ество рациональных решений. Многие диофантовы уравнения, напротив, имеют конечное число или вообще не имеют решений. Я собираюсь немного отклониться от темы и поговорить о целом семействе подобных уравнений и полученном недавно замечательном доказательстве того, что существуют лишь очевидные решения.
Пифагорейцы были увлечены своим уравнением, потому что верили: в основе Вселенной лежат числа. В поддержку этой философии они обнаружили, что музыкальной гармонией управляют простые числовые отношения. Это было установлено экспериментально при помощи наблюдений за звучанием натянутой струны. Струна с такой же степенью натяжения, но вдвое меньшей длины, дает ноту на октаву выше. Это самое гармоничное сочетание двух нот — настолько гармоничное, что звучит даже несколько простовато. В западной музыке следующая по значению гармония — кварта, где одна струна по длине составляет 3/4 другой струны, и квинта, где длина одной струны составляет 2/3 от длины другой.
Начав с 1 и умножая последовательно на 2 или 3, можно получить числа 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12 и т. д. — числа вида 2a3b. Благодаря связи с музыкой они получили название гармонических. В XIII в. во Франции еврейский ученый по имени Гершон бен Соломон Каталан написал книгу «Врата небес», посвятив три ее части физике, астрономии и метафизике. В 1343 г. епископ Мо убедил его сына (по крайней мере историки считают, что, вероятно, это был его сын) Леви бен Гершома написать математическую книгу «Гармония чисел». В нее вошла, в частности, задача, которую впервые поставил композитор и теоретик музыки Филипп де Витри: когда два гармонических числа могут различаться на единицу? Подобные пары найти несложно: сам де Витри знал их четыре: (1, 2), (2, 3), (3, 4) и (8, 9). Но Гершом доказал, что это все возможные решения и других не существует.
Среди перечисленных де Витри пар гармонических чисел наибольший интерес привлекает пара (8, 9). Первое число в ней — куб, 2³; второе — квадрат, 3². Математики заинтересовались, могут ли другие квадраты и кубы различаться на единицу; Эйлер доказал, что не могут, за исключением тривиального случая (0, 1) и случая (−1, 0), если разрешены отрицательные числа. В 1844 г. уже другой Каталан опубликовал более всеобъемлющее заявление, о котором, должно быть, думали многие математики, но которое никто до него не счел нужным озвучить. Речь идет о бельгийском математике Эжене Шарле Каталане, который в 1844 г. написал в один из ведущих математических журналов того времени Journal für die Riene und Angewandte Mathematik следующее:
«Покорнейше прошу вас, сударь, объявить в вашем журнале следующую теорему, кою я почитаю верной, хотя до сего момента и не преуспел в доказательстве; быть может, другие добьются большего успеха. Два последовательных целых числа, кроме 8 и 9, не могут быть последовательными степенями; иначе говоря, уравнение xm − yn = 1, в котором все неизвестные — положительные целые числа, допускает лишь одно решение».
Это утверждение получило известность как гипотеза Каталана. Показатели степени m и n здесь — целые числа больше 1.
Несмотря на частичные успехи, гипотеза Каталана долгое время упорно противостояла всем усилиям математиков, пока в 2002 г. ее не доказал вдруг Преда Михайлеску. Этот математик родился в 1955 г. в Румынии, а в 1973 г. поселился в Швейцарии и к тому времени только что получил докторскую степень. Темой его диссертации было «Деление кругов и проверка на простоту», и речь в ней шла о применении теории чисел при проверке на простоту (глава 2). Эта задача не имеет особого отношения к гипотезе Каталана, но Михайлеску пришло в голову, что методы-то его точно имеют к ней отношение. В них он отталкивался от идей, уже упоминавшихся мной в главе 3: гауссового построения правильного 17-угольника и связанных с этим алгебраических уравнений, решения которых называют круговыми числами. Доказательство получилось достаточно сложным и произвело в математическом сообществе настоящий фурор. Из него явствует, что какие бы величины мы ни выбрали для двух показателей степени, число решений остается конечным — и помимо очевидных решений с участием 0 и ±1 единственное решение, представляющее интерес, это 3² − 2³ = 1.
Приведенные примеры наглядно показывают, что одни диофантовы уравнения имеют бесконечное множество решений, а другие — нет. Что тут интересного, скажете вы, эти два варианта перекрывают весь спектр возможностей. Но если вы спросите, какие уравнения к какому типу относятся, все станет намного интереснее.
Морделл готовил учебник по диофантовым уравнениям. В то время эта область математики напоминала биологию на раннем этапе ее развития: множество собранных коллекционерами бабочек, и никакой систематической классификации. Наука пребывала почти в том же состоянии, в каком ее оставил Диофант, только беспорядка стало еще больше: это был бессистемный набор ловких трюков, для каждого типа уравнений свой, и вот такой не слишком подходящий для учебника материал отчаянно нуждался в систематизации, чем Морделл и занялся.
