В главе 6 мы видели, что теория эллиптических функций сильно повлияла на развитие комплексного анализа. В 1830-е гг. Жозеф Лиувилль открыл, что разновидностей эллиптических функций не так уж много. Для любых двух периодов существует особая эллиптическая функция, известная как функция Вейерштрасса, и любая другая эллиптическая функция с теми же двумя периодами является просто ее вариантом. Тем самым подразумевается, что из функций с двойной периодичностью достаточно разобраться в функциях Вейерштрасса — по одной на каждую пару периодов.
Геометрически двойную периодическую структуру эллиптической функции можно интерпретировать как решетку на комплексной плоскости: это все комбинации вида mu + nv двух периодов u и v (см. рис. 30). Если мы возьмем комплексное число z и добавим к нему одну из точек нашей решетки, то значение эллиптической функции в новой точке будет тем же, что и в первоначальной. Иными словами, эллиптическая функция обладает той же симметрией, что и описанная решетка.
Аналитики открыли гораздо более богатый источник симметрий комплексной плоскости, известный как преобразования Мёбиуса. Эти преобразования превращают z в (az + b)/(cz + d), где a, b, c, d — комплексные константы. Симметрии, определяемые решеткой, представляют собой особые случаи преобразований Мёбиуса, но существуют и другие. Однако в более общем случае тоже присутствует набор точек, аналогичный рассмотренной нами решетке. Решетка определяет на евклидовой плоскости ячеистую структуру: достаточно взять в виде ячейки параллелограмм и поместить его углы в узлы решетки (см. рис. 26 и 30). При помощи преобразований Мёбиуса мы можем построить ячеистую структуру в подходящей неевклидовой геометрии, на гиперболической поверхности. Мы можем установить тождественность этой поверхности и части комплексной плоскости, где прямые заменяются дугами окружностей.
В гиперболической геометрии существуют весьма симметричные ячеистые структуры. Для каждой из них можно построить комплексные функции, которые на каждой ячейке повторяют свои значения. Такие функции известны как модулярные и представляют собой естественное обобщение эллиптических функций. Гиперболическая геометрия — очень насыщенная область математики, и диапазон ячеистых структур здесь намного шире, чем на евклидовой плоскости. Поэтому специалисты по комплексному анализу всерьез заинтересовались неевклидовой геометрией. При этом выявилась глубокая связь между математическим анализом и теорией чисел. Модулярные функции играют для эллиптических кривых ту же роль, что тригонометрические функции для окружности.
Напомню, что единичная окружность состоит из точек (x, y), таких, что x² + y² = 1. Пусть A — действительное число, и
Тогда определение синуса и косинуса говорит о том, что данная точка лежит на единичной окружности. Более того, любая точка единичной окружности имеет такую форму. Говоря математическим языком, эти тригонометрические функции представляют окружность в параметрическом виде. Что-то очень похожее происходит и с модулярными функциями. Если мы определим x и y при помощи подходящих модулярных функций параметра A, то соответствующая точка будет лежать на эллиптической кривой — одной и той же эллиптической кривой, какое бы значение ни принимал параметр A. Существуют и более абстрактные способы сформулировать вышеизложенное, и специалисты пользуются именно ими, потому что они удобнее, но этот вариант позволяет выявить аналогию с тригонометрическими функциями и окружностью. Эта связь порождает свою эллиптическую кривую для каждой модулярной функции, а разнообразие модулярных функций громадно — ведь это все симметричные ячеистые структуры на гиперболической поверхности. Итак, огромное количество эллиптических кривых может быть соотнесено с модулярными функциями. Но какие эллиптические кривые можно получить таким способом? Именно этот вопрос оказался главным.
Впервые это «недостающее звено» привлекло внимание ученых в 1975 г., когда Ив Эллегуар обратил внимание на занятную связь между Великой теоремой Ферма и эллиптическими кривыми. Герхард Фрей в двух статьях, опубликованных в 1982 и 1986 гг., развил эту идею. Пусть p, как всегда, нечетное простое число. Предположим — в надежде прийти к противоречию, — что существуют ненулевые целые числа a, b и c, удовлетворяющие уравнению Ферма, так что ap + bp = cp. А теперь с надлежащей помпой извлечем из шляпы заранее припасенного кролика: рассмотрим эллиптическую кривую
Эта кривая называется эллиптической кривой Фрея. Фрей применил к ней механизм работы с эллиптическими кривыми и получил цепочку еще более причудливых совпадений. Его гипотетическая эллиптическая кривая выглядит и правда очень странно. На первый взгляд, она вообще лишена смысла. Фрей доказал, что смысла в ней настолько мало, что она не может существовать. И это обеспечивает нам желанное противоречие и тем самым, разумеется, доказывает Великую теорему Ферма.
