой целочисленной комбинации двух периодов. Эти комбинации можно интерпретировать и геометрически: они определяют на комплексной плоскости решетку, которая разбивает плоскость на параллелограммы; все, что происходит в одном параллелограмме, повторяется и во всех остальных (см. рис. 26). Если мы рассмотрим отдельно взятый параллелограмм и то, как он соединяется с соседними, то получим, что нам придется отождествить противоположные его стороны, как тор определяется через отождествление противоположных сторон квадрата (см. рис. 12). Параллелограмм, противоположные стороны которого попарно отождествляются, топологически тоже представляет собой тор. Иными словами, точно так же, как синус и косинус связаны с окружностью, эллиптические функции связаны с тором.
Есть здесь и связь с теорией чисел. Я сказал, что функция, обратная синусу, получается путем интегрирования формулы, в которой фигурирует квадратный корень из квадратного трехчлена (т. е. многочлена второй степени). Эллиптические функции в этом похожи, но квадратный трехчлен в них заменяется на многочлен третьей или четвертой степени. Случай с четвертой степенью уже упоминался, потому что исторически он появился первым, но теперь давайте сосредоточимся на случае с многочленом третьей степени. Если мы обозначим квадратный корень как y, а многочлен как ax³ + bx² + cx + d, где a, b, c и d — числовые коэффициенты, то x и y удовлетворяют уравнению:
Это уравнение можно рассматривать в нескольких различных контекстах, в зависимости от того, какие ограничения наложены на переменные и коэффициенты. Если все это действительные числа, уравнение определяет кривую на плоскости. Если это комплексные числа, то специалисты по алгебраической геометрии все равно называют множество решений этого уравнения кривой просто по аналогии. Но теперь это кривая в пространстве пар комплексных чисел, четырехмерном в действительных координатах. И кривая в данном случае — это поверхность с точки зрения действительных координат.
На рис. 27 показаны типичные действительные эллиптические кривые y² = 4x³ − 3x + 2 и y² = 4x³ − 3x. Поскольку y появляется в уравнении в виде квадрата, кривая симметрична относительно горизонтальной оси. В зависимости от коэффициентов это либо одна волнообразная кривая, либо кривая с отдельным овальным компонентом. В комплексных числах кривая всегда представляет собой единое связное множество.
Если мы потребуем, чтобы переменные и коэффициенты были рациональными, в игру вступит теория чисел и мы получим диофантово уравнение. Его графическое представление зачем-то называется эллиптической кривой, хотя совершенно не похоже на эллипс. Все дело в том, что это уравнение связано с эллиптическими функциями. Это как назвать окружность треугольной кривой только потому, что она связана с тригонометрией. Однако это название уже высечено на скрижалях, так что нам придется мириться с ним.
Теория эллиптических функций — глубокая и богатая теория, математики открыли у эллиптических кривых бессчетное количество красивых свойств. Одно из них аналогично тому, как мы объединяем два решения пифагорова уравнения, складывая соответствующие углы и получая третье решение. Две точки на эллиптической кривой можно «сложить», проведя через них прямую линию и посмотрев, в какой точке она пересечет кривую в третий раз (см. рис. 28). (Заметим, что третья точка обязательно существует, поскольку уравнение кубическое. Однако она может оказаться «в бесконечности» или совпасть с одной из первых двух точек, если прямая пройдет по касательной к кривой.) Если первые две точки у нас обозначены как P и Q, обозначим третью как P*Q.
Расчет показывает, что если P и Q — рациональные точки, то и точка P*Q рациональна. Операция * придает набору рациональных точек алгебраическую структуру, но оказывается полезной и при рассмотрении еще одной связанной с этим операции. Выберем любую рациональную точку O на кривой и определим:
Эта новая операция подчиняется некоторым фундаментальным законам обычной алгебры, причем O ведет себя как нуль и превращает множество всех рациональных точек в то, что специалисты по алгебре называют группой (см. главу 10). Важно, что здесь, как с пифагоровыми тройками, можно «сложить» любые два решения и получить третье. То, что «групповой закон» действует на рациональные точки, поразительно: в частности, это означает, что стоит нам найти два рациональных решения диофантова уравнения, и мы автоматически получим множество других решений.
Около 1908 г. Пуанкаре задался вопросом: существует ли конечный набор решений, такой, чтобы из него можно было получить все остальные решения последовательным применением групповой операции? Это важно, потому что из существования такого набора следует, что все рациональные решения можно охарактеризовать при помощи конечного списка решений. В интереснейшей работе 1922 г. Морделл доказал, что ответ на вопрос Пуанкаре положителен. После этого эллиптические кривые стали центральным элементом теории чисел, поскольку далеко не все диофантовы уравнения могут похвастать такой степенью контроля. Итак, эллиптические кривые, как и пифагорово уравнение, имеют бесконечное множ