В какой-то момент он, должно быть, заметил, что все уравнения, достоверно имеющие бесконечное множество рациональных решений, — такие как пифагорово уравнение или эллиптические кривые — имеют одну общую черту. Он сосредоточился на одном классе уравнений — на тех, в которых (после перевода в рациональную форму, как я сделал с пифагоровым уравнением) присутствует всего две переменных. Есть два случая, когда нам заранее известно, как найти бесконечное множество решений. Пример одного из них — пифагорово уравнение в эквивалентной форме x² + y² = 1. В этом случае существует формула для нахождения решений. Вставьте в эту формулу любое рациональное число и получите рациональное решение, причем формула позволяет получить все решения. Пример второго случая — эллиптические кривые: здесь существует процесс, позволяющий получать новые решения из старых, и гарантия того, что если начать с подходящего конечного набора решений, этот процесс позволит получить их все.
Гипотеза Морделла утверждает, что во всех случаях, когда уравнение имеет бесконечное множество рациональных решений, должно присутствовать одно из названных свойств. Существует либо общая формула, либо процесс, позволяющий получить все решения из подходящего конечного их набора. Во всех остальных случаях число рациональных решений конечно; примером могут служить уравнения вида xm — yn = 1, которые фигурируют в гипотезе Каталана. Решения здесь в каком-то смысле случайны и не имеют никакой структурной основы.
Морделл пришел к этому наблюдению немного иным путем. Он обратил внимание на то, что все уравнения с бесконечным числом рациональных решений имеют одно поразительное топологическое свойство. У всех у них род равен 0 или 1. Вспомните из главы 4, что род — это понятие из области топологии кривых, которое указывает на то, сколько в данной поверхности отверстий. Род сферы равен 0, род тора — 1, род тора с двумя отверстиями равен 2 и т. д. Но откуда берутся поверхности в задаче из теории чисел? Из координатной геометрии. Мы видели, что пифагорово уравнение, которое интерпретировано в терминах рациональных чисел и допускает действительные решения, определяет окружность. Морделл сделал еще один шаг и допустил комплексные решения. Любое уравнение с двумя комплексными переменными определяет то, что специалисты по алгебраической геометрии называют комплексной кривой. Однако с точки зрения действительных чисел и зрительного восприятия человека каждое комплексное число двумерно: у него на деле две компоненты — действительная и мнимая части. Так что «кривая» в комплексном смысле есть поверхность для нас с вами. И, как у всякой поверхности, у нее есть род, — вот и все.
Всякий раз, когда про уравнение было известно, что оно имеет конечное число решений, его род равнялся по крайней мере двум. Род важных уравнений, статус которых относительно числа решений не был известен, тоже равнялся по крайней мере двум. Морделл на основании достаточно хлипких, как тогда казалось, указаний сделал отчаянно смелый шаг: он предположил, что любое диофантово уравнение с родом 2 или больше имеет конечное число рациональных решений. Так, по мановению его руки, диофантовы бабочки аккуратно распределились по родственным семействам; точнее говоря, по родам (даже термин подходящий).
В гипотезе Морделла была всего лишь одна крохотная загвоздка. Она связала между собой две чрезвычайно разные вещи: рациональные решения и топологию. В то время подобная связь казалась в высшей степени неубедительной. Если даже она существовала, то никто не знал, как ее искать; непонятно было даже, как подступиться к этой проблеме. Так что гипотеза представляла собой отчаянное, ничем не подтвержденное заявление, обещавшее, однако, громадные потенциальные дивиденды.
В 1983 г. Фальтингс опубликовал эффектное доказательство того, что фантастическое предположение Морделла на самом деле верно. Его доказательство было построено на методах алгебраической геометрии. Совершенно другое доказательство, основанное на аппроксимации действительных чисел рациональными, вскоре нашел Пауль Войта, а в 1990 г. Энрико Бомбиери опубликовал упрощенное доказательство, основанное примерно на тех же принципах. Существует приложение теоремы Фальтингса к Великой теореме Ферма — проблеме, о которой мы будем подробно говорить в главе 7. Оно утверждает, что для любого целого n, большего или равного 3, уравнение xn + yn = 1 имеет конечное число целых решений. Род соответствующей кривой равен (n − 1) (n − 2)/2, а это по крайней мере 3, если n ≥ 4. Теорема Фальтингса прямо подразумевает, что при любом n ≥ 4 уравнение Ферма имеет в лучшем случае конечное число рациональных решений. Ферма утверждал, что оно вовсе не имеет решений, за исключением случаев, когда x или