Однако в этом доказательстве есть пробел, и Фрей прекрасно знал о нем. Чтобы доказать, что такая эллиптическая кривая не существует, необходимо показать, что если бы она существовала, то была бы модулярной, т. е. одной из тех кривых, что возникают из модулярных функций. Мы только что убедились, что таких кривых множество; на тот момент никому не удавалось отыскать хотя бы одну эллиптическую кривую, которая не была бы модулярной. Казалось логичным, что и кривая Фрея должна быть модулярной, но это была гипотетическая кривая, коэффициенты a, b и c не были известны. К тому же, если бы кривая и правда была модулярной, то она просто не могла бы существовать. Был, однако, один способ раз и навсегда разобраться со всеми этими вопросами: доказать, что все эллиптические кривые модулярны. Тогда кривая Фрея, гипотетическая или нет, тоже была бы модулярной, если бы существовала. А если бы ее не было, то доказательство от этого никак бы не пострадало.
Утверждение, что всякая эллиптическая кривая является модулярной, называется гипотезой Таниямы — Симуры. Она названа в честь двух японских математиков Ютаки Таниямы и Горо Симуры. Встретились они случайно: оба одновременно с одной и той же целью хотели получить в университетской библиотеке одну и ту же книгу. Результатом же стало долгое сотрудничество. В 1955 г. Танияма был в Токио на математической конференции, где молодым участникам предложили составить список открытых вопросов. Танияма предложил четыре вопроса, и все они были связаны с отношениями между модулярными функциями и эллиптическими кривыми. Еще до этого он вычислил некоторые числа, связанные с конкретной модулярной функцией, и заметил, что в точности те же числа появлялись в связи с конкретной эллиптической кривой. Подобные совпадения часто свидетельствуют о том, что все это вовсе не совпадение и что замеченным фактам должно быть какое-то разумное объяснение. Сегодня мы знаем: равенство этих чисел напрямую означает, что эллиптическая кривая является модулярной, более того, именно так чаще всего определяется модулярность в специальной литературе. Так или иначе, Танияма был достаточно заинтригован, чтобы рассчитать соответствующие числа еще для нескольких модулярных функций и выяснить, что они тоже соответствуют конкретным эллиптическим кривым.
Он заинтересовался, не найдется ли подобной черты у каждой эллиптической кривой. Специалисты в этой области в большинстве своем считали, что это слишком хорошо, чтобы быть правдой, — бесплодная мечта, в пользу которой нет почти никаких свидетельств. Симура был одним из немногих, кто считал, что эта гипотеза достойна серьезного рассмотрения. Но в 1957–1958 гг. Симура уехал на год в Принстон, а Танияма, пока его не было, покончил с собой. В оставленной им записке, в частности, говорилось: «Причину моего самоубийства я не могу и сам понять, но это не результат какого-то конкретного события, нет никаких особенных причин. Единственное, что я точно знаю, — я потерял веру в будущее».
Примерно месяц спустя его невеста Мисако Судзуки тоже покончила с собой. В ее прощальной записке было сказано: «Теперь, когда его нет, я тоже должна уйти, чтобы присоединиться к нему».
Симура продолжил работу над гипотезой. По мере того как накапливались свидетельства в ее пользу, он начал склоняться к мысли о том, что она действительно может оказаться верной. Большинство других специалистов были с ним не согласны. Саймон Сингх рассказывает об интервью с Симурой, в котором тот вспоминал, как пытался объяснить все это одному из коллег:
«Профессор поинтересовался: “Я слышал, вы предполагаете, что некоторые эллиптические уравнения могут быть связаны с модулярными формами”.
“Нет, вы не понимаете, — ответил Симура. — Речь не о некоторых эллиптических уравнениях, так ведут себя все эллиптические уравнения!”»
Несмотря на общий скептицизм, Симура продолжал упорно работать, и с годами это предположение приобрело достаточную респектабельность, чтобы о нем стали говорить как о гипотезе Таниямы — Симуры. Затем Андре Вейль, один из крупнейших специалистов по теории чисел XX столетия, нашел дополнительные свидетельства в ее пользу, опубликовал их и высказал уверенность в том, что она на самом деле вполне может быть верна. После этого гипотезу стали называть гипотезой Таниямы — Симуры — Вейля. Вообще, название ее окончательно не устоялось, и в публикациях о ней можно встретить самые разные комбинации имен трех этих математиков. Я буду придерживаться названия «гипотеза Таниямы — Симуры».
В 1960-е гг. еще один математический тяжеловес Роберт Ленглендс понял, что гипотезу Таниямы — Симуры можно рассматривать как один из элементов куда более обширной и амбициозной программы, способной объединить алгебраическую и аналитическую теорию чисел. Он сформулировал целый набор гипотез, связанных с этой идеей и известных сегодня как программа Ленглендса. Она была еще более спекулятивна, чем гипотеза Таниямы — Симуры, но обладала неотразимой элегантностью: подобная математика настолько красива, что просто обязана быть истинной. В течение последующего десятилетия математический мир постепенно оценил красоту программы Ленглендса, и ее исполнение начали воспринимать как одну из главных целей алгебраической теории чисел. Программа Ленглендса представляется верным направлением развития, если, конечно, кому-то удастся сделать в этом направлении первый шаг.