Каждое из упомянутых доказательств использует какие-то алгебраические черты, присущие именно этим степеням. Долгое время не было никаких намеков на какую бы то ни было общую структуру, которая могла бы послужить основой доказательства теоремы для всех или хотя бы для значительного числа разных степеней. С ростом показателей степени доказательства становились все сложнее и сложнее. Требовались свежие идеи, открывающие новые горизонты. Софи Жермен, одна из величайших женщин-математиков, разделила теорему Ферма для простых степеней p на два случая. В первом случае ни одно из чисел x, y, z не делится на p. Во втором — одно из них делится. Рассмотрев особые «вспомогательные» простые числа, связанные с p, она доказала, что в первом случае уравнение Ферма не имеет решений для нечетных простых чисел меньших 100. Однако трудно было доказать что-нибудь насчет вспомогательных простых чисел в целом.
Жермен переписывалась с Гауссом, причем сначала под мужским псевдонимом, и оригинальность ее рассуждений весьма впечатлила великого математика. Когда же выяснилось, что его корреспондент — женщина, Гаусс впечатлился еще сильнее и прямо сказал об этом. В отличие от многих своих современников, Гаусс не считал женщин неспособными к высокоинтеллектуальной деятельности, в частности к математическим исследованиям. Позже Жермен предприняла неудачную попытку доказать первый случай Великой теоремы Ферма для всех четных чисел, где опять же можно было бы воспользоваться евклидовой характеристикой пифагоровых троек. Окончательно разобраться с четными степенями удалось только Гаю Тержаняну в 1977 г. Второй случай казался куда более крепким орешком, и никто особенно далеко с ним и не продвинулся.
В 1847 г. Ламе, опираясь на свое доказательство для седьмых степеней, выдвинул замечательную идею. Для ее реализации требовалось ввести комплексные числа, но к тому моменту это уже никого не смущало. Главным ингредиентом было то же, чем воспользовался Гаусс при построении своего правильного 17-угольника (см. главу 3). Любой специалист по теории чисел знал об этом, но до Ламе никому не приходило в голову, что этим можно воспользоваться для доказательства Великой теоремы Ферма.
В системе действительных чисел единица имеет ровно один корень p-й степени (если p нечетное), и корень этот равен самой единице. Но в комплексных числах 1 имеет несколько, а именно p, корней p-й степени. Этот факт — следствие основополагающей теоремы алгебры, поскольку эти корни удовлетворяют уравнению xp − 1 = 0 степени p. Для комплексных корней p-й степени из единицы существует симпатичная формула, из которой явствует, что все они являются степенями 1, ζ, ζ2, ζ3, …, ζp − 1 некоего комплексного числа ζ (см. прим. {25}). Определяющее свойство этих чисел подразумевает, что xp + yp раскладывается на p множителей:
Согласно уравнению Ферма, это выражение равно также zp, что представляет собой p-ю степень некоего целого числа. Несложно заметить, что если произведение чисел, не имеющих общих делителей, представляет собой p-ю степень, то и каждое число в отдельности представляет собой p-ю степень. Таким образом, если оставить в стороне некоторые технические подробности, Ламе мог записать каждый из сомножителей как p-ю степень. Отсюда он вывел противоречие.
В марте 1847 г. Ламе выступил с полученным в результате доказательством теоремы Ферма в Парижской академии и сказал, что основной идеей он обязан Жозефу Лиувиллю. Лиувилль поблагодарил Ламе, но одновременно указал на потенциальную проблему в доказательстве. Дело в том, что главное утверждение о том, что каждый сомножитель представляет собой p-ю степень, вовсе не бесспорно. Все зависит от единственности разложения на простые множители — причем не для обычных целых чисел, где это свойство выполняется, но для новых типов чисел, введенных Ламе. Эти комбинации степеней ζ известны как круговые, или циклотомические, числа. Слово «циклотомический» означает «разрезающий круг» и указывает на обстоятельство, которое исследовал еще Гаусс. Мало того, что свойство единственности разложения на простые множители для круговых чисел не доказано, сказал Лиувилль, они вполне могут им и не обладать.
У других математиков сомнения возникли даже раньше. За три года до этого Готтхольд Эйзенштейн писал одному из коллег:
«Если бы у кого-то была теорема, которая утверждала бы, что произведение двух комплексных чисел может делиться на простое число, только если на него делится один из множителей, — что кажется совершенно очевидным, — то он получил бы целую теорию [алгебраических чисел] разом; но такая теорема совершенно неверна».
