Даже генерализация — еще не конец истории дзета-функции. Она вдохновила ученых на определение аналогичных функций в нескольких других областях математики — от абстрактной алгебры до теории динамических систем. Во всех этих областях существуют еще более масштабные аналоги гипотезы Римана. Некоторые из них даже доказаны. В 1974 г. Пьер Делинь доказал такой аналог для многообразий над конечными полями. Обобщения, известные как дзета-функции Сельберга, тоже удовлетворяют аналогу гипотезы Римана. То же можно сказать о дзета-функции Госса. Однако существуют другие обобщения — дзета-функции Эпштейна, для которых аналог гипотезы Римана неверен. Здесь бесконечное множество нетривиальных нулей лежит на критической линии, но некоторые — нет, что продемонстрировал Эдвард Титчмарш. С другой стороны, эти дзета-функции не имеют эйлеровой формулы в виде произведения и потому не похожи на римановы дзета-функции в аспекте, который вполне может оказаться принципиально важным.
Имеется множество косвенных свидетельств того, что гипотеза Римана — как оригинальная, так и обобщенная — справедлива. Много хорошего следовало бы из истинности этих гипотез. Ни одно из этих следствий за все время не удалось опровергнуть, а ведь сделать это — то же самое, что опровергнуть гипотезу Римана. Но ни доказательства, ни опровержения пока нет. Широко распространено мнение, что доказательство оригинальной гипотезы Римана открыло бы дорогу и к доказательству обобщенного ее варианта. Но на самом деле, возможно, лучше было бы атаковать сразу обобщенную гипотезу Римана во всей ее грозной красе — воспользоваться всем арсеналом доступных на сегодняшний день методов, доказать, а затем вывести оригинальную гипотезу Римана как ее частный случай.
В пользу гипотезы Римана имеется также огромное количество экспериментальных данных — по крайней мере огромное на первый взгляд, пока кто-нибудь не плеснет холодной воды, чтобы остудить горячие головы. По данным Карла Людвига Зигеля, Риман вычислил несколько первых нулей своей дзета-функции, но не стал публиковать результат. Они находятся в точках
Нетривиальные нули всегда располагаются парами, как здесь. Я написал в них, а не 0,5, потому что действительная часть в этих случаях известна точно, выяснена при помощи общих результатов комплексного анализа и известных свойств дзета-функции. То же можно сказать и о компьютерных расчетах, о которых речь пойдет ниже. Они не просто показывают, что нули находятся очень близко к критической линии; они действительно находятся на ней.
В 1903 г. Йорген Грам продемонстрировал численно, что первые десять нулей (т. е. ±-пар) лежат на критической линии. К 1935 г. Титчмарш увеличил число таких нулей до 195. В 1936 г. Титчмарш и Лесли Комри доказали, что первая 1041 пара нулей лежит на критической линии. Это был последний раз, когда подобные расчеты проводились вручную.
Алан Тьюринг больше всего известен тем, что во время войны работал в Блетчли-парке, где участвовал в разгадывании германского кода «Энигма», а также своими работами, заложившими фундамент компьютерных вычислений и искусственного интеллекта. Но, помимо всего этого, Тьюринг интересовался и аналитической теорией чисел. В 1953 г. он открыл более эффективный способ вычисления нулей дзета-функции и определил при помощи компьютера, что первые 1104 пары нулей лежат на критической линии. Свидетельства того, что все нули до некоторого предела лежат на критической линии, множились и множились. Нынешний рекорд, полученный Янником Саутером и Патриком Демишелем в 2004 г., составляет 10 трлн (10¹³). Тем временем математики и компьютерщики проверяли другие диапазоны нулей. На сегодня все без исключения нетривиальные нули, когда-либо кем-либо рассчитанные, лежат на критической линии.
Все это может показаться исчерпывающим доказательством, но математики не спешат принимать его на веру, и не без причины. Может показаться, что 10 трлн — это очень много, но в теории чисел часто значение имеет не само число, а его логарифм, а он пропорционален числу знаков в числе. Натуральный логарифм от 10 трлн чуть меньше 30. Мало того, во многих задачах фигурирует логарифм от логарифма или даже логарифм от логарифма от логарифма. В этих терминах 10 трлн — это крохотная величина, так что численное доказательство до 10 трлн включительно почти ничего не значит.
Существуют и кое-какие обобщенные аналитические доказательства, к которым эта критика не относится. Харди и Литтлвуд доказали, что на критической линии лежит бесконечное число нулей. Другие математики показали в точном смысле, что почти все нули лежат очень близко к критической линии. Сельберг доказал, что ненулевая доля нулей лежит непосредственно на критической линии. Норманн Левинсон доказал, что эта доля — по крайней мере треть и теперь она увеличена по крайней мере до 40 %. Все эти результаты позволяют предположить, что если гипотеза Римана неверна, то нули, не лежащие на критической линии, очень велики и встречаются очень редко. К несчастью, главное следствие из всего этого заключается в том, что если такие исключения существуют, то найти их будет необычайно трудно.
Но зачем волноваться? Ведь численных свидетельств должно быть достаточно, чтобы убедить любого разумного человека? К несчастью, нет. Численные свидетельства не убеждают математиков, и в данном случае это не просто педантизм и придирки: они действуют разумно. В математике в целом, а особенно в теории чисел, обширные, на первый взгляд, «экспериментальные» данные часто имеют гораздо меньший вес, чем может показаться.
Наглядным примером служит гипотеза Пойа, которую в 1919 г. выдвинул венгерский математик Дьердь Пойа. Он предположил, что по крайней мере половина всех целых чисел вплоть до заданной величины имеет нечетное число простых множителей. Повторяющиеся множители в данном случае учитываются отдельно, а начинаем мы с 2. К примеру, число простых множителей для предела 20 приведено в табл. 2, где последняя колонка отражает процент чисел до данного предела с нечетным числом простых множителей.
Все значения в последней колонке выше 50 %, а более обширные расчеты позволяют предположить, что это всегда так. В 1919 г., без всяких компьютеров, исследователи не смогли найти чисел, которые опровергли бы эту гипотезу. Но в 1958 г. Брайан Хазелгроув доказал при помощи аналитической теории чисел, что гипотеза Пойа неверна для некоего числа — числа, не превосходящего 1,845 × 10361, если быть точным. Как только на сцене появились компьютеры, Шерман Леман показал, что гипотеза неверна для 906 180 359. К 1980 г. Минору Танака доказал, что минимальное из таких чисел 906 150 257. Так что вы могли бы собрать экспериментальные данные по всем числам почти до миллиарда и не понять, что гипотеза неверна.
Тем не менее приятно знать, что число 906 150 257 необычайно интересно.
Разумеется, сегодняшние компьютеры, если их как следует запрограммировать, опровергли бы гипотезу Пойа в несколько секунд. Но иногда не помогают даже они. Классический пример — число Скьюза, где первоначально громадное количество численных данных указывало на то, что некая знаменитая гипотеза верна, но на самом деле она неверна. Это гигантское число появилось в задаче, тесно связанной с гипотезой Римана: аппроксимацией π(x) функции Li(x). Как мы только что видели, теорема о распределении простых чисел утверждает, что, когда x становится большим, отношение этих двух величин стремится к 1. Численные расчеты указывают на более сильное утверждение: это отношение всегда меньше 1, т. е. π(x) меньше Li(x). В 2008 г. численные расчеты Тадея Котника показали, что это верно для x меньше 1014. К 2012 г. Дуглас Столл и Демишель повысили этот предел до 1018, и такой же результат независимо от них получил Андрей Кульша. А расчеты Томаша Оливейра-и-Сильва позволяют предположить, что предел может быть увеличен до 1020.
Таблица 2. Процент чисел до заданного предела, имеющих нечетное число простых множителей
Звучит, кажется, исчерпывающе. Данные здесь сильнее, чем лучшие численные результаты, полученные до сих пор для гипотезы Римана. Но в 1914 г. Литтлвуд доказал, что эта гипотеза неверна — и как доказал! По мере того как x проходит через положительные действительные значения, разность π(x) — Li(x) меняет знак (с отрицательного на положительный или наоборот) бесконечно часто. В частности, π(x) больше Li(x) для некоторых достаточно больших значений x. Однако доказательство Литтлвуда ничего не говорило о конкретных значениях x.
В 1933 г. его ученик, южноафриканский математик Стенли Скьюз, оценил, насколько большим должен быть x: не более 10∧10∧10∧34, где знак ∧ обозначает «возвести в степень». Это настолько гигантское число, что если все его цифры напечатать в книге — довольно скучной книге, состоящей из 1 с бесконечными нулями, — то Вселенная не вместила бы этой книги, даже если бы каждая цифра была размером с элементарную частицу. Более того, чтобы доказательство работало, Скьюзу пришлось принять на веру истинность гипотезы Римана. К 1955 г. он нашел способ обойтись без гипотезы Римана, но не бесплатно: его оценка увеличилась до 10∧10∧10∧963.
Эти числа слишком велики даже для прилагательного «астрономический», но дальнейшие исследования помогли снизить их до величин, которые уже можно охарактеризовать как космологические. В 1966 г. Леман заменил числа Скьюза на 101165. Те Риеле в 1987 г. понизил эту оценку до 7 × 10370, а в 2000 г. Картер Бейз и Ричард Хадсон свели ее к 1,39822 × 10316. Затем Чжоу Куок Фай и Роджер Плаймен срезали еще немножко и довели ограничение до 1,39801 × 10316. Это изменение может показаться несущественным, но на самом деле данная оценка меньше предыдущей на 2 × 10312. А Саутер и Демишель еще улучшили этот результат, сведя его к 1,3971667 × 10316