Теорема, о которой идет речь, есть главный шаг, необходимый для доказательства единственности разложения на простые множители. Эйзенштейн говорил не только о числах, нужных Ламе, но и об аналогичных числах, возникающих при решении других уравнений. Они называются алгебраическими числами. Алгебраическое число — это комплексное число, удовлетворяющее полиномиальному уравнению с рациональными коэффициентами. Алгебраическое целое число — это комплексное число, удовлетворяющее полиномиальному уравнению с целыми коэффициентами, если коэффициент при наибольшей степени x равен 1. Для каждого такого полинома мы получаем связанное с ним поле алгебраических чисел (это означает, что можно складывать, вычитать, умножать и делить такие числа, получая при этом числа того же рода) и соответствующее кольцо (что означает то же самое, за исключением деления) алгебраических целых чисел. Это основные объекты изучения алгебраической теории чисел.
Если, к примеру, взять многочлен x² − 2, то у него есть корень. Поле включает в себя все числа a + b, где a, b — рациональные числа; кольцо целых чисел состоит из чисел такого же вида, где a, b — целые. Здесь опять же простые делители могут быть определены, и притом единственным образом. Но есть и сюрпризы: у многочлена x² + x − 1 есть корень (√5 − 1)/2, так что, несмотря на дробь, это алгебраическое целое число.
В алгебраической теории чисел сложность заключается не в том, чтобы найти множители. К примеру, круговое число является делителем другого кругового числа, если второе число можно получить умножением первого на еще какое-нибудь круговое число. Определить простые числа также не сложно: круговое целое число является простым, если у него нет других делителей, кроме тривиальных единиц, которые представляют собой круговые числа — делители 1. Нет проблемы и в разложении кругового числа или любого другого алгебраического числа на простые множители. Нужно просто делить число, пока не закончатся делители. Существует простой способ доказать, что эта процедура конечна, и когда она завершится, каждый делитель окажется простым. Так в чем же проблема? В единственности. Если вы повторите процедуру, выбирая по пути иные решения, вы вполне можете получить другой набор простых делителей.
На первый взгляд, трудно представить себе такую возможность. Простые делители — наименьшие возможные кусочки, на которые можно разбить число. Это как взять собранную из «Лего» игрушку и разобрать на кирпичики. Если бы существовал другой способ сделать это, то, в конце концов, оказалось бы, что мы разделили один из кирпичиков еще на несколько деталей. Но тогда кирпичик не был бы кирпичиком. К несчастью, аналогия с «Лего» обманчива. Алгебраические числа ведут себя не так. Они больше похожи на кирпичики с мобильными связями, способные соединяться между собой в разных сочетаниях. Разбейте кирпичик одним способом — получите одни составные части, которые сцепляются друг с другом и дальше уже не делятся. Разбейте его иначе — и получите еще один набор с теми же свойствами, но уже других деталей.
Я приведу два примера. В первом будут только обычные целые числа. Он несложен для понимания, но обладает некоторыми нерепрезентативными чертами. А затем я покажу вам настоящий пример.
Представьте, что мы живем во Вселенной, где существуют только числа 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25 и т. д. — числа, которые в нашей нынешней Вселенной имели бы вид 4k + 1. Если перемножить два таких числа, получится еще одно число такого же вида. Определим такое число как «простое», если оно не является произведением двух меньших чисел того же вида. К примеру, число 25 — не простое, поскольку равняется 5 × 5, а 5 тоже есть в нашем списке. Но число 21 — простое в этом новом смысле, потому что его обычных делителей (3 и 7) в списке нет. Они имеют вид 4k + 3, а не 4k + 1. Несложно убедиться, что любое число заданного вида есть произведение простых (в новом смысле) чисел. Причина в том, что множители, если они существуют, должны становиться меньше, и со временем процесс факторизации непременно остановится. Когда это произойдет, полученные множители будут простыми.
Однако такое разложение на простые множители не единственно. Рассмотрим число 4389. 4389 = 4 × 1097 + 1, т. е. это число интересующего нас вида. Вот три различных разложения на множители заданного вида:
Я утверждаю, что, согласно принятому нами определению, все эти множители простые. К примеру, 57 — простое число, так как его обычные делители 3 и 19 не относятся к требуемому виду. То же можно сказать о числах 21, 33, 77, 133 и 209. Теперь мы можем объяснить неединственность разложения на простые множители. В обычных целых числах
и все эти числа «не того» вида, они нам не подходят и имеют вид 4